Mục lục bài viết

1. Lý thuyết 3 đường conic (Đường elip)

Định nghĩa Đường Elip

Đường Elip (còn được gọi là Elip) là một loại đường côn đặc biệt được định nghĩa như sau: Cho hai điểm cố định F1 và F2 với khoảng cách F1F2 = 2c (với c > 0), đường Elip là tập hợp của các điểm M trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ M đến F1 và từ M đến F2 luôn bằng một hằng số 2a, với a là một số thực lớn hơn c. Trong đó, hai điểm F1 và F2 được gọi là hai tiêu điểm của đường Elip.

Phương trình chính tắc của Đường Elip

Để xác định phương trình chính tắc của đường Elip, ta thường sử dụng hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O là trung điểm của hai tiêu điểm F1 và F2, và trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng F1F2.

Khi đó, phương trình chính tắc của đường Elip có thể được viết dưới dạng: ​\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}=1, trong đó a > b > 0. Đây là phương trình chính tắc của đường Elip.

Chú ý: Đối với đường Elip có phương trình chính tắc như trên, ta có c2 = a2 - b2, trong đó 2c là khoảng cách giữa hai tiêu điểm F1 và F2.

Nếu một điểm M(x, y) thuộc đường Elip, thì -a \leq x \leq a.

Ví dụ:

a) Phương trình \frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{5^{2}} = 1 có phải là phương trình chính tắc của đường Elip không?

b) Lập phương trình chính tắc của đường Elip có tiêu điểm F1(-3, 0) và đi qua điểm A(0, 2).

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình chính tắc của đường Elip có dạng \frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}=1, với a > b > 0.

Trong phương trình đã cho, a = 3 và b = 5, nên a < b.

Do đó, phương trình 1 không phải là phương trình chính tắc của đường Elip.

b) Để lập phương trình chính tắc của đường Elip với tiêu điểm F1(-3, 0) và đi qua điểm A(0, 2), ta cần xác định giá trị của a và b.

Vì F1(-3, 0) là một tiêu điểm của đường Elip, nên c = 3.

Điểm A(0, 2) thuộc đường Elip, vì vậy ta có \frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{2^{2}}{b^{2}} = 1

Từ đó, ta tính được b^2 = 4 và a^2 = b^2 + c^2 = 4 + 3^2 = 13.

Vậy phương trình chính tắc của đường Elip là \frac{x^{2}}{13} + \frac{y^{2}}{4}=1

 

2. Lý thuyết 3 đường conic (Đường hypebol)

Định nghĩa Đường Hypebol

Đường Hypebol (còn được gọi là Hypebol) là một loại đường côn đặc biệt được định nghĩa như sau: Cho hai điểm cố định F1 và F2 với khoảng cách F1F2 = 2c (với c > 0), đường Hypebol là tập hợp của các điểm M trong mặt phẳng sao cho hiệu khoảng cách từ M đến F1 và từ M đến F2 luôn bằng một hằng số 2a, trong đó a là một số nguyên dương cho trước nhỏ hơn c. Trong đó, hai điểm F1 và F2 được gọi là hai tiêu điểm của đường Hypebol.

Phương trình chính tắc của Đường Hypebol

Để xác định phương trình chính tắc của đường Hypebol, ta thường sử dụng hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O là trung điểm của hai tiêu điểm F1 và F2, và trục Ox là đoạn thẳng nối F1 và F2, trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng F1F2 = 2c (c > 0).

Khi đó, phương trình chính tắc của đường Hypebol có thể được viết dưới dạng: ​\frac{x^{2}}{a^{2}}  - \frac{y^{2}}{b^{2}}​=1, trong đó a > 0, b > 0. Đây là phương trình chính tắc của đường Hypebol.

Chú ý: Đối với Hypebol (H) có phương trình chính tắc như trên, ta có c2 = a2 + b2, trong đó 2c là khoảng cách giữa hai tiêu điểm F1 và F2.

Nếu một điểm M(x, y) thuộc đường Hypebol, thì x ≤ -a hoặc x ≥ a.

Ví dụ:

a) Phương trình\frac{x^{2}}{3^{2}} -  \frac{y^{2}}{5^{2}}= 1 có phải là phương trình chính tắc của đường Hypebol không?

b) Lập phương trình chính tắc của đường Hypebol (H) có tiêu điểm F1(-5, 0) và đi qua điểm A(-4, 0).

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình chính tắc của Hypebol có dạng \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, với a > 0, b > 0.

Trong phương trình đã cho, a = 3 và b = 5, nên \frac{x^{2}}{3^{2}} - \frac{y^{2}}{5^{2}}=1 là phương trình chính tắc của một Hypebol.

Vậy phương trình\frac{x^{2}}{3^{2}} - \frac{y^{2}}{5^{2}} = 1 là phương trình chính tắc của một Hypebol.

b) Để lập phương trình chính tắc của Hypebol với tiêu điểm F1(-5, 0) và đi qua điểm A(-4, 0), ta cần xác định giá trị của a và b.

Vì F1(-5, 0) là một tiêu điểm của Hypebol, nên c = 5.

Điểm A(-4, 0) thuộc Hypebol, vì vậy ta có: \frac{-4^{2}}{a^{2}} - \frac{0^{2}}{b^{2}}
= 1

Từ đó, ta tính được a2 = 16

Suy ra c^2 = a^2 + b^2 <=> 5^2 = 16 + b^2 <=> b^2 = 9.

Do đó phương trình Hypebol (H) là \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9}
=1

Vậy phương trình chính tắc của Hypebol (H) có tiêu điểm F1(-5, 0) và đi qua điểm A(-4, 0) là \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9}=1

 

3. Lý thuyết 3 đường conic (Đường parabol)

Định nghĩa Đường Parabol

Đường Parabol (hay còn gọi là Parabol) là một loại đường côn đặc biệt được định nghĩa như sau: Cho một điểm cố định F và một đường thẳng cố định ∆ mà ∆ không đi qua F, đường Parabol là tập hợp của các điểm M trong mặt phẳng sao cho khoảng cách từ M đến điểm F và khoảng cách từ M đến đường ∆ là bằng nhau.

Phương trình chính tắc của Đường Parabol

Để xác định phương trình chính tắc của đường Parabol, chúng ta thường sử dụng hệ trục tọa độ Oxy. Gốc tọa độ O được đặt tại trung điểm của đoạn thẳng nối F và điểm tiếp xúc vuông góc với ∆ (ký hiệu là H). Điểm F nằm trên trục Ox.

Khi sử dụng hệ trục tọa độ như trên, phương trình chính tắc của đường Parabol có thể được viết dưới dạng y^2 = 2px, trong đó p là một số thực dương (p > 0).

Chú ý:

Đối với đường Parabol (P) có phương trình chính tắc y^2 = 2px (p > 0):

Điểm F được gọi là tiêu điểm của Parabol.

Đường thẳng \Deltađược gọi là đường chuẩn của Parabol.

Nếu một điểm M(x, y) thuộc đường Parabol (P), thì x phải lớn hơn hoặc bằng 0.

Ví dụ:

a) Phương trình y^2 = -2x có phải là phương trình chính tắc của Parabol không?

b) Viết phương trình chính tắc của đường Parabol (P) biết rằng (P) có tiêu điểm là F(4, 0).

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình chính tắc của Parabol có dạng y^2 = 2px (p > 0).

Tuy nhiên, phương trình y^2 = -2x có dạng y^2 = 2px với p = -1 < 0.

Do đó, phương trình y^2 = -2x không phải là phương trình của Parabol.

b) Với Parabol (P) có tiêu điểm là F(4, 0), chúng ta có p^2 = 4 => p = 2.

Do đó, phương trình chính tắc của Parabol (P) là y^2 = 2 * 2 * x = 4x.

Vậy phương trình chính tắc của Parabol (P) là y^2 = 4x.

 

4. Ứng dụng của 3 đường conic

Ba đường conic - Elip, Hypebol và Parabol - có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế. Dưới đây là một số ví dụ về các ứng dụng của chúng:

Mô hình nguyên tử: Năm 1911, nhà vật lý người Anh Ernest Rutherford đưa ra mô hình nguyên tử hành tinh, trong đó hạt nhân nhỏ nằm ở trung tâm của nguyên tử, còn electron xoay quanh hạt nhân theo quỹ đạo hình elip giống như các hành tinh xoay quanh Mặt Trời.

Hiện tượng giao thoa sóng: Trong vật lý, khi hai sóng gặp nhau, chúng tạo ra hiện tượng giao thoa và hình thành các đường hypebol. Các vân giao thoa trong hiện tượng này có hình dạng giống các đường hypebol.

Gương parabol và hệ thống tiêu điểm: Gương parabol được sử dụng trong nhiều ứng dụng, trong đó tia sáng chiếu vào gương parabol sẽ được tập trung vào một điểm tiêu điểm và phản xạ ra như một tia sáng song song với trục của parabol.

Đèn Pha: Gương parabol thường được sử dụng trong thiết kế đèn pha ôtô. Bề mặt của đèn pha là một mặt tròn xoay quanh trục của nó, và bóng đèn được đặt tại điểm tiêu điểm của parabol. Khi ánh sáng phát ra từ bóng đèn chiếu lên bề mặt đèn pha, nó sẽ bị tập trung và phản xạ theo các tia sáng song song, giúp lái xe quan sát rõ ràng trong điều kiện ánh sáng yếu hoặc trong màn đêm.

Gương thu và phát sóng của vệ tinh: Các ăng-ten trên vệ tinh thường được thiết kế theo dạng gương parabol. Điểm thu và phát tín hiệu của vệ tinh được đặt ở vị trí tiêu điểm của parabol, điều này giúp tập trung tín hiệu vào hoặc ra khỏi ăng-ten, cải thiện chất lượng truyền tải tín hiệu từ vệ tinh xuống Trái đất.

Các ứng dụng này cho thấy tầm quan trọng và sự linh hoạt của ba đường conic trong các lĩnh vực vật lý, công nghệ và thiết kế sản phẩm.

Quý khách có thể đọc thêm bài viết sau: Đề thi Toán vào lớp 10 chọn lọc mới nhất năm 2023