Mục lục bài viết
1. Lý thuyết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Cho hai biểu thức A và . Từ hai biểu thức này ta có thể lập 7 hằng đẳng thức như sau:
- Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số thứ nhân nhân số thứ hai rồi cộng với bình phương số thứ hai.
( A + B) 2 = A2 + 2AB + B2
- Bình phường của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích số thứ nhất nhân số thứ 2 rồi cộng với bình phương số thứ hai:
(A - B) 2 = A 2 - 2AB + B2
⇒ A2+ B2 = (A -B) 2 - 2AB = (A + B) 2 = 2AB
- Hiệu hai bình phương bằng hiệu hai số đó nhân tổng hai số đó
(A + B) (A -B) = A2 - B2
- Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất + 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai + lập phương số thứ hai:
(A + B) 3 = A 3 - 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3 = A2 - B3
- Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất cộng hai lần bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai rồi cộng với ba lần số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai rồi cộng với lập phương số thứ hai
(A + B) (A2 - AB + B2) = A3 + B3
- Lập phương của một hiệu bằng lập phương số thứ nhất trừ đi 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai trừ đi lập phương số thứ hai.
Phát biểu thành lời: Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất trừ đi ba lần bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai rồi trừ đi lập phương số thứ hai.
- Hiệu hai lập phương bằng hiệu của hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng.
(A - B) (A2 +AB + B2) = A3 - B3
2. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Sử dụng 7 hằng đẳng thức viết các biểu thức sau dưới dạng tổng.
a. (2x + 1) 2 = 4x2 - 4x + 1
b. (2x + 3y)2 = 4x2 + 2.2x.3y + 9y2 = 4x2 + 12xy + 9y2
c. (x + 1) (x - 1) = x2 - 1
d. m2 - n2 = (m -n) (m + n)
Bài tập 2: Sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và rút gọn biểu thức sau:
A = (x + y)2 - (x -y)2
A = (x + y)2 - (x - y)2 = x2 + 2xy + y2 - (x2 - 2xy + y2) = 4xy
>> Tham khảo: Bài tập hằng đẳng thức lớp 8 chọn lọc, có đáp án chi tiết
3. Các dạng biến đổi cần lưu ý
- Chú ý phép tính toán, nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, triển khai hằng đẳng thức. Các bài toán yêu cầu viết lại biểu thức. Cần lưu ý các quy tắc về nhân đa thức và học thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Chú ý về dấu của số hạng và dấu của các phép toán
- Có thể vận dụng các tính chất về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để tìm ra.
Bài tập về tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Chúng ta thực hiện bước đầu tiên là biến đổi biểu thức yêu cầu về dạng M = A 2 + B trong đó A là một biểu thức chứa biến và B là một số hoặc một biểu thức số độc lập. Theo tính chất về bình phương của mọi số thực luôn không âm nên luôn luôn có A2 > 0 với mọi giá trị của biến số do đó A2 + B > B nên biểu thức có giá trị nhỏ nhất bằng B. Dấu = xảy ra khi A = 0
Dạng 1: Thực hiện phép tính:
Phương pháp giải: Sử dụng trực tiếp các hằng đẳng thức đã học để khai triển các biểu thức
Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức:
Phương pháp giải: Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và lựa chọn vế có thể dễ dàng áp dụng các hằng đẳng thức
Dạng 3: Tính nhanh
Phương pháp giải: Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức cho các số tự nhiên
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Phương pháp giải: Sử dụng các hằng đẳng thức và cần chú ý:
A2 0 và - A2
0
Dạng 4: Sử dụng hằng đẳng thức để kahi triển và rút gọn biểu thức và tính giá trị của biểu thức
Phương pháp giải: Sử dụng hằng đẳng thức đã học để triển khai và rút gọn biểu thức
Dạng 5: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh
Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đã học để tính nhanh
Dạng 6: Sử dụng hằng đẳng thức đến rút gọn và khai triển biểu thức
Phương pháp giải: Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để khai triển hoặc rút gọn biểu thức
Dạng 7: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh
Phương pháp giải: Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích và tính
>> Tham khảo: 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Và Hệ Quả chính xác nhất
4. Bài tập áp dụng tự luyện tập
Câu 1. Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 dưới dạng đa thức
b. Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x - 2 dưới dạng đa thức
Câu 2: Tính nhanh các câu sau:
a. 38 x 42
b. 102 2
c. 198 2
d. 75 2 - 25 2
Câu 3: Viết các biểu thức sau thành đa thức
a. ( 2x - 3 )3
b. ( a + 3b) 3\
c. (xy - 1) 3
Câu 4: Viết biểu thức (4n + 3) 2 - 25 thành tích chứng minh với mọi số nguyên n biểu thức (4n + 3) 2 - 25 chia hết cho 8
Câu 5: So sánh hai vế sau, số nào lớn hơn?
a. A = (2 + 1) (2 2 + 1) (2 4 + 1) và B = 2 2
Câu 6: Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng các tích của từng cặp 2 số trong 3 số ấy bằng 74.
Câu 7: Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40. Tìm 2 số ấy.
Câu 8: Tổng 3 số a, b,c bằng 9. Tổng các bình phương của chúng bằng 53. Tính ab + bc + ca.
Câu 9: Tìm giá trị của các biểu thức sau:
a. x2 - 10x + 26 với x = 105
b. x2 + 0,2x + 0,01 với x = 0,9
Câu 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a. A = x2 - 4x + 1
b. B = 4x2 + 4x + 11
c. C = 3x2 - 6x - 1
Câu 11: Tính các biểu thức sau sao cho đúng
a. ( x + 2y) 2
b. (2x + 3y ) 2
c. ( 3x - 2y) 2
d. (5x - y) 2
e. (x + 1/4) 2
f. (1/3 x - 1/2 ) 2
g. ( x + 1) 2
( 3x +1 ) (3x - 1)
h. ( x 2 + 2/5 y) (x2 - 2/5y)
i. x2 - 6x + 9
k. 1/4 x2 + 2 xy2 + 4y2
m. x3 - 8y3
n. a6 - b3
l. x2 - 10x + 25
o. x2 + 4xy + 4y2
Câu 12: Tính nhanh
a. 10001 2
b. 29,9 . 40,1
c. 201 2
d. 199 2
e. 20,1 . 19,9
f. 33,3 2 - 2.33,33 + 3,3 2
Câu 13: Điền vào chỗ trống: .... = (2x -1) ( 4x2 +2x +1 )
Câu 14: Tính giá trị biểu thức: A = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 tại x = 2 và y = -1
Câu 15: Tính giá trị của biểu thức A = 352 - 700 + 10 2
Câu 16: Tìm giá trị của x thỏa mãn biểu thức sau :
2x2 - 4x + 2 = 0 vậy x bằng bao nhiêu?
Câu 17: Có bao nhiêu giá trị x để thỏa mãn (2x + 1) 2 - 4 (x + 3) 2 = bao nhiêu
Câu 18: Rút gọn biểu thức sau:
N = (2x + 3y) (4x2 - 6xy + 9y2)
P = (x - y) (x2 + xy + y2 ) - (x + y) (x2 - xy +y2)
Q = (x2 -2y) (x4 + 2x2y +4y2)
Bạn đọc có thể tham khảo bài viết sau: Bài tập toán nâng cao lớp 8 có đáp án chi tiết
Bài viết trên Luật Minh Khuê đã gửi tới bạn đọc chi tiết về vấn đề 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và bài tập vận dụng. Trong bài viết Luật Minh Khuê đã đề cập chi tiết nội dung và đáp án. Cảm ơn bạn đọc đã theo dõi nội dung.