Mục lục bài viết

1.  Phương pháp giải 

Để tìm hệ thức giữa các nghiệm x1, x2 của pương trình bậc hai không phụ thuộc tham số ta làm như sau: 

B1: Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2: \left\{\begin{matrix} a\neq 0 & \\ \Delta \left ( \Delta ' \right )\geq 0& \end{matrix}\right.

B2: Áp dụng Vi-et tìm: \left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2}= \frac{-b}{a}=f\left (m \right )& \\ x_{1}x_{2}= \frac{c}{a}=g\left ( m \right ) & \end{matrix}\right.

B3: Khử m của hệ phương trình trên ⇒ hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.

 

2. Ví dụ

Bài 1: Cho phương trình: x2 - 2mx + 2m - 2 = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào tham số m?

Lời giải chi tiết: 

a) \Delta ' = (-m)^{2} - (2m-2)

= m2 - 2m + 2

= m2 - 2m + 1 + 1

= ( m - 1) + 1 > 0 Với mọi m

→ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi x thuộc m 

b) Theo vi-ét ta có: \left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m & \\ x_{1}x_{2} = 2m -1& \end{matrix}\right.

Thay 2m = x1 + x2 vào phương trình thứ 2 ta được: x1x2 = x1 + x2 - 1

Bài 2: Cho phương trình x2 - 2(m -1)x + m - 3 = 0 ( m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m. 

Đáp án chi tiết: 

\Delta '= \left [ -(m-1) ^{^{2}}\right ]-1.\left ( m-3 \right )

= m2 - 3m + 4

= \left ( m- \frac{3}{2} \right )^{2} + \frac{7}{4}>0, \forall m \epsilon R

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 

Theo hệ thức vi-ét, ta có: 

\left\{\begin{matrix} x_{1}+ x_{2}= 2\left ( m-1 \right ) & \\ x_{1}x_{2}= m - 3& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 2 (1)& \\ 2x_{1}x_{1}= 2m - 6(2)& \end{matrix}\right.

Lấy (1) - (2): x1 + x2 - 2x1x2 = 4 không phụ thuộc vào m

Bài 3: Cho phương trình 2x2 + (2m -1)x + m - 1 = 0 ( m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m. 

Đáp án chi tiết: 

\Delta = \left ( 2m - 1 \right )^{2}-4.2.\left ( m-1 \right )

= 4m2 - 4m + 1 - 8m + 8

= 4m2 - 12m + 9

= \left ( 2m - 3 \right )^{2}\geq 0

Vì \Delta \geq 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{1-2m}{2}& \\ x_{1}x_{2} = \frac{m-1}{2}& \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\left ( x_{1} + x_{2}\right )= 1- 2m & \\ 2x_{1} x_{2} = m - 1& \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2(x_{1}+ x_{2})= 1 - 2m (1) & \\ 4x_{1}x_{2}= 2m -2 (2) & \end{matrix}\right.

Lấy (1) + (2): 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 không phụ thuộc vào m.

 

3. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho phương trình 2x2 + (2m -1)x + m - 1 = 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

A. (x1 + x2) -4x1x2 = -4

B. 2(x1 + x2) + 4x1x2 = 0 

C. (x1 + x2) - x1x2 = 2

D. 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 

Đáp án chi tiết: 

\Delta = (2m-1)^{2}-4.2.(m-1)

= 4m2 - 4m + 1 - 8m  + 8

= 4m2 - 12m + 9

= \left ( 2m-3 \right )^{2}\geq 0 Vì \Delta \geq 0

Vì \Delta \geq 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

\left\{\begin{matrix} x_{1}+ x_{2} = \frac{1-2m}{2} & \\ x_{1}x_{2}= \frac{m-1}{2}& \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\left ( x_{1} +x_{2}\right ) = 1-2m & \\ 2x_{1}x_{2}= m-1& \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\left ( x_{1}+ x_{2} \right ) = 1-2m (1)& \\ 4x_{1}x_{2}= 2m - 2 (2)& \end{matrix}\right.

Lấy (1) + (2): 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 không phụ thuộc vào m

Vậy đáp án đúng là D

Bài 2: Cho phương trình (m -1)x2 - 2(m +1)x + m = 0 ( m là tham số). Khi phương trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho không phụ thuộc vào m. 

A. x1 + x2 - x1x2  = 2

B. x1 + x2 + 5x1x2 = 7 

C. x1 + x2 - 3x1x2 = -2

D. x1 + x2 + 5x1x2 = -1 

Đáp án chi tiết: 

Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2

Theo hệ thức Vi- ét ta có: 

\left\{\begin{matrix} x_{1}+ x_{2} = \frac{2\left ( m-1 \right )}{m-1}& \\ x_{1}x_{2}= \frac{m}{m-1}& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2}= \frac{2m}{m-1}+ \frac{2}{m-1}(1)& \\ 2x_{1}x_{2} = \frac{2m}{m-1}(2)& \end{matrix}\right.

Lấy (1) - (2): x1 + x2 - 2x1x2 = \frac{2}{m-1} (*)

Mặt khác từ: 

x_{1}x_{2} = \frac{m}{m-1} = 1 + \frac{1}{m-1}

\Rightarrow x_{1}x_{2} - 1= \frac{1}{m-1}

\Rightarrow 2x_{1}x_{2}-2= \frac{2}{m-1}

Thay vào (*) ta được: x1 + x2 - 2x1x2 = 2x1x2 - 2 không phụ thuộc vào m 

Đáp án đúng là C

Bài 3: Cho phương trình x2 - 2(m-1)x + m2 - 3m = 0 ( m là tham số ). Khi phương trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m 

A. (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 2(x1 + x2) = 8

B. ( x1 + x2)2 - 4x1x2 - 2(x1 + x2) = 6

C. (x1 + x2)2 - x1x2 - (x1 + x2) = 5

D. (x1 + x2)2 - 2x1x2 - 4(x1 + x2) = 8

Đáp án chi tiết: 

Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2(m - 1)& \\ x_{1}x_{2}= m^{2}- 3m & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x_{1}+ x_{2})^{2} = 4(m-1)^{2}& \\ 4x_{1} x_{2}= 4m^{2} - 12m& \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x_{1}+ x_{2})^{2}= 4m^{2}-8m + 4 (1) & \\ 4x_{1}x_{2}= 4m^{2} -12m (2)& \end{matrix}\right.

Lấy (1) - (2): ( x1 + x2)2 - 4x1x2 = 4m + 4 (*) 

Mặt khac từ: x1 + x2 = 2m - 2 ⇒ 2(x1 + x2) = 4m - 4 ⇒ 2(x1 + x2) + 4 = 4m. Thay vào (*) ta được: 

( x1 + x2)2 - 4x1x2 = 2(x1 + x2) + 4 + 4

⇔ (x1 + x2)2 - 4x1x2 - 2(x1 + x2) = 8 không phụ thuộc vào m 

Đáp án đúng là: A

Bài 4: Cho phương trình 2x2 + (2m -1)x + m - 1 = 0 (1) với m là tham số. Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình (1). Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m

Đáp án chi tiết: 

Để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 là: 

\Delta \geq 0 \Leftrightarrow (2m -1)^{2} -4.2(m-1)\geq 0

\Leftrightarrow 4m^{2} -4m + 1-8m + 8 \geq 0

\Leftrightarrow 4m^{2} -12m + 9 \geq 0

\Leftrightarrow (2m^{2})-2.2m.3+3^{2}\geq 0

\Leftrightarrow (2m -3)^{2}\geq 0 ( luôn đúng thoả mãn)

Vậy theo Vi- ét: x_{1} + x_{2}= \frac{-(2m+1)}{2}; x_{1}x_{2}= \frac{m-1}{2}

2(x1 + x2) = -2m - 2; 2x1x2 = m -1 

m = 2x1x2 + 1

Thay m = 2x1x2 + 1 vào (1) 

2(x1 +x2) = -2.(2x1x2+ 1) - 2

⇔ 2(x1 + x2) = -4x1x2 - 4 

+) \left\{\begin{matrix} 2(x_{1}+x_{2}) = -2m - 2 & \\ 2x_{1}x_{2}= m -1& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2(x_{1}+ x_{2})= -2m -2 & \\ 4x_{1}x_{2}= 2m -2& \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow 2(x_{1}+ x_{2})+ 4x_{1}x_{2}= -4

Bài 5:  Cho phương trình x2 -2(2m + 1)x + 3 - 4m = 0 ( m là tham số). Khi phương trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho không phụ thuộc vào m.

A. x1 + x2 - x1x2 = 4

B. x1 + x2 + x1x2 = 2

C. x1 + x2 - x1x2 = 5

D. x1 + x2 - x1x2 = 3

Đáp án chi tiết: 

Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2\

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2(2m + 1)& \\ x_{1}x_{2}= 3-4m& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x_{1}+x_{2}) = 4m + 2 (1)& \\ x_{1}x_{2}= 3 - 4m (2)& \end{matrix}\right.

Lấy (1) + (2): x1 + x2 + x1x2 = 5 không phụ thuộc vào m 

Đáp án đúng là: C

Bài 6: Cho phương trình x2 - 2(2m+1)x + 3-4m = 0 (m là tham số). Khi phương trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho không phụ thuộc vào m.

A. x1 + x2 - x1x2 = 3

B. x1 + x2 + x1x2 = 2

C. x1 + x2 - x1x2 = 4

D. x1 + x2 - x1x2 = 5

Đáp án chi tiết: 

Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2

Theo hệ thức vi-ét ta có: 

\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2} = 2(2m + 1) & \\ x_{1} x_{2}= 3-4m& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x_{1}+ x_{2})= 4m + 2 (1) & \\ x_{1}x_{2} = 3 -4m (2)& \end{matrix}\right.

Lấy (1) + (2): x1 + x2 + x1x2 = 5 không phụ thuộc vào m

Đáp án đúng là A

Bài 7: Cho phương trình x2 + 2(m+1)x + 2m = 0 ( m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m

A. (x1 + x2) - x1x2 = -2

B. (x1 + x2) - 2x1x2 = -1 

C. ( x1 + x2) + x1x2 = -2 

D. 2(x1 + x2) + x1x2 = 0

Đáp án chi tiết: 

\Delta '= (m + 1)^{2} = 2m

= m^{2} + 2m + 1 - 2m

= m^{2} + 1> 0 (\forall m \epsilon R)

Vì \Delta ' > 0 với mọi  nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2

Theo hệ thức vi-ét ta có: 

\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = -2(m + 1)& \\ x_{1} x_{2}= 2m& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}+ x_{2} = -2m - 2 (1) & \\ x_{1}x_{2}= 2m (2) & \end{matrix}\right.

Lấy (1) + (2): (x1 + x2) + x1x2 = -2 không phụ thuộc vào m

Đáp án đúng là: A

 

4. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho phương trình x2 - 2(m-1)x - m - 3 = 0 ( m là tham số). Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm phân biệt x1; x2 không phụ thuộc giá trị của m

Bài 2: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình x2 - (m +3)x + 2m - 5 = 0 mà hệ thức này không phụ thuộc vào m

Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 - 2mx + m + 1 = 0, với m là tham số 

a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt với m khác 1

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình không phụ thuộc vào m

Bài 4: Cho phương trình (m - 1)2 - 2(m-4)x + m - 5 = 0 ( ma là tham số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1; x2 không phụ thuộc vào tham số m

Bài 5: Cho phương trình 2x2 -2(m -1)x - 2m - 3 = 0 (1) với m là tham số

a) CMR phương trình (1) luôn có 2 nghiệm với mọi m

b) Trong trường hợp (1) có 2 nghiệm phân biệt. Thiết lập hệ thức giữa x1; x2 độc lập với m 

Bài 6: Cho phương trình x2 -(m - 3)x -2m = 0 (1)

a) CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt phân biệt với mọi m 

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m

Bài 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - 2(m+1)x + m - 4 = 0 ( m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt  x1; x2 với mọi giá trị của m 

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình mà hệ thức này không phụ thuộc vào m 

Bài 8: Cho phương trình bậc hai: x2 -2(m+4)x + m2 - 8 = 0 (1) với m là tham số

a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình (1) mà hệ thức này không phụ thuộc vào m