Mục lục bài viết

1. Lý thuyết cần nhớ

Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm

Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau:

Ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn

f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) \leq 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R nghĩa là a < 0; \Delta < 0

f(x) < 0 vô nghiệm khi và chỉ khi f(x)  \geq 0 nghiệm đúng với  mọi x thuộc R nghĩa là a <0 ; \Delta < 0

f(x) > vô nghiệm khi và chỉ khi f(x) < 0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc R có nghĩa là a < 0 ; \Delta < 0

f(x) < 0 vô nghiệm khi và chỉ khi f(x) > 0 có nghiệm đúng có mọi x thuộc R nghĩa là a < 0 ; \Delta < 0

Ví dụ: Cho bất phương trình  (m - 1)x2 + 2mx - 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R.

Hướng dẫn giải:

Đặt ( m - 1) x2 + 2mx - 3 = f(x)

Trường hợp 1: m - 1 = 0 

2. Tìm m để bất phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: cho bất phương trình (m - 1) x2 + 2mx - 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương tình nghiệm đúng với mọi x thuộc R

Hướng dẫn giải

Đặt ( m - 1) x2 + 2mx - 3 = f(x)

Trường hợp 1 : m - 1 = 0 ⇒ m = 1 . Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x - 3 > 0 ⇒ x > 3/2 ( loại)

Trường hợp 2: m - 1 # 0 ⇔ m # 1

Để bất phương trình f (x) > 0 nghiệm đúng với mọi x ⇔ a > 0 ; \Delta < 0

⇔ m - 1 > 0; 4m2 + 12m - 12 < 0

⇔ m thuộc m > 1; m \in ( -1 - \sqrt{21} / 2; - 3 + \sqrt{21}/2 

⇔ m thuộc rỗng

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R

 

2. Tìm m để bất phương trình có nghiệm có đáp án chi tiết

Câu  1: Tìm m để bất phương trình x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m < 0 có nghiệm với mọi x thuộc [ 0; 1]

Hướng dẫn giải

Đặt x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m < 0

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x [ 0; 1]

Phương tình f(x) = 0 có nghiệm thỏa mãn

x1 < 1 < 2 < x2 

⇔ kf(0) < 0 ; kf(0) < 0 

⇔ m2 + 2m < 0 ; m2 - 1 < 0

⇔ -1 < m < 0

Vậy với -1 < m < 0 thỏa mãn điều kiện bài cho

Câu 2: Tìm mđể bất phương trình sau ( m +2) x2 - 2mx + m2 + 2m < 0 có nghiệm

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 suy ra m = -2 ta được

(1)  4x + 4 < 0 ⇒ x < -1

Bất phương tình vô nghiệm

Trường hợp 2: với m < -2

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2 

Khi đó bất phương tình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt

⇔ \Delta > 0 

⇔ m2 - 2 > 0

⇔ \left | \sqrt{}2 \right | 

⇔ m > \sqrt{}2; -2 < m < -\sqrt{}2

Câu 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m2x + 3 < mx + 4

Hướng dẫn giải:

Bất phương tình tương đương với: m2x - mx < 4

⇔ (m2 -m) x < 1 

m2 - m = 0

m = { 0; 1}

thì bất phương tình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x

Nên bất phương trình có vô số nghiệm

Với m2 - m # 0

m # { 0; 1} thì bất phương tình trở thành x < 1/m2 - m luôn có nghiệm là x < 1/m2 - m

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m

Câu 4: Tìm m để bất phương trình  m2x + 3 < mx + 4 có nghiệm

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình tương đương với:

m2x -mx < 4 - 3

( m2 - m)x < 1

Với m2 - m = 0

m = { 0; 1}

thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với  mọi x

Nên bất phương trình có vô số nghiệm

Với m2 - m = 0 # 0 

m # { 0; 1}

thì bất phương tình trở thành x < 1/m2 - m

Câu 5: Tìm m để bất phương trình (m + 4)x2 - 2mx + 2m - 6 < 0 có nghiệm đúng với mọi x

Hướng dẫn giải

Với m = -4 thì bất phương tình trở thành : 8x - 14 < 0 với mọi x ( loại)

Với m # -4 thì f(x) < 0 với mọi x

⇔ a < 0; \Delta ' < 0

⇔ m < -4 ; m2 - (m + 4) (2m-6) < 0

⇔ m < -4

m < -4

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -43.

 

3. Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệm

Câu 1: Cho tam thức f(x) = x2 - 2mx + 3m -2 . Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) > 0 với mọi x thuộc [1 ; 2]

Câu 2: Xác định m sao cho với mọi x ta đều có : mx2 - 4x + 3m + 1 > 0

Câu 3: Tìm m để bất phương trình : x2 - 2x + 1 - m2 < 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc [1 ; 2]

Câu 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x thuộc (-1 ; 3) 

3 (m -2) x2 + 2( m + 1) + m -1 < 0

Câu 5: Tìm m để bất phương trình m2 - 2mx + 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi m thuộc ( -1 ; 0,5)

Câu 6: Tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của bất phương trình : x2 + (m - 1) x - m < 0 đều có nghiệm của bất phương trình

Câu 7: Với giá trị nào của m thì bất phương tình sau: ( m - 2) x2 + 2mx - 2 - m < 0 có nghiệm

Câu 8: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương tình f(x) = 2mx2 - (1 - 5m) x + 3m + 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng từ -2 đến 0 (-2 ; 0)

Câu 9: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R có nghiệm:

( m - 5) x2 - 2x + m + 1 > 0

Câu 10: Tìm giá trị của tham số để bất phương trình sau có nghiệm luôn đúng với mọi x

a. 5x2 - x + m > 0

b. mx2 - 10x - 5 < 0

c. m (m + 2) x2 - 2mx + 2 > 0

d. ( m + 1) x2 - 2( m -1 ) x + 3m - 3 < 0

Câu 11: Cho bất phương trình sau tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R

2mx2 + 2 ( m -1)x + 7m + 9 / x2 + 1 > 1

Câu 12: Tìm m để các bất phương tình sau có nghiệm đúng với mọi x

a. x2 - 2 ( m - 2) x + 2( m2 - 2x + 3) > 0

b. mx2 + ( m -1 )x + m - 1 < 0

Câu 13: Xác định m để đa thức sau: ( 3m + 1) x2 - (3m + 1) x + m + 4 luôn dương với mọi x 

Câu 14: Tìm m để phương trình: (m2 + m + 1) x2 + (2m - 3) + m - 5 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Câu 15: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x

a. 3x2 + 2( m -1 )x + m + 4 > 0

b. x2 + ( m + 1 )x + 2m + 7 > 0

c. 2x2 + ( m -2 )x - m + 4 > 0

Câu 16: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

a . ( m - 5) x2 - 4mx + m - 2 = 0

b. ( m -2 )x2 + 2(2m - 3) x + 5m - 6 = 0

Bạn đọc có thể tham khảo bài viết sau: Giải hệ phương trình toán lớp 9

Bài viết trên Luật Minh Khuê đã gửi tới bạn đọc chi tiết về vấn đề Tìm m để bất phương trình có nghiệm chi tiết về cách làm cũng như dạng bài tập tự luyện tập thêm. Cảm ơn bạn đọc đã theo dõi bài viết.