Mục lục bài viết

1. Bài tập tự luận
2. Một số câu hỏi khác
3. Một số lý thuyết cần nhớ về phương pháp so sánh cơ bản

1. Bài tập tự luận

Bài 1:So sánh hai phân số $A - \frac{10^{8}+ 1}{10^{9}+ 1}$ và $B = \frac{10^{9} + 1}{10^{10}+ 1}$

Hướng dẫn giải chi tiết:

Nhận thấy B là phân số nhỏ hơn 1. Nếu cộng cùng một số nguyên dương vào tử và mẫu số của B thì giá trị của B tăng thêm. Do đó:

$B = \frac{10^{9} + 1}{10^{10}+ 1}< \frac{10^{9}+ 1+ 9}{10^{10}+ 1+9}= \frac{10^{9}+ 10}{10^{10}+ 10}= \frac{10(10^{8}+1)}{10(10^{9}+1)}= \frac{10^{8}+ 1}{10^{9}+1}= A$

Bài 2: Chứng minh rằng trong hai phân số có cùng một tử, tử và mẫu đều dương, phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn.

Hướng dẫn giải chi tiết:

So sánh hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ với a, b, c là các số tự nhiên khác 0 và b < c ( giả thiết đề bài)

Ta có: $\frac{a}{b}= \frac{a.c}{b.c}; \frac{a}{c}= \frac{a.b}{b.c}$

Do b < c và c > 0 nên ab < ac

Suy ra $\frac{ac}{bc}> \frac{ab}{bc} \Rightarrow \frac{a}{b}> \frac{a}{c}$

Bài 3: Chứng minh rằng nếu cộng cả từ và mẫu của một phân số nhỏ hơn 1 (tử và mẫu đều dương) với cùng một số nguyên dương thì giá trị của phân số đó tăng thêm (nghĩa là phân số mới lớn hơn phân số ban đầu)

Hướng dẫn giải chi tiết:

Gọi phân số đã cho là $\frac{a}{b}$ với a, b là các số tự nhiên khác 0 và a < b

Cộng số nguyên dương n vào tử và mẫu số ta được $\frac{a + n}{b + n}$

Ta cần chứng minh $\frac{a}{b}< \frac{a + n}{b + n}$

Quy đồng mẫu số hai phân số trên ta được:

$\frac{a}{b}=\frac{a\left ( b+n \right )}{b\left ( b + n \right )} = \frac{ab+an}{b(b+n)}(1)$

$\frac{a+n}{b+n}= \frac{\left ( a+n \right )b}{\left ( b+n \right )b}= \frac{ab +bn}{b(b+n)}(2)$

Do a < b và n > 0 nên an < bn (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+ n}$ (đpcm)

Bài 4: So sánh các phân số sau:

a) $\frac{10}{11}; \frac{12}{13}$ và $\frac{15}{16}$

b) $\frac{n+1}{n+ 5}$ và $\frac{n+2}{n+ 3}$ (n là số tự nhiên)

Hướng dẫn giải đáp chi tiết:

a, Quy đồng tử số ta được $\frac{10}{11}= \frac{60}{66}; \frac{12}{13}= \frac{60}{65}; \frac{15}{16}= \frac{60}{64}$

Ta có $\frac{60}{66}< \frac{60}{65}< \frac{60}{64}$ nên $\frac{10}{11}< \frac{12}{13}< \frac{15}{16}$

b, Để so sánh $\frac{n+ 1}{n+5}$ và $\frac{n+ 2}{n+3}$ , ta dùng phân số trung gian $\frac{n+ 1}{n+3}$

Ta có $\frac{n+ 1}{n+5}<\frac{n+1}{n+3}$ ( so sánh hao phân số cùng tử) và $\frac{n+ 1}{n+3}<\frac{n+2}{n+3}$ (so sánh hai phân số cùng mẫu)

Vậy $\frac{n+ 1}{n+5}< \frac{n+2}{n+3}$

Bài 5: So sánh hao phân số $A = \frac{13579}{34567}$ và $B = \frac{13580}{34569}$

Hướng dẫn giải chi tiết:

Đặt 13579 = a và 34567 = b thì nhận thấy A = $\frac{a}{b}$ và B = $\frac{a +1}{b + 2}$

$A = \frac{a}{b}= \frac{a\left ( b+2 \right )}{b\left ( b+2 \right )}= \frac{ab + 2b}{b(b+2)};$

$B = \frac{a + 1}{a+ 2}= \frac{b(a+1)}{b(b+2)}= \frac{ab+b}{b(b+2)}$

Ta thấy 13579.2 < 34567 tức là 2a <b

Suy ra A < B

2. Một số câu hỏi khác

Câu 1: Tính:

a. 10 giờ 20 phút: 4 – 38 phút

b. ( 3 phút 25 giây + 2phút 45 giây) x3

Hướng dẫn giải chi tiết:

a. 10 giờ 20 phút: 4 - 38 phút

Đầu tiên, chuyển 10 giờ 20 phút về phút về phút: 10 x 60 + 20 = 620 phút

Sau đó, thực hiện phép tính:

$\frac{620-38}{4}= \frac{582}{4}= 145.5$ phút

b. ( 3 phút 20 giây + 2 phút 45 giây) x 3

Chuyển thời gian về giây và thực hiện phép tính:

( 3 x 60 + 25 + 2 x 60 + 45) x 3 = (180 + 25 + 120 + 45) x 3 = 370 x 3 = 1110 giây

Câu 2: Một người thợ làm xong 5 sản phẩm hết 8 giờ 45 phút. Hỏi người đó làm xong 4 sản phẩm như thế hết bao nhiêu thời gian.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Nếu người thợ làm xong 5 sản phẩm hết 8 giờ 45 phút thì mỗi sản phẩm mất:

$\frac{8\times 60 + 45}{5}= \frac{525}{5}= 105$ phút

Vậy để làm xong 4 sản phẩm, người thợ sẽ mất:

4 x 105 = 420 phút

Câu 3: Một người thợ may một cái áo hết 1 giờ 25 phút và may một cái quần hết 1 giờ 5 phút . Hỏi người thợ đó may 4 cái quần và 3 cái áo như thế hết bao nhiêu thời gian?

Hướng dẫn giải chi tiết:

Tổng thời gian để may 4 cái quần và 3 cái áo là:

4 × ( 1 giờ 5 phút) + 3 × (1 giờ 25 phút) = 4 × 85 + 3 × 65 = 340 +195 = 535 phút

3. Một số lý thuyết cần nhớ về phương pháp so sánh cơ bản

Cách 1: So sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số là một phương pháp đơn giản và dễ hiểu. Dưới đây là chi tiết cách thực hiện:

Bước 1: Viết các phân số dưới dạng phân số có cùng mẫu số dương. Điều này đảm bảo rằng chúng có cùng một đơn vị đo lường.

Ví dụ: so sánh $\frac{3}{4}$ và $\frac{5}{8}$

$\frac{3}{4}$ và $\frac{5}{8}$ có thể được viết lại với cùng mẫu số, chẳng hạn như $\frac{6}{8}$ và $\frac{5}{8}$

Bước 2: So sánh phân số bằng cách quy đồng tử số cũng là một phương pháp hiệu quả. Dưới đây là cách thực hiện:

Cách làm: Trong hai phân số có tử và mẫu số đều dương, nếu tử số bằng nhau, thì phân số nào có mẫu số lớn hơn sẽ nhỏ hơn và ngược lại.

Ví dụ: so sánh $\frac{2}{5}$ và $\frac{2}{7}$

Ở đây, tử số của cả hai phân số là 2. Ta chỉ cần so sánh mẫu số.

$\frac{2}{5}$ có mẫu số lớn hơn $\frac{2}{7}$ , nên $\frac{2}{7} < \frac{2}{5}$

Cách 2: So sánh phân số bằng cách quy đồng tử số:

Trong cách này, nếu tử số bằng nhau, chúng ta so sánh mẫu số để xác định phân số nào lớn hơn.

Ví dụ, so sánh $\frac{2}{5}$ và $\frac{2}{7}$ :

Ở đây, tử số là 2, nên ta chỉ cần so sánh mẫu số.

$\frac{2}{5}$ có mẫu số lớn hơn $\frac{2}{7}$ , nên $\frac{2}{7}$ < $\frac{2}{5}$

Cả hai cách này đều giúp xác định phân số lớn hơn trong một bài toán so sánh, tùy thuộc vào sự thuận tiện và yêu cầu cụ thể của đề bài.

Cách 3: So sánh "phần bù" với 1 của mỗi phân số:

- Phần bù với đơn vị chức năng của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.

- Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn, thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại.

- Ví dụ: So sánh $\frac{3}{4}$ và $\frac{5}{8}$ .

Phần bù của $\frac{3}{4}= 1-\frac{3}{4}= \frac{1}{4}$

Phần bù của $\frac{5}{8}= 1-\frac{5}{8}= \frac{3}{8}$

Vì $\frac{3}{8} < \frac{1}{4}$ , nên $\frac{3}{4} < \frac{5}{8}$ .

Cách 4: So sánh "phần hơn" với 1 của mỗi phân số:

- Phần hơn với đơn vị chức năng của phân số là hiệu của phân số và 1.

- Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn, thì phân số đó lớn hơn.

Ví dụ: So sánh $\frac{2}{5}$ và $\frac{2}{7}$ .

Phần hơn của $\frac{2}{5} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

Phần hơn của $\frac{5}{8} = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

Vì $\frac{5}{7} > \frac{3}{5}$ , nên $\frac{2}{7} > \frac{2}{5}$

Cách 5: So sánh qua một phân số trung gian:

Cách chọn phân số trung gian:

- Trong trường hợp ít trường hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là những phân số dễ tìm được.

- Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu của mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số ít lần sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất. Sau đó ta thực thi chọn phân số trung gian như trên .

- Khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của hai phân số ta đợc cùng thương thì ta đưa hai phân số cần so sánh về dạng hỗn số, rồi so sánh hai phần phân số của hai hỗn số đó.

- Đưa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh.

Ví dụ: So sánh $\frac{1}{2}$ và $\frac{2}{3}$ .

- Hiệu của tử số là 2 − 1 = 1 , và hiệu của mẫu số là 3 − 2 = 1.

- Nhân cả tử số và mẫu số lên 1 lần, ta có $\frac{2}{4}$ và $\frac{3}{6}$

- Ta chọn phân số trung gian $\frac{5}{10}$ và so sánh $\frac{2}{4}$ với $\frac{5}{10}$ , và $\frac{5}{10}$ với $\frac{3}{6}$ .

- Ta thấy $\frac{2}{4}$ < $\frac{5}{10}$ và $\frac{5}{10}$ < $\frac{3}{6}$ , nên $\frac{1}{2}$ < $\frac{2}{3}$

Tóm lại: Các phương pháp này cung cấp các cách tiếp cận chi tiết hơn và linh hoạt để so sánh phân số, tùy thuộc vào đặc điểm cụ thể của bài toán.

So sánh phân số là một kỹ năng quan trọng mà học sinh thường xuyên gặp trong chương trình toán từ lớp 5 đến lớp 7. Để hiểu và áp dụng phương pháp so sánh phân số, học sinh cần nắm vững các kỹ thuật cơ bản như so sánh trực tiếp, chung mẫu số, nhân mẫu số, chia phân số, và sử dụng hỗn số. Các phương pháp này giúp họ xác định mối quan hệ giữa hai phân số một cách chính xác và linh hoạt. Ngoài ra, việc chuyển đổi phân số thành giá trị thập phân cũng là một cách tiếp cận hiệu quả, giúp học sinh hình dung được vị trí của phân số trên trục số. Việc so sánh thông qua phép nhân cũng là một phương pháp mạnh mẽ, đặc biệt là khi muốn xác định sự tăng giảm giữa hai phân số. Quan trọng nhất là học sinh cần luyện tập thường xuyên để nắm vững những phương pháp này và biết cách áp dụng chúng vào các bài toán thực tế. Đồng thời, sự hiểu biết vững về cơ sở toán học sẽ giúp các em tự tin hơn khi đối mặt với các thách thức và bài toán phức tạp trong quá trình học tập. Những kỹ năng này không chỉ giúp họ thành công trong môn toán mà còn phản ánh khả năng tư duy logic và quyết định trong nhiều lĩnh vực khác trong cuộc sống.