Mục lục bài viết
1. Khái niệm liên quan đến các hằng đẳng thức đáng nhớ
Hằng đẳng thức vàng" – đó là những phép tính cơ bản mà mọi tín đồ của toán học cần thống trị. Đây không chỉ là những nguyên tắc đơn giản mà chúng ta dễ dàng gặp trong sách giáo khoa, mà còn là những công cụ mạnh mẽ được tạo nên thông qua sự kết hợp tinh tế của phép nhân đa thức với đa thức. Những bí quyết này không chỉ đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết những phương trình phức tạp, mà còn trở thành lòa mắt trong việc phân tích đa thức và biến đổi biểu thức tại cả cấp học trung học cơ sở và trung học phổ thông. Tinh thông bảy hằng đẳng thức vàng là điều không thể thiếu để bạn có thể nhanh chóng và một cách thông minh giải quyết những bài toán liên quan đến việc phân rã đa thức thành các nhân tử khác nhau. Điều này giúp bạn trở thành một "nhà toán học" thực thụ, sẵn sàng đối mặt với bất kỳ thách thức nào mà toán học đặt ra.
Trong những hằng đẳng thức này, chúng ta thấy một phía của biểu thức đôi khi là sự tổng hợp hoặc sự chênh lệch, trong khi phía còn lại thường bao gồm các phép tính như nhân và lũy thừa. Bảy "công thức toán học" này đã trở thành một phần không thể thiếu trong sách giáo khoa trung học cơ sở tại Việt Nam và thậm chí xuất hiện đậm đắng trên trang bìa sau của các quyển vở tập II và tập III của học sinh. Việc hiểu rõ và nắm vững chúng không chỉ giúp chúng ta xử lý những phương trình phức tạp, mà còn đóng một vai trò quan trọng trong việc phân rã đa thức và biến đổi biểu thức. Bạn có thể coi chúng như một bộ công cụ mạnh mẽ để thách thức bản thân và trang bị cho mình khả năng giải quyết mọi bài toán toán học một cách thông minh và hiệu quả.
2. Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Sau đây là công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
- Bình phương của một tổng - Quy tắc mở rộng:
Khi chúng ta nâng một tổng (a + b) lên bình phương, kết quả có thể được biểu diễn như sau: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Điều này là một trong những phương pháp quan trọng nhất trong toán học, cho phép chúng ta mở rộng biểu thức tổng thành ba thành phần riêng biệt.
- Bình phương của một hiệu - Quy tắc mở rộng:
Tương tự như trường hợp trước, khi chúng ta nâng một hiệu (a − b) lên bình phương, chúng ta thu được kết quả sau: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Đây cũng là một quy tắc quan trọng giúp chúng ta mở rộng và phân tích các biểu thức hiệu một cách dễ dàng hơn
- Hiệu hai bình phương - Quy tắc khai triển:
Khi chúng ta có sự khác biệt giữa hai bình phương (a2 − b2), chúng ta có thể biểu diễn nó bằng cách sử dụng một quy tắc quan trọng trong toán học như sau: a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Đây là một công thức hữu ích giúp chúng ta phân tích sự khác biệt giữa hai bình phương thành một dạng có thể tính toán dễ dàng hơn.
- Lập phương của một tổng - Quy tắc khai triển:
Khi chúng ta nâng một tổng (a + b)) lên lập phương, kết quả có thể được biểu diễn như sau: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Đây là một quy tắc mở rộng mạnh mẽ, cho phép chúng ta biểu diễn lập phương của một tổng một cách chi tiết và dễ dàng phân tích thành các thành phần riêng biệt
- Lập phương của một hiệu - Quy tắc mở rộng:
Khi chúng ta nâng một hiệu (a − b) lên lập phương, quy tắc sau đây giúp biểu diễn nó một cách chi tiết: (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Đây là một công thức quan trọng giúp chúng ta phân tích lập phương của một hiệu thành các thành phần riêng biệt.
- Tổng hai lập phương - Quy tắc kết hợp:
Bằng cách kết hợp các phép tính, chúng ta có thể biểu diễn tổng của hai lập phương (a3 + b3) bằng cách sử dụng các bước sau: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) = (a + b)3 − 3a2b − 3ab2 = (a + b)3 − 3ab(a + b)
Điều này giúp chúng ta dễ dàng tính toán tổng của hai lập phương bằng cách sử dụng tổ hợp các quy tắc toán học.
- Hiệu hai lập phương - Quy tắc kết hợp:
Tương tự như trường hợp trước, chúng ta có thể biểu diễn hiệu của hai lập phương (a3 − b3) bằng cách kết hợp các phép tính một cách thông minh: a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) = (a − b)3 + 3a2b − 3ab2 = (a − b)3 + 3ab(a − b)
Điều này giúp chúng ta biểu diễn hiệu của hai lập phương một cách dễ dàng và tiết kiệm
Bên cạnh bảy hằng đẳng thức cơ bản đã được nêu ra, chúng ta còn có một loạt các hằng đẳng thức phụ thuộc hoặc được tạo ra từ chúng. Các hằng đẳng thức này thường được áp dụng trong quá trình biến đổi các biểu thức lượng giác, chứng minh các đẳng thức phức tạp hơn hoặc bất đẳng thức. Chúng là công cụ quan trọng giúp chúng ta khám phá và hiểu sâu hơn về sự liên quan giữa các biểu thức và tạo điều kiện thuận lợi cho việc thực hiện các phép tính toán và bằng chứng trong toán học.
>> Xem thêm: Bài tập hằng đẳng thức lớp 8 chọn lọc, có đáp án chi tiết
3. Hệ quả của 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
- Tổng hai bình phương - Quy tắc mở rộng:
Chúng ta có một quy tắc quan trọng giúp biểu diễn tổng của hai bình phương (a2 + b2) một cách chi tiết: a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
Điều này giúp chúng ta phân tách tổng của hai bình phương thành các thành phần riêng biệt, giúp dễ dàng thực hiện các phép tính.
- Tổng hai lập phương - Quy tắc mở rộng:
Tương tự như trường hợp trước, chúng ta có một quy tắc quan trọng giúp biểu diễn tổng của hai lập phương (a3 + b3) một cách chi tiết: a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b)
Điều này giúp chúng ta phân tách tổng của hai lập phương thành các thành phần riêng biệt, làm cho việc tính toán trở nên đơn giản hơn.
- Bình phương của tổng 3 số hạng - Quy tắc mở rộng:
Khi chúng ta nâng tổng ba số hạng (a + b + c) lên bình phương, quy tắc sau đây giúp biểu diễn nó một cách chi tiết: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
Đây là một quy tắc mở rộng mạnh mẽ, cho phép chúng ta biểu diễn bình phương của tổng ba số hạng một cách chi tiết và dễ dàng phân tích thành các thành phần riêng biệt.
- Lập phương của tổng 3 số hạng - Quy tắc mở rộng:
Tương tự như các quy tắc trước, chúng ta có một quy tắc quan trọng giúp biểu diễn lập phương của tổng ba số hạng (a + b + c)3 một cách chi tiết: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
Đây là một công thức mở rộng quan trọng, cho phép chúng ta phân tách lập phương của tổng ba số hạng thành các thành phần riêng biệt và sử dụng chúng trong các phép tính toán phức tạp hơn.
4. Lợi ích của việc ghi nhớ các hằng đẳng thức
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ nêu trên trong toán học có vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán, biến đổi biểu thức, và chứng minh các đẳng thức khác. Dưới đây là vai trò cụ thể của chúng:
- Bình phương của một tổng và một hiệu (1 và 2): Giúp biểu diễn các biểu thức tổng và hiệu dưới dạng các thành phần riêng biệt, dễ dàng thực hiện các phép tính toán. Hữu ích trong việc giải phương trình và bất đẳng thức.
- Hiệu hai bình phương (3): Cho phép chia sự khác biệt giữa hai bình phương thành dạng có thể tính toán dễ dàng hơn. Giúp trong việc phân rã biểu thức và biến đổi các biểu thức phức tạp.
- Lập phương của một tổng (4): Thể hiện biểu thức lập phương của một tổng dưới dạng chi tiết của các thành phần, giúp phân tích và tính toán dễ dàng hơn. Hữu ích khi giải các bài toán liên quan đến khối lượng, thể tích, và các vấn đề 3 chiều khác.
- Lập phương của một hiệu (5): Cho phép biểu diễn biểu thức lập phương của một hiệu dưới dạng các thành phần riêng biệt, giúp tính toán dễ dàng hơn. Hữu ích trong việc chứng minh các đẳng thức phức tạp và trong các bài toán động học.
- Tổng hai lập phương (6): Giúp biểu diễn tổng của hai lập phương dưới dạng các thành phần riêng biệt, thuận tiện cho việc tính toán. Hữu ích khi giải các bài toán liên quan đến thể tích, diện tích, và các vấn đề liên quan đến hình học.
- Hiệu hai lập phương (7): Cho phép chia sự khác biệt giữa hai lập phương thành dạng có thể tính toán dễ dàng hơn. Hữu ích trong việc phân tích các vấn đề về năng lượng và trong các bài toán vật lý.
Ngoài ra, có thể tham khảo bài viết sau: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và bài tập áp dụng dễ hiểu nhất. Xin cảm ơn!