Mục lục bài viết

1. Số nguyên là gì? Khái niệm và tập hợp số nguyên trong toán học

Số nguyên là những số không có phần thập phân, bao gồm số nguyên âm, số 0 và số nguyên dương.

Tập hợp số nguyên được ký hiệu là Z và được viết:

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Các số nguyên kéo dài vô hạn về cả hai phía của số 0. Nhờ có số nguyên âm, toán học có thể biểu diễn những đại lượng nhỏ hơn 0 như nhiệt độ dưới 0 độ C, độ sâu dưới mực nước biển, khoản nợ hoặc sự giảm sút.

Ví dụ:

  • Nhiệt độ 5 độ C dưới 0 được biểu diễn là -5°C.
  • Một người nợ 200.000 đồng có thể biểu diễn bằng -200.000 đồng.
  • Độ cao 32 m dưới mực nước biển được biểu diễn là -32 m.
  • Lợi nhuận 500.000 đồng có thể biểu diễn là +500.000 đồng.

Số nguyên dương là những số lớn hơn 0:

1, 2, 3, 4, …

Số nguyên âm là những số nhỏ hơn 0:

-1, -2, -3, -4, …

Số 0 không phải số nguyên dương cũng không phải số nguyên âm, nhưng vẫn thuộc tập hợp số nguyên.

Tập hợp số nguyên mở rộng tập hợp số tự nhiên. Nếu ký hiệu tập hợp số tự nhiên là N thì có thể viết:

N ⊂ Z

Ngoài ra:

Z ⊂ Q ⊂ R

Trong đó:

  • N là tập hợp số tự nhiên.
  • Z là tập hợp số nguyên.
  • Q là tập hợp số hữu tỉ.
  • R là tập hợp số thực.

Tập hợp số nguyên có ý nghĩa quan trọng vì các phép cộng, trừ và nhân hai số nguyên luôn cho kết quả là một số nguyên. Chẳng hạn:

  • 5 + (-8) = -3.
  • (-6) - 4 = -10.
  • (-3) × (-7) = 21.

Tuy nhiên, phép chia hai số nguyên không phải lúc nào cũng cho kết quả là số nguyên:

  • 12 : 3 = 4, là số nguyên.
  • 5 : 2 = 2,5, không phải là số nguyên.

Việc học số nguyên giúp học sinh chuyển từ cách nhìn số học đơn giản sang cách mô tả các đại lượng có hướng, có tăng giảm và có sự đối lập trong thực tế.

 

2. Phân loại số nguyên: Số nguyên dương và số nguyên âm

Số nguyên dương

Số nguyên dương là những số nguyên lớn hơn 0.

Tập hợp số nguyên dương được viết:

Z⁺ = {1, 2, 3, 4, …}

Một số nguyên dương có thể viết kèm dấu “+” hoặc không cần viết dấu “+”.

Ví dụ:

+5 = 5
+12 = 12

Trong thực tế, số nguyên dương thường biểu thị:

  • Số lượng đồ vật.
  • Khoản tiền có.
  • Số tiền lãi.
  • Độ cao trên mực nước biển.
  • Nhiệt độ trên 0°C.
  • Số bước tiến về phía trước.

 

Số nguyên âm

Số nguyên âm là những số nguyên nhỏ hơn 0.

Tập hợp số nguyên âm được viết:

Z⁻ = {…,-4, -3, -2, -1}

Mỗi số nguyên âm đều có dấu “-” đứng trước.

Trong thực tế, số nguyên âm thường biểu thị:

  • Nhiệt độ dưới 0°C.
  • Độ sâu dưới mực nước biển.
  • Khoản tiền nợ.
  • Số tiền bị lỗ.
  • Sự giảm sút.
  • Vị trí lùi về phía sau hoặc thấp hơn điểm mốc.

Ví dụ:

-3°C nghĩa là nhiệt độ thấp hơn 0°C ba độ.

-20 m nghĩa là vị trí thấp hơn mực nước biển 20 m.

 

Số đối của một số nguyên

Hai số nguyên được gọi là đối nhau nếu chúng nằm ở hai phía của số 0 và có cùng khoảng cách đến 0.

Ví dụ:

  • Số đối của 5 là -5.
  • Số đối của -8 là 8.
  • Số đối của 0 là 0.

Trên trục số, hai số đối nhau nằm đối xứng qua điểm 0.

Số đối có tính chất:

a + (-a) = 0

Ví dụ:

7 + (-7) = 0

(-12) + 12 = 0

 

Giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối của một số nguyên là khoảng cách từ điểm biểu diễn số đó đến điểm 0 trên trục số. Giá trị tuyệt đối luôn là số không âm.

Ký hiệu giá trị tuyệt đối của a là |a|.

Ví dụ:

|5| = 5
|-5| = 5
|0| = 0

Hai số đối nhau có cùng giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu.

Cần phân biệt số nguyên âm với giá trị tuyệt đối của nó:

  • Số -7 là số nguyên âm.
  • Giá trị tuyệt đối của -7 là 7.

 

3. Số 0 là số nguyên dương hay số nguyên âm?

Số 0 không phải là số nguyên dương và cũng không phải là số nguyên âm.

Lý do:

  • Số nguyên dương là số lớn hơn 0.
  • Số nguyên âm là số nhỏ hơn 0.
  • Số 0 không lớn hơn 0 và cũng không nhỏ hơn 0.

Ta có:

  • 5 > 0 nên 5 là số nguyên dương.
  • -5 < 0 nên -5 là số nguyên âm.
  • 0 = 0 nên 0 không thuộc hai nhóm trên.

Tập hợp số nguyên được chia thành ba phần không giao nhau:

Z = Z⁻ ∪ {0} ∪ Z⁺

Trong đó:

  • Z⁻ là tập hợp số nguyên âm.
  • {0} là tập hợp chỉ gồm số 0.
  • Z⁺ là tập hợp số nguyên dương.

Số 0 có vị trí đặc biệt trong toán học. Trên trục số, 0 là điểm gốc, nằm giữa các số nguyên âm và số nguyên dương. Nó là mốc để xác định một số nằm về phía âm hay phía dương.

Số 0 cũng có các tính chất quan trọng:

  • a + 0 = a.
  • a - 0 = a.
  • a × 0 = 0.
  • 0 : a = 0 với a ≠ 0.
  • Không được chia một số cho 0.

Ví dụ:

  • 12 + 0 = 12.
  • -8 - 0 = -8.
  • 25 × 0 = 0.
  • 0 : 5 = 0.

Cần phân biệt số 0 với “không có giá trị”. Trong nhiều tình huống, số 0 biểu thị một trạng thái hoặc một mốc quan trọng. Ví dụ, 0°C là một giá trị nhiệt độ; tầng 0 của một tòa nhà là một vị trí; số dư bằng 0 nghĩa là không còn khoản nợ hoặc khoản thừa.

 

4. Ký hiệu và các tính chất quan trọng của tập hợp số nguyên Z

Ký hiệu của tập hợp số nguyên

Tập hợp số nguyên được ký hiệu là Z:

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Một số ký hiệu liên quan:

  • Z⁺: tập hợp số nguyên dương.
  • Z⁻: tập hợp số nguyên âm.
  • a ∈ Z: a là phần tử của tập hợp số nguyên.
  • a ∉ Z: a không phải là số nguyên.
  • a > 0: a là số nguyên dương nếu a thuộc Z.
  • a < 0: a là số nguyên âm nếu a thuộc Z.
  • a = 0: a là số 0.

 

Biểu diễn trên trục số

Trục số là đường thẳng có điểm 0 làm điểm gốc.

  • Các số nguyên dương nằm bên phải 0.
  • Các số nguyên âm nằm bên trái 0.
  • Số càng nằm về bên phải thì càng lớn.
  • Số càng nằm về bên trái thì càng nhỏ.

Ví dụ:

  • -4 < -2 vì -4 nằm bên trái -2.
  • -2 < 0 vì -2 nằm bên trái 0.
  • 0 < 3 vì 0 nằm bên trái 3.
  • -5 < 4 vì mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn mọi số nguyên dương.

 

Quy tắc so sánh số nguyên

Khi so sánh hai số nguyên:

  • Mọi số nguyên dương đều lớn hơn 0.
  • Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn 0.
  • Mọi số nguyên dương đều lớn hơn mọi số nguyên âm.
  • Trong hai số nguyên dương, số nào có giá trị lớn hơn thì số đó lớn hơn.
  • Trong hai số nguyên âm, số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.

Ví dụ:

So sánh -9 và -4:

|-9| = 9
|-4| = 4

Vì 9 > 4 nên -9 < -4.

Điều này có thể hiểu trên trục số: -9 nằm xa 0 hơn về phía bên trái nên nhỏ hơn -4.

 

Tính chất giao hoán

Phép cộng và phép nhân các số nguyên có tính chất giao hoán:

a + b = b + a

a × b = b × a

Ví dụ:

  • (-3) + 8 = 8 + (-3) = 5.
  • (-4) × 6 = 6 × (-4) = -24.

 

Tính chất kết hợp

Phép cộng và phép nhân các số nguyên có tính chất kết hợp:

(a + b) + c = a + (b + c)

(a × b) × c = a × (b × c)

Ví dụ:

[(-2) + 5] + 7 = (-2) + [5 + 7] = 10.

 

Tính chất phân phối

Phép nhân phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a × (b + c) = a × b + a × c

a × (b - c) = a × b - a × c

Ví dụ:

3 × [5 + (-2)] = 3 × 5 + 3 × (-2) = 15 - 6 = 9.

 

Tính chất của số 0 và số 1

Với mọi số nguyên a:

  • a + 0 = a.
  • a - 0 = a.
  • a × 0 = 0.
  • a × 1 = a.
  • 0 × a = 0.

Số 0 là phần tử trung hòa của phép cộng. Số 1 là phần tử trung hòa của phép nhân.

 

Quy tắc dấu trong phép nhân và phép chia

Khi nhân hoặc chia hai số nguyên khác 0:

  • Hai số cùng dấu cho kết quả dương.
  • Hai số khác dấu cho kết quả âm.

Ví dụ:

(+4) × (+5) = +20
(-4) × (-5) = +20
(+4) × (-5) = -20
(-4) × (+5) = -20

Quy tắc này cũng áp dụng cho phép chia:

(+20) : (+4) = +5
(-20) : (-4) = +5
(+20) : (-4) = -5
(-20) : (+4) = -5

 

Tính đóng của tập hợp số nguyên

Tập hợp số nguyên đóng đối với phép cộng, phép trừ và phép nhân. Nghĩa là khi cộng, trừ hoặc nhân hai số nguyên, kết quả luôn là số nguyên.

Ví dụ:

  • 7 + (-10) = -3 ∈ Z.
  • -8 - 5 = -13 ∈ Z.
  • -4 × 6 = -24 ∈ Z.

Tập hợp số nguyên không đóng đối với phép chia vì có những phép chia cho kết quả không phải số nguyên:

5 : 2 = 2,5.

 

5. Các câu hỏi thường gặp về số nguyên và tập hợp số nguyên

Câu hỏi 1: Số 0 có phải là số nguyên không?

Có. Số 0 thuộc tập hợp số nguyên nhưng không phải số nguyên dương và cũng không phải số nguyên âm.

Câu hỏi 2: Số dương có bắt buộc phải viết dấu “+” không?

Không. Có thể viết 5 hoặc +5; hai cách viết này có cùng giá trị. Trong nhiều phép tính, dấu “+” của số dương được lược bỏ.

Câu hỏi 3: Vì sao -8 lại nhỏ hơn -3 dù 8 lớn hơn 3?

Trên trục số, -8 nằm bên trái -3 nên -8 nhỏ hơn -3. Với hai số âm, số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.

Câu hỏi 4: Số đối của 0 là số nào?

Số đối của 0 là 0 vì:

0 + 0 = 0.

Số 0 là số duy nhất có số đối bằng chính nó.

Câu hỏi 5: Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn mọi số nguyên dương đúng không?

Đúng. Mọi số nguyên âm nhỏ hơn 0, còn mọi số nguyên dương lớn hơn 0. Vì vậy, mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn mọi số nguyên dương.

Câu hỏi 6: -1 có phải là số nguyên âm lớn nhất không?

Có. Trong các số nguyên âm, -1 là số lớn nhất vì nó nằm gần 0 nhất.

Không có số nguyên âm nhỏ nhất vì các số nguyên âm kéo dài vô hạn về phía âm:

…, -100, -99, -98, …

Câu hỏi 7: 1 có phải là số nguyên dương nhỏ nhất không?

Có. Trong các số nguyên dương, 1 là số nhỏ nhất.

Không có số nguyên dương lớn nhất vì dãy số tiếp tục tăng vô hạn.

Câu hỏi 8: Số nguyên có phải là số tự nhiên không?

Không phải mọi số nguyên đều là số tự nhiên. Các số nguyên dương và số 0 thuộc tập hợp số tự nhiên theo cách định nghĩa thông dụng, còn số nguyên âm không thuộc tập hợp số tự nhiên.

Có thể hiểu:

Z = {số nguyên âm} ∪ N

nếu N được xác định là {0, 1, 2, 3, …}.

Câu hỏi 9: Làm thế nào để biểu diễn số nguyên trên trục số?

Chọn điểm 0 làm gốc. Từ 0:

  • Di chuyển sang phải một số đơn vị để biểu diễn số dương.
  • Di chuyển sang trái một số đơn vị để biểu diễn số âm.

Ví dụ, để biểu diễn -4, từ điểm 0 di chuyển sang trái 4 đơn vị.

Câu hỏi 10: Số âm có xuất hiện trong đời sống thực tế không?

Có. Số âm được dùng để biểu thị nhiệt độ dưới 0°C, độ sâu, khoản nợ, số tiền lỗ, độ cao dưới mực nước biển và những đại lượng giảm so với mốc ban đầu.

Câu hỏi 11: Có được chia một số nguyên cho 0 không?

Không. Phép chia cho 0 không được xác định. Chỉ được thực hiện phép chia a : b khi b khác 0.

Câu hỏi 12: Khi cộng hai số nguyên khác dấu, cần làm thế nào?

So sánh giá trị tuyệt đối của hai số, lấy giá trị tuyệt đối lớn trừ giá trị tuyệt đối nhỏ rồi đặt dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn.

Ví dụ:

(-8) + 5

Ta có 8 > 5 nên:

(-8) + 5 = -(8 - 5) = -3.

Nắm vững tập hợp số nguyên giúp học sinh hiểu rõ các đại lượng đối lập, thực hiện chính xác phép tính có dấu và chuẩn bị nền tảng cho việc học số hữu tỉ, số thực, biểu thức đại số và phương trình.

Bên cạnh đó, quý phụ huynh, học sinh cũng có thể tham khảo thêm: