Mục lục bài viết

1. Lý thuyết về hằng đẳng thức

- Bình phương của một tổng: Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số thứ nhân nhân số thứ hai rồi cộng với bình phương số thứ hai.

(A + B)² = A² + 2AB + B²

- Bình phương của một hiệu: Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích số thứ nhất nhân số thứ 2 rồi cộng với bình phương số thứ hai.

(A – B)²  = A²  – 2AB + B²

- Hiệu hai bình phương: Hiệu hai bình phương bằng hiệu hai số đó nhân tổng hai số đó

A² – B² = (A + B)(A – B) 

- Lập phương của một tổng: Lập phương của một tổng = lập phương số thứ nhất + 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai + lập phương số thứ hai.

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

- Lập phương của một hiệu: Lập phương của một hiệu = lập phương số thứ nhất - 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai - lập phương số thứ hai.

(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3A² – B³

- Tổng hai lập phương: Tổng của hai lập phương bằng tổng hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu.

(A + B)( A² – AB + B²) = A³ +B³

- Hiệu hai lập phương: Hiệu của hai lập phương bằng hiệu của hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng.

(A – B)( A² + AB + B²) = A³ – B³

 

2. Các dạng bài tập ứng dụng hằng đẳng thức​

- Dạng bài tập 1: Biến đổi biểu thức

Phương pháp làm: áp dụng 7 hằng đẳng thức để thực hiện phép biến đổi biểu thức

Ví dụ: (2x+3y)² = 4x² + 2.2x.3y + 9y² = 4x² + 12x.y + 9y²

- Dạng bài tập 2: Tính giá trị biểu thức

Phương pháp: với dạng toán này chúng ta có thể giải theo phương pháp như sau:

  • Biến đổi biểu thức cho trước thành những biểu thức cần thiết sao cho phù hợp với biểu thức cần tính giá trị.
  • Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức cần tính giá trị về biểu thức có liên quan đến giá trị đề bài đã cho.
  • Thay vào biểu thức cần tính tìm được giá trị.

Ví dụ: Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức A = x3 + 3xy + y2

Áp dụng hằng đẳng thức bậc ba ta được: A = x3 + 3xy + y2 = (x + y)(x2 - xy + y2) + 3xy

= (x + y)((x + y)2 - 3xy) + 3 xy

Theo bài ra x + y = 1. Thay vào biểu thức A ta được: 

A = 1. (1 - 3xy) + 3xy = 1

- Dạng bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phương pháp: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x). Áp dụng hằng đẳng thức ta biến đổi được về dạng: n + Q(x) >= n (với n là hằng số), suy ra GTNN của A(x) là n.

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 – 2x + 5

Ta có: P = x2 – 2x + 5 = x2 – 2x + 1 + 4 = (x – 1)2 + 4

Vì (x – 1)2 ≥ 0 nên (x – 1)2 + 4 ≥ 4

Suy ra: P = 4 là giá trị bé nhất ⇒ (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1

Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1.

- Dạng bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

Phương pháp: Giá trị lớn nhất của biểu thức A(x). Áp dụng hằng đẳng thức ta biến đổi được về dạng: m – Q(x) =< m (với m là hằng số), suy ra GTLN của A(x) là m.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 4x – x2 + 3

Ta có: A = 4x – x2 + 3

= 7 – x2 + 4x – 4

= 7 – (x2 – 4x + 4)

= 7 – (x – 2)2

Vì (x – 2)2 ≥ 0 nên A = 7 – (x – 2)2 ≤ 7

Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại x = 2

- Dạng bài tập 5: Chứng minh đẳng thức bằng nhau

Phương pháp: Áp dụng phép nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đơn thức và nhân đa thức với đa thức với đa thức. Từ đó chúng ta biến đổi sao cho vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại, hay chứng minh vế trái và vế phải cùng bằng một biểu thức.

Ví dụ: Chứng minh: (x2 - xy - y).(x + y) + xy(y + 1) = x3 - y2

Ta có: VT = (x2 - xy - y).(x + y) + xy(y + 1)

= x3 + x2y - x2y - xy2 - xy - y2 + xy2+ xy

= x3 - y2 = VP

>> Xem thêm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và bài tập áp dụng dễ hiểu nhất

 

3. Bài tập hằng đẳng thức lớp 8 (có đáp án chi tiết)

Bài 1: Biến đổi các biểu thức sau bằng việc áp dụng các hằng đẳng thức

a, (x + 2y)2

b, (x – 3y)(x + 3y)

c, (5 – x)2

d, (x – 1)2

e, (3 – y)2

f, (x – 1/2)2

Trả lời:

a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2

d, (x – 1)2 = x2 – 2x + 1

e, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2

f, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

a, (x + y)2 + (x – y)2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Trả lời:

a, (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2x2 + 2y2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

= [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4x2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

= [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau trên cơ sở áp dụng các hằng đẳng thức đã học

a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13

b, x3 + 9x2+ 27x + 27 tại x = 97

Trả lời:

a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

Thay x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

b, Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27

= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

= (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Bài 4: Chứng minh rằng:

(a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

Trả lời:

 Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2)

= a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3

Như vậy, vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Bài 5: Áp dụng kiến thức về hằng đẳng thức để chứng tỏ rằng 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x

Trả lời: Ta có: 4x – x2 – 5 = -(x2 – 4x + 4) – 1 = -(x – 2)2 -1

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x nên –( x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.

Suy ra: -(x – 2)2 - 1 ≤ 0 với mọi x

Vậy 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x.

Bài 6: Áp dụng kiến thức về hằng đẳng thức hãy tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức M = x2 + y2 – x + 6y + 10

Trả lời:  

Ta có: M = x2 + y2 – x + 6y + 10 = (y2 + 6y + 9) + (x2 – x + 1)

= (y + 3)2 + (x2 – 2.1/2 x + 1/4 + 3/4) = (y + 3)2 + (x – 1/2)2 + 3/4

Vì (y + 3)2 ≥ 0 và (x – 1/2)2 ≥ 0 nên (y + 3)2 + (x – 1/2)2 ≥ 0

⇒ (y + 3)2 + (x – 12)2 + 3/4 ≥ 3/4

⇒ M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất khi (y + 3)2 =0

⇒ y = -3 và (x – 1/2)2 = 0 ⇒ x = 1/2

Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2

Trên đây là những chia sẻ của Luật Minh Khuê muốn gửi tới các bạn về phạm vi kiến thức, các dạng bài và phương pháp làm bài về hằng đẳng thức trong phạm vi Toán học lớp 8. Mong rằng bài viết là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho các bạn, Luật Minh Khuê kính chúc các bạn có một học kỳ hiệu quả và đạt được nhiều thành tích cao. Tham khảo thêm: 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Và Hệ Quả chính xác nhất. Cảm ơn bạn đã quan tâm theo dõi.