1. Đạo hàm là gì?
Có thể nói đạo hàm là một mảng không khó hay nhiều ý kiến cho rằng khá dễ, thế nhưng, với nhiều bạn học sinh nó lại là phần khó, thêm nữa nó còn xuất hiện trong bài thi tốt nghiệp THPT quốc gia. Làm tốt mảng này có nghĩa bạn sẽ dễ dàng vượt qua kỳ thi tốt nghiệp cũng như làm tốt công việc học trên lớp.
Vậy công thức đạo hàm đầy đủ là như thế nào? Trước khi muốn học tốt bất kể môn nào, bài tập nào bạn cần nắm rõ kiến thức lý thuyết, với đạo hàm bạn phải hiểu đạo hàm là gì?
Theo định nghĩa Toán học đạo hàm lại là một tỉ số giữa số gia của đối số và số gia của hàm số tại một điểm được gọi là XO. Chiều biến thiên lên xuống của hàm số chính là giá trị của đạo hàm, điều này lý giải vì sao đạo hàm có ý nghĩa rất lớn trong vật lý và các ứng dụng trong hình học và hình học không gian. Cũng có định nghĩa khác của Wilipedia thì họ định nghĩa đạo hàm chính là sự biến thiên lên xuống của chính hàm số đó tại điểm biến thiên.
Trong Vật Lý đạo hàm chính là vận tốc tức thời, vận tốc tại thời điểm tính của một chất đang trong quá trình chuyển động hay nó chính là sự biểu diễn hình học trên đồ thị biểu diễn hàm số.
Ý nghĩa của đạo hàm
Về hình học: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0x0 là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x0,f(x0)) M(x0,f(x0)) đó.
=> Phương trình của tiếp tuyến tại điểm M: y−y0 = f′(x0)(x−x0)y−y0=f′(x0)(x−x0)
Về vật lý: Khi xét chuyển động thẳng s = f(t)s = f(t)
Lúc này vận tốc tức thời tại thời điểm t0t0 là: v(t0) = s′(t0) = f′(t0)v(t0) = s′(t0)=f′(t0)
Còn gia tốc tức thời tại thời điểm t0t0 là đạo hàm cấp 2 của phương trình chuyển động: a(t0) = f′′(t0) a(t0) = f″(t0)
Giả sử điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình: Q = f(t)Q = f(t)
Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0t0: I(t0) = Q′(t0) = f′(t0)
2. Công thức tính đạo hàm
- Các công thức tính đạo hàm cơ bản
+ Hàm số y = xn (n ∈ N, n > 1) có đạo hàm với mọi x ∈ R và: (xn)′=n xn – 1.
Dựa vào công thức tính đạo hàm:
(C)’= 0 (với C là hằng số). (x) ’= 1.
- Đạo hàm trong các phép toán của hàm số
Cho u = u(x) và v = v(x) lần lượt là các hàm số có đạo hàm tại điểm x,
ta có: (u + v)′ = u′ + v′;
(u – v)′ = u′ – v′;
(u.v)′ = u′.v + u.v′;
(u/v)′ = u′v − uv′/ v2, (v(x) ≠ 0)
- Công thức mở rộng cho các hàm số
Công thức đạo hàm (u1 + u2 + … + un)′ = u1 ′+ u2′ + … + un′.
+ Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: (ku)’ = ku’.
+ Hệ quả 2: (1v)′ = v′v2, (v(x) ≠ 0)
(u.v.w)′ = u′.v.w + u.v′.w + u.v.w′
- Đạo hàm của hàm hợp
Cho hàm số y = f(u) với u = u(x) thì ta có: y′u = y′u.u′x.
Suy ra: (un) = n.un – 1.u′, n∈N∗.
(u−−√u)′ = u′2u√u.
- Bảng đạo hàm của hàm số có biến là x
(xα)’ = α.xα-1
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = – sin x
(tan x)’ = 1cos2x = 1 + tan2 x
(cot x)’ = −1sin2x = -(1 + cot2 x)
(logα x)’ = 1x.lnα
(ln x)’ = 1 x (αx)’ = αx . lnα
- Bảng đạo hàm của hàm số có biến là u = f(x)
(uα)’ = α.u’.uα-1
(sin u)’ = u’.cos u
(cos u)’ = – u’.sin u
(tan u)’ = u′cos2u = u'(1 + tan2 u)
(cot u)’ = −usin2u = -u'(1 + cot2 x)
(logα u)’ = uu.lnα
(ln u)’ = u′u (αu)’ = u’.αu.lnα
(eu)’ = u’.eu
- Các công thức đạo hàm nâng cao
Ta cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n-1 kí hiệu f (n-1) (x) (với n ∈ N, n ≥ 4).
Nếu f (n-1) (x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của y = f(x), y (n) hoặc f (n) (x).
f (n) (x) = [f (n-1) (x)]’
Công thức đạo hàm cấp cao:
Nếu m ≥ n thì ta được: (x m)(n) = m(m – 1)(m – 2)…(m – n + 1).xm – n
Còn nếu m ≤ n thì ta được: (x m)(n) = 0
3. Một số bài tập đạo hàm cơ bản
Bài tập 1: Hãy tính đạo hàm cơ bản sau y = x3 – 3x2+ 2x + 1
Giải Sử dụng công thức đạo hàm ta có: y′ = (–x3 + 3x + 1)′ = 3x2 – 6x + 2
Bài tập 2: Cho hàm số có chứa căn như sau y = (2x + 1)/ (x – 3). Hãy tính đạo hàm
Giải
Vận dụng công thức đạo hàm của hàm hợp:
y′ = (2x + 1)′(x – 3)–(x – 3)′(2x + 1)/ (x – 3)2
= –7/ (x–3)2
Bài tập 3: Đạo hàm của hàm số y = (2x4 – 3x2 – 5x)(x2 – 7x) bằng biểu thức nào dưới đây?
A. (8x3 – 6x – 5)(2x – 7)
B. (8x3 – 6x – 5)(x2 – 7x) – (2x4 – 3x2 – 5x)(2x – 7)
C. (8x3 – 6x – 5)(x2 – 7x)+(2x4 – 3x2 – 5x)(2x – 7)
D. (8x3 – 6x – 5) + (2x – 7)
Giải
Đáp án: C
Áp dụng công thưc đạo hàm hàm hơp (uv)’= u’v + uv’
ta có: y’ = (8x3 – 6x – 5)(x2 – 7x) + (2x4 – 3x2 – 5x)(2x – 7)
Chọn đáp án là C
Bài tập 4: Đạo hàm của hàm số f(t) = a3t4 – 2at2 + 3t – 5a bằng biểu thức nào sau đây?
A. 4a3t3 – 4at + 3
B. 3a2t4 – 2t2 – 5
C. 12a2t3 – 4at – 2
D. 4a3t3 – 4at – 5
Giải Đáp án: A f'(t) = 4a3t3 – 4at + 3
Chọn đáp án là A
Bài tập 5: Đạo hàm của hàm số f(x) = a3 – 3at2 – 5t3 (với a là hằng số) bằng biểu thức nào sau đây?
A. 3a2 – 6at – 15t2
B. 3a2 – 3t2
C. -6at – 15t2
D. 3a2 – 3t2 – 6at – 15t2
Giải Đáp án: C
f(t) = a3 – 3at2 – 5t3 f'(t) = -6at – 15t2
Chọn đáp án là C
Bài tập 6: Đạo hàm của hàm số y = 6(sin4x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) bằng biểu thức nào sau đây?
A. 24(sin3x + cos3x) – 24(sin5x + cos5x)
B. 24(sin3x – cos3x) – 24(sin5x + cos5x)
C. 2
D. 0
Giải
Đáp án: D
y’= 6(sin2x + cos2x)2 – 12sin2xcos2x – 4(sin2x + cos2x)2 + 12sin2xcos2x(sin2x + cos2x) = 2
Bài tập 7: Tính đạo hàm của hàm số: y= ( 5x+ 2)10.
A . 10( 5x+2)9
B. 50( 5x+2)9
C. 5( 5x+2)9
D.(5x+2)9
Giải
Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’=10.(5x+2)9.( 5x+2)’=50(5x+2)9
Chọn B.
Bài tập 8:
Đạo hàm của hàm số y = f(x)= ( 1- 3x2,)5 là:
A. -30x.(1-3x2 )4
B. -10x.(1-3x2 )4
C. 30(1-3x2 )4
D. -3x.(1-3x2 )4
Giải
Đặt u (x)= 1- 3×2
suy ra u (x)=( 1-3x2 )’=(1)’-3(x2 )’= -6x
Với u= 1-3×2 thì y= u5 suy ra y‘ (u)=5.u4=5.(1-3x2)4
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có : y‘ (x)= 5.(1-3x2 )4.(-6x)= -30x.(1-3x2 )4
Chọn A.
Bài tập 9: Tính đạo hàm của hàm số : y= ( x3+ x2 -1)2 ( 2x+1)2
A. y’= ( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.( 8x+4)
B. y’= 2( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.( 8x+4)
C. y’= ( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.( 4x+4)
D. y’= 2( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2-(x3+ x2-1)2.( 8x+4)
Giải
Áp dụng công thức đạo hàm của của hàm hợp và đạo hàm của một tích ta có : y’=[( x3+ x2-1) ]2‘.(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.[(2x+1)2]’
Hay y’=2( x3+ x2-1)( x3+ x2-1)’.(2x+1)2+ (x3+ x2-1)2.2( 2x+1).(2x+1)’
⇔ y’= 2( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.2( 2x+1).2
⇔ y’= 2( x3+ x2-1)( 3x2+2x).(2x+1)2+(x3+ x2-1)2.( 8x+4)
Bài tập 10: Cho hàm số y= 2x3 – 6x2+ 2000. Phương trình y’= 0 có mấy nghiệm?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Giải
+ Ta có đạo hàm: y’ = 6x2-12x
+ Để y’=0 thì 6x2-12x=0
Chọn C.
Bài tập 11: Cho hàm số y= x4+ 2x3 – k.x2+ x- 10. Tìm k để phương trình y’=1 có một nghiệm là x= 1?
A. k= 5
B. k= -5
C. k= 2
D. k= – 3
Giải
+ Ta có đạo hàm: y’= 4x3+ 6x2 – 2kx+ 1.
+ Để y’= 1 thì 4x3+ 6x2 – 2kx+ 1 = 1 ⇔ 4x3+ 6x2 – 2kx = 0. (*)
Do phương trình y’= 1 có một nghiệm là x= 1 nên phương trình (*) có một nghiệm x= 1.
Suy ra: 4.13 + 6.12 – 2.k.1= 0 ⇔ 10- 2k = 0 ⇔ k= 5.
Chọn A.
Trên đây là một số nội dung của công thức tính đạo hàm. Để hiểu hơn, tham khảo bài viết: Cách bấm máy tính đạo hàm nhanh, chi tiết, chính xác nhất.
Trân trọng!
