Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

1. Khái niệm và ý nghĩa của phương trình đường thẳng trong toán học

Trong hình học giải tích phẳng, phương trình đường thẳng là phương trình dùng để biểu diễn toàn bộ các điểm nằm trên một đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy. Thay vì chỉ quan sát đường thẳng bằng hình vẽ, học sinh có thể sử dụng các biểu thức đại số để xác định vị trí, tính chất và mối quan hệ của đường thẳng với các đối tượng hình học khác.

Theo tiên đề của hình học Euclid, qua hai điểm phân biệt chỉ có duy nhất một đường thẳng. Vì vậy, khi biết tọa độ của hai điểm phân biệt, ta luôn có thể xác định được phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm đó. Đây là một trong những kiến thức nền tảng của chương trình Toán THPT, đặc biệt ở lớp 10.

Việc xây dựng phương trình đường thẳng thực chất là quá trình chuyển đổi từ thông tin hình học sang ngôn ngữ đại số. Khi phương trình đã được thiết lập, học sinh có thể thực hiện nhiều phép toán như:

• Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
• Tính giao điểm của các đường thẳng.
• Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.
• Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
• Giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác và các hình trong mặt phẳng tọa độ.

Không chỉ có ý nghĩa trong học tập, phương trình đường thẳng còn là công cụ toán học được sử dụng trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học kỹ thuật.

Trong đồ họa máy tính, việc hiển thị một đoạn thẳng trên màn hình được thực hiện bằng cách xác định các điểm ảnh nằm gần đường thẳng nhất. Nhiều thuật toán vẽ đường thẳng được xây dựng dựa trên các nguyên lý của phương trình đường thẳng để bảo đảm tốc độ xử lý và độ chính xác.

Trong cơ khí chính xác, điều khiển tự động và robot công nghiệp, phương trình đường thẳng được dùng để xác định quỹ đạo chuyển động giữa hai vị trí. Máy CNC, máy cắt laser hay cánh tay robot đều phải tính toán đường đi theo nguyên lý nội suy tuyến tính nhằm bảo đảm chuyển động chính xác và ổn định.

Trong phân tích dữ liệu và kinh tế, phương trình đường thẳng còn là cơ sở của mô hình hồi quy tuyến tính. Mô hình này giúp mô tả mối quan hệ giữa hai đại lượng, từ đó hỗ trợ dự báo xu hướng và đưa ra quyết định dựa trên dữ liệu thực tế.

Có thể thấy, phương trình đường thẳng không chỉ là một nội dung quan trọng trong chương trình hình học tọa độ mà còn là nền tảng cho nhiều kiến thức toán học cao hơn như vectơ, không gian tọa độ, đại số tuyến tính và giải tích.

2. Công thức tổng quát để viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Giả sử hai điểm phân biệt có tọa độ:

• A(x₁; y₁)
• B(x₂; y₂)

Từ hai điểm này, ta có thể xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng là:

AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁)

Dựa vào vectơ chỉ phương, ta suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là:

n = (y₁ − y₂; x₂ − x₁)

Khi đã có một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của đường thẳng được viết dưới dạng:

A(x − x₀) + B(y − y₀) = 0

Trong đó:

• (x₀; y₀) là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng.
• (A; B) là tọa độ của vectơ pháp tuyến.

Nếu sử dụng ngay hai điểm A và B, ta thu được công thức viết nhanh phương trình đường thẳng:

(y₁ − y₂)(x − x₁) + (x₂ − x₁)(y − y₁) = 0

Sau khi khai triển và rút gọn, phương trình luôn đưa được về dạng tổng quát:

Ax + By + C = 0

với điều kiện A và B không đồng thời bằng 0.

Ngoài phương trình tổng quát, từ hai điểm đã biết còn có thể lập được các dạng phương trình khác.

Phương trình tham số:

x = x₁ + (x₂ − x₁)t

y = y₁ + (y₂ − y₁)t

trong đó t là tham số thực.

Nếu hiệu hoành độ và hiệu tung độ của hai điểm đều khác 0 thì có thể viết phương trình chính tắc:

(x − x₁)/(x₂ − x₁) = (y − y₁)/(y₂ − y₁)

Trong nhiều bài toán, tùy theo yêu cầu của đề bài mà giáo viên sẽ lựa chọn dạng phương trình phù hợp để việc tính toán được nhanh và thuận lợi hơn.

3. Hướng dẫn từng bước cách viết phương trình đường thẳng từ 2 điểm cho trước

Khi đề bài cho hai điểm phân biệt A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂), học sinh nên thực hiện theo trình tự dưới đây để hạn chế sai sót.

Bước 1. Xác định vectơ chỉ phương

Tính vectơ:

AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁)

Đây là vectơ có phương trùng với đường thẳng cần tìm.

Ví dụ:

Cho A(−2; 3) và B(4; −1).

Ta có:

AB = (6; −4)

Có thể rút gọn thành:

(3; −2)

để thuận tiện cho các phép tính tiếp theo.

Bước 2. Tìm vectơ pháp tuyến

Từ vectơ chỉ phương (a; b), ta xác định một vectơ pháp tuyến bằng cách đổi chỗ hai tọa độ và đổi dấu một tọa độ:

(a; b) → (−b; a)

hoặc

(b; −a)

Ví dụ trên:

Vectơ chỉ phương là:

(3; −2)

Một vectơ pháp tuyến là:

(2; 3)

Bước 3. Lập phương trình đường thẳng

Sử dụng công thức:

A(x − x₀) + B(y − y₀) = 0

với:

• (x₀; y₀) là điểm A.
• (A; B) là vectơ pháp tuyến.

Ta được:

2(x + 2) + 3(y − 3) = 0

Bước 4. Thu gọn phương trình

Khai triển và rút gọn:

2x + 4 + 3y − 9 = 0

Hay:

2x + 3y − 5 = 0

Đây chính là phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm đã cho.

Một cách làm khác

Nếu học sinh đã quen với hàm số bậc nhất và hai điểm không có cùng hoành độ thì cũng có thể thực hiện theo các bước sau:

• Gọi phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b.
• Thay tọa độ của hai điểm vào phương trình.
• Lập hệ hai phương trình với hai ẩn a và b.
• Giải hệ để tìm a và b.
• Viết phương trình cuối cùng.

Ví dụ:

Cho A(1; −1), B(2; −4).

Gọi:

y = ax + b

Thay tọa độ hai điểm:

a + b = −1

2a + b = −4

Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất:

a = −3

Thay ngược lại:

b = 2

Vậy phương trình đường thẳng là:

y = −3x + 2

Phương pháp này đơn giản, dễ hiểu nhưng chỉ áp dụng khi đường thẳng không song song với trục tung.

4. Các dạng phương trình đường thẳng thường gặp: Tổng quát, tham số và chính tắc

Trong hình học giải tích, cùng một đường thẳng có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng phương trình khác nhau. Mỗi dạng đều có ưu điểm riêng và phù hợp với từng nhóm bài toán.

Phương trình tổng quát

Đây là dạng được sử dụng nhiều nhất trong chương trình THPT.

Có dạng:

Ax + By + C = 0

trong đó A và B không đồng thời bằng 0.

Muốn viết phương trình tổng quát, cần biết:

• một điểm thuộc đường thẳng;
• một vectơ pháp tuyến.

Ưu điểm của dạng tổng quát là thuận tiện khi:

• xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng;
• tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng;
• xác định góc giữa các đường thẳng;
• giải các bài toán hình học tọa độ.

Phương trình tham số

Phương trình tham số được thiết lập khi biết:

• một điểm thuộc đường thẳng;
• một vectơ chỉ phương.

Có dạng:

x = x₀ + at

y = y₀ + bt

trong đó t là tham số thực.

Dạng này mô tả sự chuyển động của một điểm trên đường thẳng khi tham số thay đổi. Vì vậy, phương trình tham số thường xuất hiện trong các bài toán về chuyển động, vectơ và quỹ đạo.

Nếu đường thẳng đi qua hai điểm A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂), ta có:

x = x₁ + (x₂ − x₁)t

y = y₁ + (y₂ − y₁)t

Phương trình chính tắc

Từ phương trình tham số có thể khử tham số để thu được phương trình chính tắc:

(x − x₀)/a = (y − y₀)/b

trong đó (a; b) là vectơ chỉ phương.

Nếu đường thẳng đi qua hai điểm A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂), phương trình chính tắc được viết:

(x − x₁)/(x₂ − x₁) = (y − y₁)/(y₂ − y₁)

Điều kiện để sử dụng dạng này là:

• x₁ khác x₂;
• y₁ khác y₂.

Nếu hai điểm có cùng hoành độ hoặc cùng tung độ thì phương trình chính tắc không còn phù hợp và cần chuyển sang dạng tổng quát.

Khi nào nên sử dụng từng dạng?

• Phương trình tổng quát: phù hợp với hầu hết các bài toán hình học giải tích, đặc biệt là các bài toán tính khoảng cách, góc và xét vị trí tương đối.
• Phương trình tham số: thuận lợi khi đề bài cho vectơ chỉ phương hoặc yêu cầu mô tả chuyển động của điểm trên đường thẳng.
• Phương trình chính tắc: giúp giải nhanh các bài toán liên quan đến tỉ lệ tọa độ hoặc giao điểm, nhưng cần chú ý điều kiện mẫu số khác 0.

Việc nhận biết ưu điểm của từng dạng phương trình sẽ giúp học sinh lựa chọn cách giải ngắn gọn, chính xác và phù hợp với từng bài toán cụ thể.

5. Giải bài toán viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm số

Bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là một dạng toán vận dụng thường gặp trong chương trình Toán THPT, đặc biệt ở các đề thi tốt nghiệp và tuyển sinh. Dạng toán này kết hợp kiến thức về đạo hàm, cực trị và hình học giải tích, đòi hỏi học sinh biết liên hệ giữa các chuyên đề để tìm lời giải ngắn gọn.

Điều kiện để đồ thị có hai điểm cực trị

Xét hàm số bậc ba:

y = ax³ + bx² + cx + d (a khác 0)

Muốn đồ thị có hai điểm cực trị thì phương trình đạo hàm:

y' = 3ax² + 2bx + c

phải có hai nghiệm phân biệt.

Nói cách khác, biệt thức của phương trình đạo hàm phải dương.

Nếu điều kiện này không được thỏa mãn thì đồ thị không tồn tại hai điểm cực trị, vì vậy bài toán viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị không có ý nghĩa.

Đây là bước đầu tiên cần kiểm tra trước khi bắt đầu tính toán.

Các bước giải bài toán

Để giải dạng toán này, học sinh nên thực hiện theo trình tự sau.

Bước 1. Tính đạo hàm của hàm số.

Bước 2. Giải phương trình y' = 0 để tìm hoành độ hai điểm cực trị.

Bước 3. Thay các nghiệm vừa tìm vào hàm số để xác định tọa độ hai điểm cực trị.

Bước 4. Sau khi đã có hai điểm cực trị, áp dụng cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đã học để lập phương trình cần tìm.

Đây là phương pháp tổng quát, phù hợp với mọi bài toán trong chương trình phổ thông.

Phương pháp rút gọn thường gặp

Đối với những bài toán có nhiều tham số hoặc yêu cầu tính nhanh, giáo viên thường hướng dẫn sử dụng tính chất của phép chia đa thức.

Khi chia hàm số cho đạo hàm của nó, phần dư luôn là một biểu thức bậc nhất. Chính biểu thức này là phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

Cách làm này giúp giảm đáng kể khối lượng tính toán, đặc biệt trong các bài toán trắc nghiệm hoặc bài toán có chứa tham số.

Tuy nhiên, học sinh chỉ nên sử dụng phương pháp này khi đã nắm vững bản chất của bài toán và được học trong các chuyên đề nâng cao.

Ví dụ minh họa

Cho hàm số:

y = x³ − 3x + 1

Giải:

Ta có:

y' = 3x² − 3

Giải phương trình:

3x² − 3 = 0

Suy ra:

x = −1 hoặc x = 1.

Khi đó:

Điểm cực trị thứ nhất là:

A(−1; 3)

Điểm cực trị thứ hai là:

B(1; −1)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là:

(2; −4)

Có thể rút gọn thành:

(1; −2)

Một vectơ pháp tuyến là:

(2; 1)

Phương trình đường thẳng qua A là:

2(x + 1) + (y − 3) = 0

Thu gọn được:

2x + y − 1 = 0.

Qua ví dụ này có thể thấy rằng sau khi xác định được tọa độ hai điểm cực trị, bài toán hoàn toàn trở về dạng viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm quen thuộc.

6. Những lưu ý quan trọng và sai lầm thường gặp khi lập phương trình đường thẳng

Trong quá trình học hình học giải tích, nhiều học sinh nắm được công thức nhưng vẫn mất điểm do những lỗi tưởng như rất đơn giản. Việc nhận biết và tránh các sai lầm này sẽ giúp bài làm chính xác hơn.

- Nhầm lẫn giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

Đây là lỗi phổ biến nhất.

Nhiều học sinh tính đúng vectơ chỉ phương nhưng lại sử dụng ngay các tọa độ của vectơ này làm hệ số trong phương trình tổng quát.

Cần nhớ rằng:

• Vectơ chỉ phương song song với đường thẳng.
• Vectơ pháp tuyến vuông góc với đường thẳng.

Muốn chuyển từ vectơ chỉ phương sang vectơ pháp tuyến, cần đổi chỗ hai tọa độ và đổi dấu một tọa độ.

- Không kiểm tra hai điểm có phân biệt hay không

Muốn xác định một đường thẳng duy nhất thì hai điểm phải khác nhau.

Nếu hai điểm trùng nhau thì có vô số đường thẳng đi qua điểm đó và đề bài không đủ dữ kiện để xác định phương trình.

Vì vậy, trước khi tính toán cần kiểm tra hai điểm đã cho có thực sự phân biệt hay không.

- Áp dụng máy móc dạng y = ax + b

Không phải mọi đường thẳng đều viết được dưới dạng:

y = ax + b.

Nếu hai điểm có cùng hoành độ thì đường thẳng song song với trục tung và phương trình đúng phải là:

x = m.

Trong trường hợp này, hệ số góc không tồn tại nên không thể sử dụng dạng hàm số bậc nhất.

- Viết phương trình chính tắc khi không đủ điều kiện

Phương trình chính tắc chỉ áp dụng khi:

• hiệu hoành độ khác 0;
• hiệu tung độ khác 0.

Nếu một trong hai hiệu bằng 0 thì mẫu số sẽ bằng 0 và phương trình không còn hợp lệ.

Do đó, cần kiểm tra điều kiện trước khi sử dụng dạng phương trình này.

- Không rút gọn phương trình cuối cùng

Sau khi lập phương trình, nhiều học sinh dừng lại ngay mà không khai triển hoặc rút gọn.

Trong các bài kiểm tra và bài thi, phương trình nên được đưa về dạng chuẩn:

Ax + By + C = 0

để thuận tiện cho việc đối chiếu đáp án và thực hiện các phép tính tiếp theo.

- Bỏ qua điều kiện tồn tại hai điểm cực trị

Đối với bài toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc ba, cần kiểm tra trước xem đồ thị có thực sự có hai điểm cực trị hay không.

Nếu không thực hiện bước này, học sinh có thể tìm được kết quả đại số nhưng lại không thỏa mãn điều kiện của bài toán.

7. Bài tập viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Bài 1: Cho hàm số y =  Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = -4x + 1

Bài 2: Cho đường thẳng AB với A(-2, 3) và B(4, -1). Hãy tìm phương trình tổng quát của đường thẳng AB.

Bài 3: Cho phương trình tổng quát của đường thẳng là 2x - 3y + 6 = 0. Tìm vị trí của các điểm cắt của đường thẳng với trục hoành và trục tung.

Bài 4: Cho Parabol (P): y =. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B biết A và B là hai điểm thuộc (P) và có hoành độ lần lượt là 1 và 2.

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A ( -2; 0; 3) và B (1; 1; 5). Tìm mệnh đề sai?

A. Phương trình tham số của d là:  Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiể

B. Phương trình chính tắc của d là:  Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

C. Đường thẳng d đi qua điểm H( - 5; -1; 1)

D. Đường thẳng d đi qua điểm K( -11; -3; -3)

Bài 6: Cho tam giác ABC có A(2; -1; 3), B(0; 5; 3), C(2; 1; 4). Chọn mệnh đề sai về phương trình đường trung tuyến CN

A. Phương trình tham số của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

B. Phương trình chính tắc của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

C. Phương trình tham số của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

D. Phương trình chính tắc của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0;0) và A(-1; 2; -4)?

A. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

B. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

C. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

D. Tất cả sai

Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A (2; 3; 5); B ( 0; -1; -3) và C ( 4; -1; -3). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Viết phương trình đường thẳng MN?

A. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

B. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

C. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

D. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

3. Hướng dẫn giải bài tập viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm               

Lời giải chi tiết:         

Bài 1.

Cách giải:

Ta có :  Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

Hàm số có hai cực trị =>  > 0 => m khác 3

Để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = -4 x+1 thì hệ số góc của đường thẳng đó phải bằng -4

Áp dụng công thức tính nhanh ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :

 Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

Bài 2.

Để tìm phương trình tổng quát của đường thẳng, ta có thể sử dụng hệ số góc của đường thẳng:

Độ dốc của đường thẳng AB: m =  =  = -0.5

Vì A(-2, 3) là một điểm trên đường thẳng AB, ta có thể sử dụng điểm này để tìm hệ số b của đường thẳng: 

y = mx + b => 3 = -0.5 (-2) + b => b = 2

Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là: y = -0.5x + 2, hoặc có thể viết lại dưới dạng tổng quát: 0.5x + y - 2 = 0.

Bài 3

Để tìm vị trí của điểm cắt trục hoành và trục tung, ta có thể đặt x = 0 và y = 0 tương ứng vào phương trình tổng quát của đường thẳng:

Điểm cắt trục tung: x = 0, 2x - 3y + 6 = 0 => y = 2

Điểm cắt trục hoành: y = 0, 2x - 3y + 6 = 0 => x = 3

Vậy đường thẳng có điểm cắt trục tung là (0, 2) và điểm cắt trục hoành là (3, 0).

Bài 4:

Với bài toán này chúng ta chưa biết được tọa độ của A và B là như nào. Tuy nhiên bài toán lại cho A và B thuộc (P) và có hoành độ rồi. Chúng ta cần đi tìm tung độ của điểm A và B là xong.

Tìm tọa độ của A và B:

Vì A có hoành độ bằng -1 và thuộc (P) nên ta có tung độ y =  => A (1; −1

Vì B có hoành độ bằng 2 và thuộc (P) nên ta có tung độ y = => B (2; −4)

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng d: y = ax+b. Vì đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên ta có:

- 1 = 1.a + b; - 4 = a.2 + b => a = -3; b = 2

Thay a = -3 và b = 2 vào phương trình đường thẳng d thì d là: y = −3x + 2 Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B là: y = −3x + 2

Bài 5: 

Ta có:  Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

Đường thẳng d đi qua A và B nên vectơ chỉ phương của d là u→= Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

Vậy phương trình tham số của d là:  Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

Phương trình chính tắc của d là:  Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

Cho t = - 1 ta được điểm H ( -5; -1; 1) thuộc đường thẳng d.

Cho t = -3 ta được điểm M ( -11;- 3; - 3) thuộc đường thẳng d

Chọn A.

Bài 6:

Trung điểm A của AB là N(1;2 ;3)

 Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu=>vectơ chỉ phương của CN là u→  =(1; -1;1)

Vậy phương trình tham số của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

Phương trình chính tắc của CN là:  Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

Do vecto u→ (-1;1; -1)là vecto chỉ phương của đường thẳng CN nên vecto v→ (-1; 1; -1) cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng CN.

=> Đường thẳng CN cũng có phương trình chính tắc là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

Chọn D

Bài 7:

Đường thẳng OA đi qua hai điểm O và A nên có vectơ chỉ phương  Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

Vậy phương trình chính tắc của AB là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

Chọn B

Bài 8:

 + Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

 Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu => M( 1; 1; 1).

+ Tương tự do N là trung điểm của AC nên tọa độ N ( 3; 1; 1)

+ Đường thẳng MN đi qua M(1; 1; 1) và có vecto chỉ phương  Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu làm vecto chỉ phươn

=> Phương trình tham số của đường thẳng d: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu

Đường thẳng d không có phương trình chính tắc.

Chọn A.

8. Giải đáp thắc mắc thường gặp về phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Có thể viết một đường thẳng theo nhiều dạng phương trình khác nhau không?

Có. Một đường thẳng có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng như phương trình tổng quát, phương trình tham số, phương trình chính tắc hoặc phương trình theo hệ số góc. Mặc dù hình thức biểu diễn khác nhau nhưng tất cả đều mô tả cùng một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.

Khi nào nên sử dụng phương trình tổng quát?

Phương trình tổng quát là dạng được sử dụng nhiều nhất trong chương trình THPT vì có thể áp dụng cho mọi đường thẳng, kể cả đường thẳng song song với trục tung hoặc trục hoành. Dạng này cũng rất thuận tiện khi tính khoảng cách, xét vị trí tương đối và giải các bài toán hình học giải tích.

Có thể viết được bao nhiêu phương trình tham số của cùng một đường thẳng?

Có vô số phương trình tham số.

Nguyên nhân là có thể chọn bất kỳ điểm nào trên đường thẳng làm điểm đi qua và cũng có thể chọn bất kỳ vectơ chỉ phương nào cùng phương với đường thẳng. Tuy hình thức khác nhau nhưng tất cả đều biểu diễn cùng một tập hợp điểm.

Khi nào không thể viết phương trình theo dạng y = ax + b?

Điều này xảy ra khi đường thẳng song song với trục tung, tức là hai điểm có cùng hoành độ.

Lúc đó hệ số góc không xác định và phương trình đúng của đường thẳng là:

x = m.

Làm thế nào để kiểm tra phương trình vừa lập có đúng hay không?

Cách đơn giản nhất là thay tọa độ của hai điểm đã cho vào phương trình.

Nếu cả hai điểm đều thỏa mãn phương trình thì kết quả là chính xác.

Ngoài ra, có thể kiểm tra xem vectơ pháp tuyến của phương trình có vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng hay không.

Khi giải bài toán qua hai điểm cực trị, có nhất thiết phải tìm tọa độ hai điểm không?

Không phải lúc nào cũng cần.

Đối với các bài toán cơ bản, việc tìm tọa độ hai điểm cực trị rồi lập phương trình là cách làm dễ hiểu và phù hợp với chương trình THPT.

Trong các bài toán nâng cao hoặc bài toán có tham số, có thể sử dụng phương pháp chia đa thức hoặc các công thức rút gọn để xác định trực tiếp phương trình đường thẳng mà không cần tính riêng từng điểm cực trị. Tuy nhiên, học sinh nên nắm vững phương pháp cơ bản trước khi học các kỹ thuật giải nhanh.

Bên cạnh đó, quý bạn đọc cũng có thể xem thêm một số nội dung khác liên quan đến phương trình đường thẳng như:

• Các công thức về phương trình đường thẳng lớp 10 đầy đủ nhất
• Các dạng bài tập về phương trình đường thẳng và cách giải dễ hiểu
• Lý thuyết Phương trình đường thẳng