1. Tìm hiểu chung về cấp số cộng
- Dãy số u n là một cấp số cộng nếu u n + 1 = u n + d với mọi n ∈ N ∗ , d là hằng số.
d = u n + 1 − u n được gọi là công sai.
* d = 0 : CSC là một dãy số không đổi.
Ví dụ: Dãy số 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 là một cấp số cộng vì:
6 = 3 + 3 9 = 6 + 3 12 = 9 + 3 15 = 12 + 3
Đây là CSC có công sai d = 3 và số hạng đầu u 1 = 3.
- Số hạng tổng quát
Kí hiệu: u n = u 1 + ( n – 1 ) d , ( n ≥ 2 ) . ( n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 1)
Như vậy công sai còn có thể tính bởi công thức: d = u n − u 1 n − 1 .
Ví dụ: Cho CSC ( u n ) biết u 1 = − 1 , d = 3 . Tìm u 20 .
Ta có:
u 20 = u 1 + ( 20 − 1 ) d
= u 1 + 19 d
= − 1 + 19.3
= 56
- Tính chất u k = (u k − 1 + u k + 1)/ 2 với k ≥ 2
hay u k + 1 + u k − 1 = 2 u k
Ví dụ: Cho ba số 3 ; x ; 9 theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm x.
Ta có: x = 3 + 9 2 = 6.
Vậy x = 6 . 4.
Tổng n số hạng đầu
+) Thông qua số hạng đầu, cuối và số số hạng: S n = n ( u 1 + u n )/ 2 , với n ∈ N ∗
+) Thông qua số hạng đầu, số số hạng và công sai: S n = n u 1 + [n ( n − 1 )] d/ 2
S n = n [ 2 u 1 + ( n − 1 ) d ]/ 2
Ví dụ: Cho CSC ( u n ) thỏa mãn u 1 = − 1 , d = 3 . Tính S 20.
Ta có: S 20 = 20 u 1 + 20. ( 20 − 1 ) 2.
d = 20. ( − 1 ) + 20.19 2 .3 = 550
- Công thức tính tổng của n số đầu tiên trong một cấp số cộng là: S = (n/2) x (a1 + an)
Trong đó: S là tổng của n số đầu tiên trong dãy số a1 là số hạng đầu tiên trong dãy số an là số hạng thứ n trong dãy số n là số lượng số hạng trong dãy số.
Để tính được tổng S, ta cần biết số lượng số hạng trong dãy số (n), số hạng đầu tiên (a1) và số hạng thứ n (an).
Để tìm số hạng thứ n, ta sử dụng công thức an = a1 + (n-1)d, trong đó d là công sai của cấp số cộng.
Nếu không biết số hạng thứ n, ta có thể sử dụng công thức khác để tính tổng S, dựa trên công thức an = a1 + (n-1)d: S = (n/2) x (a1 + a1 + (n-1)d) = (n/2) x [2a1 + (n-1)d]
Với công thức này, ta có thể tính được tổng S chỉ với số lượng số hạng (n), số hạng đầu tiên (a1) và công sai (d) của cấp số cộng.
Ngoài ra, nếu cấp số cộng là một cấp số cộng vô hạn hội tụ, tức là khi số lượng số hạng tiến đến vô hạn, ta có thể tính tổng của cấp số cộng bằng công thức sau: S = a1 / (1 – d)
Trong đó: S là tổng của cấp số cộng a1 là số hạng đầu tiên trong dãy số d là công sai của cấp số cộng Công thức này chỉ áp dụng được cho trường hợp cấp số cộng hội tụ, khi số lượng số hạng tiến đến vô hạn.
Nếu cấp số cộng không hội tụ, tổng sẽ không hữu hạn và công thức trên không áp dụng được
2. Một số tính chất quan trọng của cấp số cộng
- Tổng của một cấp số cộng: Tổng của n số đầu tiên trong một cấp số cộng có thể được tính bằng công thức: S = (n/2) x (a1 + an), trong đó S là tổng của n số đầu tiên, a1 là số hạng đầu tiên, an là số hạng thứ n.
– Số hạng trung bình của một cấp số cộng: Số hạng trung bình của một cấp số cộng được tính bằng công thức: a = (a1 + an) / 2
– Các số hạng trong một cấp số cộng: Các số hạng trong một cấp số cộng có thể được tìm bằng cách sử dụng công thức sau đây: an = a1 + (n-1)d, trong đó d là công sai của cấp số cộng.
– Phân tích cấu trúc của một chuỗi số: Một chuỗi số có thể được phân tích thành cấp số cộng nếu các số trong chuỗi này có thể được tạo thành từ một số hạng đầu tiên và một công sai cố định. Các ứng dụng của cấp số cộng rất phổ biến trong toán học, khoa học máy tính, và các lĩnh vực khác. Chúng có thể được sử dụng để giải quyết các vấn đề liên quan đến tài chính, thống kê, khoa học dữ liệu, và nhiều lĩnh vực khác. Có một số loại cấp số cộng phổ biến, bao gồm:
– Cấp số cộng hình vuông: Là cấp số cộng mà các số hạng được tạo ra bằng cách cộng các số chính phương liên tiếp. Ví dụ: 1, 4, 9, 16, 25 là một cấp số cộng hình vuông.
– Cấp số cộng Fibonacci: Là cấp số cộng mà các số hạng được tạo ra bằng cách cộng các số liền trước của chuỗi Fibonacci.
Ví dụ: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 là một cấp số cộng Fibonacci.
– Cấp số cộng tiên nghiệm: Là cấp số cộng mà các số hạng được tạo ra bằng cách cộng một số hạng trước đó với một số nguyên tố cố định.
Ví dụ: 2, 5, 11, 23, 47 là một cấp số cộng tiên nghiệm với công sai là 3.
3. Một số bài tập cấp số cộng cơ bản
Bài 1:
a) Tìm x biết: x2 + 1, x – 2, 1 – 3x lập thành cấp số cộng.
b) Cho cấp số cộng – 2, x, 6, y. Tính giá trị của biểu thức P = x2 + y2.
Lời giải
a) Ta có: x2 + 1, x – 2, 1 – 3x lập thành cấp số cộng
⇔ x 2 + 1 + 1 − 3 x = 2 ( x − 2 )
⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0
⇔ x = 2; x = 3
Vậy x = 2, x = 3 là những giá trị cần tìm.
b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có
x = (− 2 + 6)/ 2 = 2 và 6 = (x + y)/ 2
⇔ x = 2 và y = 10
Vậy P = x2 + y2 = 22 + 102 = 104.
Bài 2: Chứng minh rằng:
a) Nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng, với: x = a2 – bc, y = b2 – ca, z = c2 – ab.
b) Nếu phương trình x3 – ax2 + bx – c = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì 9ab = 2a3 + 27c.
Lời giải
a) a, b, c là cấp số cộng nên a + c = 2b
Cần chứng minh x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng tức là x + z = 2y.
Ta có 2y = 2b2 – 2ca
Và x + z = a2 + c2 - b(a + c)
= (a + c)2 – 2ac – 2b2
= 4b2 – 2ac – 2b2
= 2b2 – 2ac = 2y
Khi đó ta được: y = x + z 2
Vậy ta có điều phải chứng minh. b) Giả sử phương trình có ba nghiệm x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng khi đó: x1 + x3 = 2x2 (1)
Mặt khác: x3 – ax2 + bx – c
= (x – x1)(x – x2)(x – x3)
= x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1)x – x1 x2 x3
Suy ra x1 + x2 + x3 = a (2)
Từ (1) và (2), ta được 3 x 2 = a ⇔ x 2 = a/3
Vì phương trình đã cho có nghiệm x 2 = a/3, tức là: (a/3)3 − a(a/2) 2 + b(a/3) − c = 0
⇔ − 2 a 3/ + ba/3 − c = 0
⇔ 9ab = 2a3 +
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Trên đây là kiến thức về cấp số nhân. Để có thể hiểu rõ hơn nội dung được trình bày ở bài viết trên, tham khảo bài viết: Bộ đề tham khảo tốt nghiệp THPT 2023 cập nhật mới nhất.
Trân trọng.
