Hình thang vuông là gì? Định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết

1. Hình thang vuông là gì?

Hình thang là một tứ giác có hai cạnh đối song song, hai cạnh song song này được gọi là các cạnh đáy của hình thang.

Hình thang vuông là hình thang có 1 góc vuông, hình thang vuông là một trường hơp đặc biệt của hình thang. Hình thang vuông là hình học quan trọng trong cả toán học và đời sống, vì vậy mà việc nắm được khái niệm của hình thang vuông là rất cần thiết.

Hình ảnh minh hoạ hình thang vuông

2. Dấu hiệu nhận biết và đặc điểm, tính chất của hình thang vuông

*Dấu hiệu nhận biết

Một tứ giác có hai cạnh song song là hình thang

Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông.

*Đặc điểm, tính chất của hình thang vuông

- Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên song song và bằng nhau; 

- Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau. 

- Hình thang vuông mang những đặc điểm cơ bản của hình thang như có hai cạnh đáy song song, và ngoài ra hình thang vuông có cạnh vuông góc với hai đáy, tạo nên góc 90 độ.

3. Các công thức tính toán về hình thang vuông cần biết

* Công thức tính diện tích hình thang vuông

Công thức tính diện tích hình thang vuông sẽ giống với công thức tính diện tích hình thang, sẽ được tính như sau: trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy.

Lưu ý: chiều cao ở đây chính là cạnh bên vuông góc với cả 2 đáy.

Hay diện tích hình thang vuông bằng một nửa tích của tổng 2 đáy và chiều cao ứng với 2 cạnh đáy hoặc bằng tích của đường cao và trung bình cộng của 2 đáy

Trong đó:

- S là diện tích hình thang

- a và b là độ dài 2 cạnh đáy

- h là độ dài cạnh bên vuông góc với 2 đáy.

Để tính toán diện tích của một hình thang vuông đúng cách, chúng ta có thể tuân thủ và thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định đáy nhỏ và đáy lớn của hình thang vuông, gọi chúng lần lượt là a và b.

Bước 2: Xác định chiều cao của hình thang vuông, hay còn gọi là h.

Bước 3: Sử dụng công thức tính diện tích của hình thang vuông và tính diện tích

Ví dụ: Hình thanh ABCD (AB//CD) có AB = 4 cm, CD = 8cm và AD = 5 cm. Tính diện tích hình thang ABCD.

Hình thang ABCD có AB//CD nên hai đấy là AB và CD,  

suy ra AD là chiều cao của hình thang.

Ta có:  Diện tích hình thang ABCD: 

  suy ra 

*Công thức tính chu vi hình thang vuông

Chu vi hình thang vuông tương tự với cách tính chu vi hình thang thường, chính bằng tổng các cạnh bên và đáy 

Trong đó:

- P: Chu vi hình thang

- a, b: Lần lượt là độ dài 2 cạnh đáy

- c, d: Lần lượt là độ dài 2 cạnh bên 

Ví dụ: Hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 4 cm, CD = 8 cm, BC = 5 cm, AD vuông góc với DC và AD = 3 cm. Tính chu vi hình thang ABCD.

Hướng dẫn: Chu vi hình thang ABCD là: 8 + 4 + 5 +3 = 20 (cm)

4. Các dạng bài tập về hình thang vuông thường gặp

Dạng 1: Tính số đo góc

Phương pháp giải: Chúng ta sẽ dựa vào tính chất về tổng bốn góc trong một tứ giác và hai đường thẳng song song kết hợp cùng kiến thức đã học về hình thang vuông để tính số đo góc chính xác.

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, góc A bằng ba lần góc D. Góc B lớn hơn góc C 30 độ. Tính số đo các góc của hình thang.

Ví dụ 2: Cho hình thang vuông ABCD có AB song song với CD, biết góc A lớn gấp 2 lần góc D, tính các góc của hình thang.

Dạng 2: Chứng minh hình thang vuông

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang vuông để có thể chứng minh được hình theo yêu cầu.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh BCDE là hình thang vuông.

Dạng 3: Sử dụng các tính chất của hình thang vuông để chứng minh bài toán 

Phương pháp giải: Áp dụng các tính chất về cạnh và góc của hình thang vuông đã học để giải quyết bài toán.

Ví dụ 1: Cho hình thang vuông ABCD, có góc A = góc D = 90 độ, AB = AD, DC = 2AB và BE vuông góc với CD tại E.

a, Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác EDB

b, Chứng minh tam giác BEC vuông cân tại E

Ví dụ 2: Cho tam giác ABCD vuông cân tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Hướng dẫn giải: Chứng mình tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A => Chứng minh tam giác ADC là tam giác vuông cân tại D => góc DAC và góc ACB là hai góc so le trong => AD song song với BC nên tứ giác ABCD có AD song song với BC, có góc ADC bằng 90 độ. Suy ra ABCD là hình thang vuông.

Hình thang vuông là một trường hợp đặc biệt của hình thang nên về cơ bản thì loại hình này cũng sở hữu những đặc điểm, tính chất như hình thang. Vậy nên, để giải quyết được các bài tập liên quan đến hình thang vuông, chúng ta cần nắm chắc những kiến thức cơ bản từ khái niệm, tình chất, dấu hiệu, nhận biết, đặc điểm,...

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Câu 1. Cho một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên. Biết đáy nhỏ dài 14 cm, đáy lớn dài 50 cm. Tính diện tích hình thang đó.

Câu 2: Mảnh đất hình thang có đáy lớn là 38 m và đáy bé là 28 m. Mở rộng hai đáy về bên phải của mảnh đất cới đáy lớn thêm 9m và đáy bé thêm 8m thu được mảnh đất hình thang mới có diện tích lớn hơn diện tích mảnh đất ban đầu là 107,2 m². Hãy tính diện tích mảnh đất hình thang ban đầu.

Câu 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ về phái ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Câu 4. Cho hình thang vuông ABCD có AD = 6 cm; DC = 12 cm; AB = 2/3 DC

a, Tính diện tích hình thang ABCD

b, Khi kéo dài cạnh bên AD và CB thì 2 cạnh bên này cắt nhau tại M. Tính độ dài cạnh AM.

Câu 5: Chứng minh rằng trong một hình thang vuông, hiệu các bình phương của hai đường chéo bằng hiệu các bình phương của hai đáy.

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, Từ H kể HD vuông góc với AC HE vuông góc với AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng HB, HC. Chứng minh tứ giác DEMN là hình thang vuông.

Câu 7: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Cho biết AD = 20, AC =52 và BC = 29. Tính độ dài AB.

Câu 8: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Gọi M là trung điểm của AD. Cho biết MB vuông góc với MC.

a, Chứng minh rằng BC = AB + CD;

b, Vẽ MH vuông góc với BC. Chứng minh rằng tứ giác MBHD là hình thang.

Câu 9: Cho tam giác ABC vuong tại A, lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho AM = 1/2 BC, N là trung điểm cạnh AB. Chứng minh:

a, Tam giác AMB cân

b, Tứ giác MNAC là hình thang vuông

Đáp án:

Câu 1. 30 cm²

Câu 2. Diện tích mảnh đất ban đầu: 415,8 m²

^{Câu 3. Phương án giải: ABCD là hình thang vuông.}

^{Câu 4:} 

a, 60 cm²

b. AM = 12 cm

Câu 9: 

a, Hướng dẫn giải: chứng minh M là trung điểm của cạnh  BC => AM = AB = MC = BC/2. Suy ra tam giác AMB là tam giác cân.

b, Hướng dẫn giải: Trong tam giác AMB có AN = NB (giả thiết)

Suy ra: MN vuông góc với AB; AC vương góc với AB => MN song song với Ac và góc CAN bằng 90^o.

Suy ra tứ giác MNAC là hình thang vuông.

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê trả lời cho câu Hình thang là gì? Dấu hiệu nhận biết, tính chất của hình thang, hy vọng với những kiến thức về hình thang vuông trên có thể giúp bạn nắm vững được kiến thức của mình.