Hình thang cân là gì? Định nghĩa và tính chất của hình thang cân Toán lớp 8

1. Khái niệm hình thang cân là gì?

Hình thang cân là một trong những tứ giác đặc biệt được học trong chương trình Toán THCS. Đây là dạng hình thang có tính đối xứng cao, vừa kế thừa các đặc điểm của hình thang thông thường vừa có thêm nhiều tính chất quan trọng giúp giải quyết các bài toán hình học.

Theo định nghĩa trong chương trình Toán lớp 8, hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Muốn một tứ giác là hình thang cân thì trước hết nó phải là hình thang, nghĩa là có một cặp cạnh đối song song. Sau đó mới xét đến điều kiện hai góc kề cùng một đáy bằng nhau.

Ví dụ, với tứ giác ABCD có:

• AB song song với CD.
• Góc A bằng góc B hoặc góc C bằng góc D.

Khi đó, ABCD là hình thang cân.

Từ định nghĩa trên có thể thấy điều kiện "là hình thang" luôn phải được kiểm tra trước. Nếu tứ giác không có một cặp cạnh đối song song thì không thể gọi là hình thang cân, dù các góc hoặc các cạnh có bằng nhau.

Trong hình thang cân có các thành phần cơ bản gồm:

• Hai đáy là hai cạnh song song.
• Hai cạnh bên là hai cạnh không song song.
• Hai đường chéo nối các đỉnh đối diện.
• Chiều cao là khoảng cách vuông góc giữa hai đáy.

Một đặc điểm rất quan trọng của hình thang cân là tính đối xứng. Nếu nối trung điểm của hai đáy, ta được trục đối xứng của hình. Khi gấp hình theo đường này, hai nửa sẽ chồng khít lên nhau.

Trong quá trình học, học sinh thường gặp một số nhầm lẫn về khái niệm. Chẳng hạn, nhiều em cho rằng chỉ cần hai cạnh bên bằng nhau thì đó là hình thang cân. Thực tế, điều này không đủ để kết luận. Điều kiện quyết định vẫn là hình phải là hình thang và thỏa mãn dấu hiệu nhận biết theo định nghĩa hoặc định lý.

Việc hiểu đúng khái niệm giúp học sinh tránh được nhiều sai sót khi chứng minh hình học và là nền tảng để học các tính chất, dấu hiệu nhận biết cũng như các bài toán nâng cao.

2. Các tính chất cơ bản của hình thang cân

Sau khi nắm được định nghĩa, học sinh cần ghi nhớ các tính chất đặc trưng của hình thang cân. Đây là những kiến thức được sử dụng thường xuyên trong các bài toán chứng minh và tính toán.

Tính chất về góc

Đây là tính chất xuất phát trực tiếp từ định nghĩa.

Trong hình thang cân:

• Hai góc kề đáy nhỏ bằng nhau.
• Hai góc kề đáy lớn cũng bằng nhau.

Ngoài ra, vì hai đáy song song nên hai góc kề cùng một cạnh bên luôn bù nhau. Do đó:

• Góc A cộng góc D bằng 180°.
• Góc B cộng góc C bằng 180°.

Từ đây suy ra tổng hai góc đối diện trong hình thang cân luôn bằng 180°, là một tính chất rất quan trọng khi giải toán.

Tính chất về cạnh bên

Hai cạnh bên của hình thang cân luôn có độ dài bằng nhau.

Đây là hệ quả của tính đối xứng của hình và thường được sử dụng để chứng minh các tam giác bằng nhau hoặc tính độ dài đoạn thẳng.

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng đây chỉ là tính chất của hình thang cân, không phải dấu hiệu nhận biết. Không thể chỉ dựa vào việc hai cạnh bên bằng nhau để kết luận một hình thang là hình thang cân.

Tính chất về đường chéo

Một trong những tính chất nổi bật nhất là:

• Hai đường chéo của hình thang cân bằng nhau.

Đây vừa là tính chất, vừa là dấu hiệu nhận biết rất quan trọng. Trong nhiều bài toán chứng minh, giáo viên thường hướng dẫn học sinh khai thác tính chất này để chứng minh các tam giác bằng nhau hoặc xác định các đoạn thẳng có cùng độ dài.

Tính chất đối xứng

Hình thang cân có một trục đối xứng đi qua trung điểm của hai đáy.

Nhờ có trục đối xứng này mà:

• Hai cạnh bên đối xứng nhau.
• Hai góc ở cùng một đáy bằng nhau.
• Hai đường chéo có vị trí đối xứng.

Đây là đặc điểm giúp hình thang cân xuất hiện nhiều trong kiến trúc, thiết kế và kỹ thuật.

Tính chất nội tiếp đường tròn

Mọi hình thang cân đều nội tiếp được một đường tròn.

Nguyên nhân là tổng hai góc đối diện luôn bằng 180°, đúng với điều kiện để một tứ giác nội tiếp đường tròn.

Ngược lại, nếu một hình thang nội tiếp được đường tròn thì hình đó chính là hình thang cân. Đây là định lý thường xuất hiện trong các bài toán hình học nâng cao.

Một số công thức thường dùng

Khi giải các bài toán tính toán, học sinh cần nhớ các công thức sau.

Chu vi hình thang cân bằng tổng độ dài bốn cạnh.

Nếu:

• Đáy lớn là a.
• Đáy nhỏ là b.
• Mỗi cạnh bên là c.

Thì:

P = a + b + 2c.

Diện tích hình thang cân được tính giống mọi hình thang:

S = (đáy lớn + đáy nhỏ) × chiều cao : 2.

Trong nhiều bài toán, chiều cao không được cho trực tiếp mà cần tính thông qua tam giác vuông bằng định lý Pythagoras.

Để tính chiều cao, thường thực hiện các bước:

• Kẻ đường cao từ một đỉnh xuống đáy lớn.
• Xác định đoạn hình chiếu bằng một nửa hiệu hai đáy.
• Áp dụng định lý Pythagoras để tìm chiều cao.
• Thay vào công thức diện tích.

Việc nắm chắc các tính chất trên sẽ giúp học sinh nhận dạng hình nhanh hơn, lựa chọn phương pháp giải phù hợp và hạn chế các sai sót trong quá trình làm bài.

3. Dấu hiệu nhận biết và cách chứng minh hình thang cân

Trong các bài toán hình học, việc nhận biết đúng hình thang cân có ý nghĩa rất quan trọng. Để kết luận một tứ giác là hình thang cân, học sinh cần dựa trên các dấu hiệu đã được chứng minh trong hình học, không nên chỉ quan sát bằng mắt.

Có hai dấu hiệu nhận biết cơ bản.

Dấu hiệu thứ nhất là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Đây là dấu hiệu bám sát định nghĩa nhất. Nếu một tứ giác đã được chứng minh là hình thang và hai góc cùng nằm trên một đáy bằng nhau thì có thể kết luận ngay đó là hình thang cân.

Dấu hiệu thứ hai là hình thang có hai đường chéo bằng nhau.

Đây là dấu hiệu rất thường gặp trong các bài toán chứng minh. Khi đề bài cho biết hoặc chứng minh được hai đường chéo bằng nhau, đồng thời đã xác định tứ giác là hình thang thì có thể kết luận hình thang đó là hình thang cân.

Khi chứng minh một tứ giác là hình thang cân, học sinh nên thực hiện theo trình tự logic sau:

• Bước 1: Chứng minh tứ giác là hình thang bằng cách chỉ ra một cặp cạnh đối song song.
• Bước 2: Chứng minh một trong hai dấu hiệu nhận biết:
  • Hai góc kề một đáy bằng nhau; hoặc
  • Hai đường chéo bằng nhau.
• Bước 3: Kết luận tứ giác là hình thang cân.

Trong quá trình làm bài, nhiều học sinh thường mắc lỗi "nhảy cóc", tức là chỉ chứng minh hai đường chéo bằng nhau rồi kết luận ngay hình thang cân mà chưa chứng minh tứ giác là hình thang. Đây là lỗi sai cần tránh vì nhiều tứ giác khác cũng có hai đường chéo bằng nhau nhưng không phải hình thang cân.

Để làm tốt dạng toán này, học sinh nên luôn tự kiểm tra theo thứ tự: đã chứng minh song song hay chưa, sau đó mới xét đến tính cân của hình.

4. Các trường hợp đặc biệt và mối quan hệ với các tứ giác khác

Hình thang cân có mối liên hệ chặt chẽ với nhiều loại tứ giác đặc biệt khác trong hình học.

Trước hết, mọi hình thang cân đều là hình thang vì đều có một cặp cạnh đối song song. Tuy nhiên, không phải mọi hình thang đều là hình thang cân, bởi hình thang thường không nhất thiết có hai góc kề đáy bằng nhau hoặc hai đường chéo bằng nhau.

Hình thang vuông và hình thang cân là hai dạng đặc biệt khác nhau của hình thang.

• Hình thang vuông có một cạnh bên vuông góc với hai đáy.
• Hình thang cân có tính đối xứng qua trục đi qua trung điểm hai đáy.

Trong trường hợp đặc biệt khi một hình thang vừa là hình thang vuông vừa có hai góc kề đáy bằng nhau thì hình đó trở thành hình chữ nhật.

Hình chữ nhật có thể xem là trường hợp đặc biệt của hình bình hành, đồng thời cũng thỏa mãn nhiều tính chất của hình thang cân như hai đường chéo bằng nhau và nội tiếp được đường tròn.

Đối với hình bình hành, cần đặc biệt chú ý để tránh nhầm lẫn.

Hình bình hành có:

• Hai cặp cạnh đối song song.
• Hai cạnh đối bằng nhau.

Trong khi đó, hình thang cân chỉ có một cặp cạnh đối song song. Vì vậy, không thể dựa vào việc hai cạnh bên bằng nhau để kết luận hình bình hành là hình thang cân.

Một mối liên hệ quan trọng khác là với tứ giác nội tiếp.

Nếu một hình thang nội tiếp được đường tròn thì hình đó chắc chắn là hình thang cân.

Ngược lại, mọi hình thang cân đều nội tiếp được một đường tròn.

Đây là tính chất thường được khai thác trong các bài toán chứng minh ở chương trình THCS và THPT.

5. Một số bài tập về hình thang cân

5.1. Bài tập 1: Chứng minh hình thang cân

VD1: Hình thang ABCD (AB // CD) có góc ACD = góc BDC. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Lời giải:

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Do góc ACD = góc BCD nên tam giác ECD có góc C1 = góc D1, nên là tam giác cân. Từ đó suy ra EC = ED. (1)

Tương tự do góc ACD = góc BCD và AB // CD nên tam giác EAB cân tại E, suy ra EA = EB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EA + EC = EB + ED => AC = BD

Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên hình thang ABCD là hình thang cân (điều phải chứng minh).

VD2: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. CHứng mình EA = EB, EC = ED.

Lời giải:

Do ABCD là hình thang cân (giả thiết) nên AD = BC, AC = BD (tính chất hình thang cân)

Xét tam giác ADC và tam giác BCD có:

AD = BC (chứng minh trên)

AC = BD (chứng mình trên)

DC chung

=> tam giác ADC = tam giác BCD (cạnh - cạnh - cạnh)

Suy ra góc ACD = góc BDC (2 góc tương ứng)

Do đó tam giác EDC cân tại E (dấu hiệu nhận biết tam giác cân) => EC = ED (tính chất tam giac cân)

Lại có: AC = BD (chứng minh trên), EC = ED (chứng minh trên)

=> AC - CE = BD - ED => EA = EB

Vậy EA = EB và EC = ED (điều phải chứng minh).

VD 3: Cho tam giác cân ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D thuộc AC, E thuộc AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Đây là dạng chứng mình 1 tứ giác là hình thang cân, để giải dạng bài này ta tiến hành 2 bước: 

- Bước 1: Chứng minh tứ giác đó là hình thang bằng các tính chất tứ giác có hai cạnh song song với nhau. Để chứng minh song song có thể dựa vào các cách như: (1) Hai góc đồng vị bằng nhau, (2) hai góc so le trong bằng nhau, (3) hai góc trong cùng phía bù nhau, (4) định lý từ vuông góc đến song song.

- Bước 2: Chứng minh hình thang đó là hình thang cân.

Lời giải:

Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC và góc ABC = góc ACB (tính chất tam giác cân)

Vì BD, CE lần lượt là phân giác của góc ABC và góc ACB (giả thiết) nên theo tính chất tia  phân giác:

Góc B1 = góc B2 = 1/2 của góc ABC

Góc C1 = góc C2 = 1/2 của góc ACB

Mà góc ABC = góc ACB (chứng minh trên) => góc B1 = góc B2 = góc C1 = góc C2

Xét tam giác ABD và tam giác ACE có: (1) AB = AC, (2) Góc A chung, (3) Góc B1 = góc C1 (chứng minh trên) => tam giác ABD = tam giác ACE (góc - cạnh - góc)

=> AD = AE (2 cạnh tương ứng)

Ta có: AD = AE (chứng minh trên) nên tam giác ADE cân tại A (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) => góc AED = góc ADE (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác ADE có: góc AED + góc ADE + góc A = 180 độ (định lý tổng ba góc trong một tam giác) => AED = (180 độ - góc A) / 2 (1)

Xét tam giác ABC có: góc A + góc ABC + góc ACB = 180 độ (định lý tổng ba góc trong một tam giác) => ABC = (180 độ - góc A) / 2 (2)

Từ (1) và (2) => góc AED = góc ABC, mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra DE // BC.

Do đó BEDC là hình thang.

Lại có góc ABC = góc ACB (chứng minh trên)

=> BEDC là hình thang cân.

Ta có: DE // BC => góc D1 = góc B2 (hai góc so le trong)

Lại có góc B2 = góc B2 (chứng minh trên) nên góc B1  = góc D1

=> Tam giác EBD cân tại E

=> EB = ED

Vậy BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

5.2. Bài tập 2: Tính diện tích hình thang cân

Muốn tính diện tích hình thang cân, ta áp dụng công thức tính diện tích hình thang như thông thường:

Diện tích hình thang bằng chiều coa nhân với trung bình công của hai đáy.

("Muốn tính diện tích hình thang

Đáy lớn đáy bé ta đem cộng vào

Cộng vào nhân với chiều cao

Chia đôi lấy nửa thế nào cũng ra")

5.3. Bài tập 3: Tính chu vi hình thang cân

Giả sử có hình thang cân ABCD (AB // CD), độ dài hai cạnh đấy là a, b và độ dài cạnh bên là c. Khi đó chu vi hình thang cân ABCD là:

P = a + b + 2c

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB. AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD  = AE.

a) Chứng minh BDEC là hình thang cân

b) TÍnh các góc của hình thang cân đó, biết góc A = 50 độ.

Lời giải

a) Ta có: tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, mà AD = AE (giả thiết) => DB = EC

=> BDEC là hình thang cân

b) Tam giác ABC cân tại A nên góc B = góc C

Mà góc A + B + C = 180 độ => góc B = góc C = (180 độ - 50 độ) / 2 = 65 độ

Vì BDEC là hình thang cân nên góc BDE = góc DEC 

Mà góc B + C + BDE = DEC = 360 độ

=> Góc BDE = DEC = (360 - 2 x 65) / 2 = 115 độ

6. Giải đáp các câu hỏi thường gặp về hình thang cân

Hình thang cân có bắt buộc phải có hai cạnh bên bằng nhau không?

Có. Đây là một tính chất luôn đúng của hình thang cân. Tuy nhiên, khi chứng minh một hình là hình thang cân, không nên chỉ dựa vào tính chất này mà cần sử dụng các dấu hiệu nhận biết đã học.

Hai đường chéo bằng nhau thì có chắc là hình thang cân không?

Không. Chỉ khi tứ giác đã được chứng minh là hình thang thì hai đường chéo bằng nhau mới là dấu hiệu kết luận hình thang cân.

Mọi hình thang cân đều nội tiếp được đường tròn đúng hay sai?

Đúng. Vì tổng hai góc đối diện của hình thang cân luôn bằng 180°, nên hình thang cân luôn là tứ giác nội tiếp.

Hình thang cân có mấy trục đối xứng?

Hình thang cân có một trục đối xứng duy nhất, đi qua trung điểm của hai đáy và vuông góc với các đáy.

Có thể tính diện tích hình thang cân khi chưa biết chiều cao không?

Có. Nếu biết hai đáy và cạnh bên, học sinh có thể kẻ đường cao, sử dụng định lý Pythagoras để tính chiều cao rồi áp dụng công thức diện tích.

Làm thế nào để tránh nhầm lẫn giữa hình thang cân và hình bình hành?

Hãy nhớ rằng hình thang cân chỉ có một cặp cạnh đối song song, còn hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song. Đồng thời, khi chứng minh hình thang cân luôn phải xác định trước tứ giác là hình thang rồi mới xét các dấu hiệu nhận biết.

Dấu hiệu nào được sử dụng nhiều nhất trong các bài toán chứng minh?

Hai dấu hiệu được sử dụng phổ biến nhất là:

• Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
• Hình thang có hai đường chéo bằng nhau.

Trong đó, dấu hiệu dựa vào hai đường chéo thường xuất hiện nhiều ở các bài toán chứng minh hình học tổng hợp vì dễ kết hợp với các tam giác bằng nhau và các định lý về đoạn thẳng.

Ngoài ra quý bạn đọc cũng có thể tham khảo thêm:

• Hình thang là gì? Dấu hiệu nhận biết hình thang?
• Hình thang vuông là gì? Định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết
• Công thức tính diện tích hình thang, chu vi hình thang