Mục lục bài viết

1. Một số kiến thức liên quan đến dạng bài tìm m để x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Để đảm bảo phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2, ta cần thỏa mãn hai điều kiện sau:

- a ≠ 0: Điều này đảm bảo rằng hệ số bậc hai của phương trình không bằng 0, vì nếu a = 0 thì phương trình sẽ trở thành một phương trình bậc nhất.

- Δ ≥ 0: Δ (delta) là biểu thức được tính theo công thức Δ = b^2 - 4ac. Điều kiện Δ ≥ 0 đảm bảo rằng phương trình có thể có hai nghiệm thực hoặc hai nghiệm phức có phần thực khác nhau

Sau khi đã xác định được giá trị của a và Δ, ta có thể áp dụng công thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho. Công thức Vi-ét cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với hai nghiệm x1 và x2 là:

x1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} và x2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}

Dùng hai nghiệm này, ta có thể tính được tổng S = x1 + x2 và tích P = x1.x2. Cụ thể:

S = (X1 + X2) = \frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} + \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} = -b/a

P = (x1.x2) = \frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} . \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} = c/a

Điều này cho phép ta biểu diễn giá trị của S và P dưới dạng các biểu thức chứa các hệ số của phương trình đã cho. Ví dụ: S = -b/a; P = c/a

Ngoài ra, ta có thể thực hiện các biến đổi biểu thức nghiệm thường gặp để tìm các giá trị khác. Ví dụ:

x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = S2 - 2P

x13 + x23 = (x1 + x2)(x12 - x1x2 + x22) = S(S2 - 3P)

Tuy nhiên, để xác định giá trị cần tìm, ta cần cung cấp các thông tin cụ thể về phương trình và điều kiện xác định của tham số.

 

2. Bài tập tự luyện về dạng bài tìm m để x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước (có đáp án)

Câu 1: cho phương trình bậc hai: x2 - 2mx + 4m - 4 = 0 (x là ẩn số, m là tham số)

1. Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m khác 2

2. Tìm m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn hệ thức: 3 (x1 + x2) = x1.x2

=> Để chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm, ta chứng minh ∆ luôn dương với mọi giá trị của tham số.

=> Khi phương trình đã có 2 nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để thay vào hệ thức và tìm giá trị của tham số.

Cụ thể:

1. Ta có:   \Delta ^{'}=b^{'2}-ac=m^{2}-(4m-4)=m^{2}-4m+4=(m-2)^{2}>0\forall m\neq 2

Vậy với mọi m khác 2 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2

2. Với mọi m khác 2 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=2m & \\ x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=4m-4 & \end{matrix}\right.

Ta có: 3 (x1 + x2) = x1.x2 <=> 3.2m = 4m - 4 <=> 2m = -4 <=> m = -2 (tm)

Vậy với m = -2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 3 (x1 + x2) = x1.x2

Câu 2: Tìm m để phương trình x2 + 2 (m + 1) x - 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 4

=> Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

=> Bước 2: Khi phương trình đã có hai nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để tìm các giá trị của tham số.

=> Bước 3. Đối chiếu với điều kiện và kết luận bài toán. 

Cụ thể: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta ^{'}>0

Ta có \Delta ^{'}=(m+1)^{2}-4(-2)=(m+1)^{2}+8>0\forall m

Với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-2(m+1)\Rightarrow x_{1}=-2(m+1)-x_{2} & \\ x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=-2 & \end{matrix}\right.

Ta có 3x1 + 2x2 = 4 <=> 3 [-2 (m + 1) - x2] +2x2 = 4

<=> -6 (m + 1) - 3x2 + 2x2 = 4

<=> x2 = -6 (m + 1) - 4 = -10 - 6m

=> x1 = -2 (m + 1) + 6 (m + 1) + 4 = 4m + 8

Có x1.x2 = -2 <=> - (6m + 10) (4m + 8) = -2

<=> (6m + 10) (4m + 8) = 2 

<=> 24m2 + 48m + 40m + 80 = 2

<=> 24m2 + 88m + 78 = 0 <=> \left\{\begin{matrix} m = \frac{-3}{2}& \\ m = \frac{-13}{6}& \end{matrix}\right.

Vậy với m = -3/2 hoặc m bằng -13/6 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 4

Câu 3: Cho phương trình x2 - 2mx - 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số)

1. Chứng minh phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2. Tìm m để hai nghiệm phân biệt x1, x2 của phương trình thỏa mãn x12 + x22 = x12x22 + 2

=> Để chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm, ta chứng minh ∆ luôn dương với mọi giá trị của tham số.

=> Khi phương trình đã có 2 nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để thay vào hệ thức và tìm giá trị của tham số.

Lời giải:

a, Ta có \Delta ^{'}=b^{'2}-ac = m^{2}+1\geq 1> 0\forall m

1. Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2

2. Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=2m& \\ x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=-1& \end{matrix}\right.

Ta có: x12 + x22 = x12x22 + 2 <=> (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (x1x2)2 + 2

<=> 4m2 - 2 (-1) = (-1)2 + 2

<=> 4m2 + 2 = 1 + 2

<=> 4m2 = 1

<=> m2 = 1/4 <=> m = \pm 1/2

Vậy với m = \pm 1/2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x12 + x22 = x12x22 + 2

Câu 4: Cho phương trình x2 - 5x + m = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \begin{vmatrix} x_{1}-x_{2} \end{vmatrix}=3.

=> Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

=> Bước 2: Khi phương trình đã có hai nghiệm phân biệt, ta áp dụng Vi-ét để tìm các giá trị của tham số.

=> Bước 3. Đối chiếu với điều kiện và kết luận bài toán.

Cụ thể: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta > 0

Ta có \Leftrightarrow25-4m>0\Leftrightarrow m<\frac{25}{4}

Vậy với m<\frac{25}{4} phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=5 & \\ x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=m & \end{matrix}\right.

Có A=\begin{vmatrix} x_{1}-x_{2} \end{vmatrix}=3\Rightarrow A^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}=9

\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}=9\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=9

\Leftrightarrow 25-4m=9\Leftrightarrow 4m=16\Leftrightarrow m=4

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \begin{vmatrix} x_{1}-x_{2} \end{vmatrix}=3

 

3. Một số lưu ý khi làm dạng bài tìm m để x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Để giải quyết một dạng bài tìm giá trị thỏa mãn các điều kiện cho trước, hãy tuân thủ các bước sau:

- Đọc đề bài kỹ càng: Hãy đọc từng từ và câu trong đề bài và suy nghĩ về câu hỏi và câu trả lời. Đừng vội vàng, hãy đọc đề nhiều lần để hiểu rõ yêu cầu.

- Chú ý các câu phủ định và khẳng định nếu làm bài trắc nghiệm: Hãy đặc biệt chú ý đến các câu hỏi, câu trả lời, câu đúng và câu sai có chứa cụm từ phủ định. Điều này giúp bạn tránh chọn nhầm các phương án mơ hồ.

- Đọc kỹ các nội dung đề bài: Nếu đề bài chứa các câu hỏi lý thuyết, hãy đọc từng từ, cụm từ trong câu hỏi để tránh lựa chọn sai do hiểu lầm.

Bằng cách tuân thủ các bước trên, sẽ có khả năng giải quyết dạng bài tìm giá trị thỏa mãn các điều kiện cho trước một cách chính xác hơn và tránh những sai sót không cần thiết

Bên cạnh đó, để đạt độ chính xác cao hơn trong tính toán và sử dụng máy tính, hãy áp dụng các phương pháp và quy tắc sau:

- Tính toán cẩn thận: Khi thực hiện các phép tính, hãy kiểm tra kỹ lưỡng các bước tính toán và đảm bảo tính chính xác của từng phép tính. Nếu có thể, hãy kiểm tra lại kết quả bằng cách tính toán một lần nữa để đối chiếu.

- Sử dụng máy tính đúng cách: Khi sử dụng máy tính, hãy đảm bảo rằng bạn đã chọn đúng chức năng và thực hiện đúng các bước theo đúng bài toán đang giải. Đọc kỹ hướng dẫn sử dụng và nắm rõ các phím chức năng để tránh sai sót không cần thiết.

- Sử dụng máy tính bỏ túi một cách hợp lý: Máy tính bỏ túi là công cụ hữu ích trong việc giải toán, nhưng cần sử dụng nó đúng bài, đúng chức năng. Đừng lạm dụng máy tính và cẩn thận trong việc nhập liệu và đọc kết quả để tránh nhầm lẫn và sai sót.

Bằng cách áp dụng các nguyên tắc và phương pháp này, sẽ có khả năng tính toán và sử dụng máy tính một cách chính xác hơn, giúp đạt được kết quả chính xác và tránh sai sót không đáng có.

Trên đây là toàn bộ nội dung thông tin mà Luật Minh Khuê cung cấp tới quý khách hàng. Ngoài ra quý khách hàng có thể tham khảo thêm bài viết về chủ đề tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 không phụ thuộc vào m của Luật Minh Khuê. Còn điều gì vướng mắc, quy khách vui lòng liên hệ 1900.6162 hoặc gửi email tới: lienhe@luatminhkhue.vn để được hỗ trợ. Trân trọng./.