Mục lục bài viết

1. Lý thuyết bài toán về giải hệ phương trình

Hệ phương trình là một tập hợp các phương trình, thường có một số ẩn số, mà các nghiệm chung được tìm kiếm. Do đó, một nghiệm của hệ phương trình là một tập hợp các giá trị cho mỗi ẩn số, chúng cùng nhau tạo thành một nghiệm cho mỗi phương trình trong hệ thống. 

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

\left\{\begin{matrix} ax + by = c & \\ a'x + b'y = c'& \end{matrix}\right.

Trong đó a, b, c, a', b', c' là các số thực cho trước, x và y là ẩn số

- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung ( x 0 , y 0 ) thì ( x 0 , y 0 ) được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, bạn có thể dùng các phương pháp sau:

- Phương pháp thế: là phương pháp biến đổi một trong hai phương trình để tìm ra giá trị của một ẩn theo ẩn còn lại, rồi thay vào phương trình kia để tìm giá trị của ẩn còn lại.

- Phương pháp cộng đại số: là phương pháp nhân hoặc chia cả hai vế của một hoặc cả hai phương trình cho một số thực khác không, rồi cộng hoặc trừ hai phương trình với nhau để loại bỏ một ẩn, rồi giải phương trình còn lại để tìm giá trị của ẩn còn lại.

- Phương pháp định thức: là phương pháp sử dụng công thức Cramer để tìm nghiệm của hệ phương trình dựa vào các định thức của ma trận các hệ số và ma trận mở rộng.

Hệ phương trình tương đương: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng d : a x + b y = c và d ′ : a ′ x + b ′ y = c ′ .

Trường hợp 1. d ∩ d ′ = A ( x 0 ; y 0 ) ⇔ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x0 ; y 0);

Trường hợp 2. d / / d ′ ⇔ Hệ phương trình vô nghiệm;

Trường hợp 3. d ≡ d ′ ⇔ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ a /a ′ ≠ b /b ′ ;

Hệ phương trình vô nghiệm ⇔ a/a ′ = b /b ′ ≠ c/ c ′ ;

Hệ phương trình có vô số nghiệm ⇔ a /a ′ = b /b ′ = c /c ′ .

Các dạng toán thường gặp về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Dạng 1: Dự đoán số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có số nghiệm yêu cầu.

Phương pháp:

xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \left\{\begin{matrix} ax + by = c & \\ a'x + b'y = c'& \end{matrix}\right.

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất <=> a/a' khác b/b'

- Hệ phương trình vô nghiệm <=> a/a' = b/b' khác c/c'

- Hệ phương trình có vô số nghiệm <=> a/a' = b/b' = c/c'

Dạng 2: Kiểm tra cặp số cho trước có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay không?

Phương pháp: Cặp số ( x 0 ; y 0 ) là nghiệm của hệ phương trình {a x + b y = c và a ′ x + b ′ y = c ′ khi và chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị

Phương pháp: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn  a x + b y = c và a ′ x + b ′ y = c ′ bằng phương pháp đồ thị ta làm như sau:

Bước 1. Vẽ hai đường thẳng d: ax + by = c và d': a'x + b'y = c' trên cùng một hệ trục tọa độ. Hoặc tìm tọa độ giao điểm củ hai đường thẳng. 

Bước 2. Xác định nghiệm của hệ phương trình dựa vào đồ thị đã vẽ ở bước 1 (hay nghiệm của hệ phương trình chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng).

 

2. Cách giải bài tập tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Để giải bài toán này, bạn cần làm theo các bước sau:

- Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Theo quy tắc Cramer, điều kiện này là:

d = aa' - bb' khác 0

- Bước 2: Giải hệ phương trình theo phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm (x; y) theo tham số m

- Bước 3: Thay nghiệm (x; y) vừa tìm được vào biểu thức điều kiện cho trước và giải để tìm m

- Bước 4: Kết luận

Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm suy nhất thỏa mãn x + y = 1

\left\{\begin{matrix} (m + 2)x + (m+2)y = 3 & \\ x + 3y = 4& \end{matrix}\right.

Lời giải:

- Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Ta có:

D = (m + 2) x 3 - (m + 3) x 1 = 2 (m + 2)

Vậy điều kiện là m khác -2

- Bước 2: Giải hệ phương trình theo phương pháp cộng đại số. Ta có

\left\{\begin{matrix} (m + 2)x + (m+2)y = 3 & \\ x + 3y = 4& \end{matrix}\right.

<=> (m + 5) x - y = -5 và x + 3y = 4

<=> x = (-5 + y)/(m + 5) và x + 3y = 4

x = (-5 + y) / (m + 5) và (-5 + y)/(m + 5) + 3y = 4

<=> x = (-5 + y) / (m + 5) và y(m² - m - 13) = -20 - m

- Bước 3: Thay nghiệm (x; y) vừa tìm được vào biểu thức điều kiện x + y =1 và giải để tìm m. Ta có:

x + y = 1

<=> (-5 + y)/(m + 5) + y = 1

<=> (y - m)(y - m -13) = -20 -m

<=> y² - (2m + 13)y + (13m² + 26m + 20) = 0

Để phương trình bậc hai trên có nghiệm, ta cần denta >= 0. Ta có:

Denta = (2m +13)² - 4(13)(13m² + 26m + 20) = -168 (m² + 4)

Vậy denta >= 0 khi và chỉ khi m =0 hoặc m = -4

- Bước 4: Kết luận. Với m = 0 hoặc m = -4, hệ phương trình có nghiệm duy nhất thảo mãn x + y = 1

 

3. Bài toán tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện

Bài 1: Cho hệ phương trình \left\{\begin{matrix} (m-1)x + y = 2 & \\ mx + y = m+1& \end{matrix}\right. với m là tham số.

a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x + y ≤ 3

Lời giải:

a) Giải hệ phương trình khi m = 2 Thay m = 2 vào hệ phương trình ta được:

\left\{\begin{matrix} x + y =2 & \\ 2x + y = 3& \end{matrix}\right.   

<=> \left\{\begin{matrix} x + y =2 & \\ x= 1& \end{matrix}\right.

<=> x =1 và y =1

Vậy khi m = 2 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1)

b) Rút y từ phương trình thứ nhất ta được

y = 2 – (m – 1)x thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

3m + 2 – (m – 1)x = m + 1

<=> x = m – 1

Suy ra y = 2(m – 1)2 với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) = (m – 1; 2 – (m – 1)2) 2x + y = 2(m – 1) + 2 – (m – 1)2 = -m2 + 4m – 1 = 3 – (m – 2)2 ≤ 3 với mọi giá trị của m.

Bài 2: Cho hệ phương trình

a, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \left\{\begin{matrix} 3x + my =4 & \\ x + y= 1& \end{matrix}\right.

b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x < 0; y > 0

Lời giải:

a, Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 3/1 khác m/1 ⇔ m ≠ 3

b, Với m ≠ 3, hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Theo đề bài, ta có:

\left\{\begin{matrix} 3x + my =4 & \\ x + y= 1& \end{matrix}\right.     \left\{\begin{matrix} 3(1-y) + my =4 & \\ x = 1 -y& \end{matrix}\right.    \left\{\begin{matrix} 3-3y + my =4 & \\ x = 1 -y& \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} y = \frac{1}{m-3}& \\ x = \frac{m-4}{m-3}& \end{matrix}\right.    

Để y > 0 <=> 1/m-3 > 0 => m-3 > 0 <=> m>3

Để x < 0 khi và chỉ khi

(m - 4)/(m - 3) < 0 <=> (m - 4) >0 và (m - 3) < 0 hoặc (m - 4) < 0 và (m - 3) > 0 

=> 3 < m < 4

Vậy với 3< m < 4 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thảo mãn x < 0 và y > 0

Bài 3: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất và là nghiệm nguyên

\left\{\begin{matrix} mx+ 2y = m+ 1 & \\ 2x + my = 2m -1& \end{matrix}\right.

Lời giải:

Với m = 0 hệ phương tình trở thành 2y = 1 và 2x = 1 <=> x = 1/2 và y = 1/2 (loại do các nghiệm đều là số nguyên)

Với m khác 0, để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

<=> m/2 khác 2 /m <=> m2 khác 4 <=> m khác +- 2, kết hợp với điều kiện m khác 0 => m khác 0 và m khác +- 2

Vậy với m ≠ 0 và m ≠ ± 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ta có: 

\left\{\begin{matrix} mx+ 2y = m+ 1 & \\ 2x + my = 2m -1& \end{matrix}\right.  <=> \left\{\begin{matrix} 2y = m+ 1-mx & \\ 2x + my = 2m -1& \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix} y = \frac{m+ 1-mx}{2} & \\ 2x + m.\frac{m+ 1-mx}{2} = 2m -1& \end{matrix}\right.

<=> \left\{\begin{matrix} y = \frac{m+ 1-mx}{2} = \frac{2m+1}{m+2} & \\ x = \frac{m-1}{m+2}& \end{matrix}\right.

Để x nguyên <=> (m - 1)/(m + 2) thuộc Z => 1 - 3/(m + 2) thuộc Z

Để y nguyên <=> (2m + 1) /(m + 2) thuộc Z => 2 - 3 /(m + 2) thuộc Z

Vậy để x, y nguyên thì m + 2 thuộc Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}

Ta có bảng sau:

m + 5 -3 -1 1 3
m -5 (tm) -2 (loại) -1 (tm) 1 (tm)

Vậy với m ∈ {-5; -1; 1} thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn các nghiệm nguyên

Quý bạn đọc có thể tham khảo bài viết dưới đây: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện đã cho  

Trên đây là chia sẻ của luật Minh Khuê về chủ đề "Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện" Mong rằng bài viết trên của chúng tôi sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho bạn. Bạn đọc nếu có bất kỳ thắc mắc nào vui lòng liên hệ tổng đài 1900.6162 của chúng tôi để được tư vấn trực tiếp, giải đáp thắc mắc một cách nhanh chóng và kịp thời. Quý khách hàng có yêu cầu báo giá dịch vụ tư vấn vui lòng gửi yêu cầu về địa chỉ email: lienhe@luatminhkhue.vn. Cảm ơn bạn đọc đã quan tâm theo dõi nội dung tư vấn của chúng tôi. Xin trân trọng cảm ơn quý khách.