Mục lục bài viết

A. Lí thuyết tổng hợp

1. Các vectơ của đường thẳng:

+) Vectơ chỉ phương: Vectơ \underset{u}{\rightarrow}được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta nếu \underset{u}{\rightarrow} khác 0 và giá của song song hoặc trùng với \Delta.

+) +) Vectơ pháp tuyến: Vectơ \underset{n}{\rightarrow}được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta nếu\underset{n}{\rightarrow} khác 0 và vuông góc với vectơ chỉ phương của \Delta.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương hoặc một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

- Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương, vô số vectơ pháp tuyến. 

 

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng: 

+) Định nghĩa: Phương trình \Delta: ax + by + c = 0 (a^{2} + b^{2} khác 0) là phương trình tổng quát của đường thẳng \Delta nhận \underset{n}{\rightarrow} (a;b) làm vectơ pháp tuyến.

+) Các dạng đặc biệt:

 \Delta:  ax + c = 0 , a khác 0 => \Delta song song với Oy hoặc trùng với Oy khi a = 1 và c = 0.

 \Delta: ay + c = 0 , a khác 0 => \Deltasong song với Ox hoặc trùng với Ox khi a = 1 và c = 0.

\Delta: ax + by = 0 ,a^{2} + b^{2} khác 0 => \Delta đi qua gốc tọa độ O(0; 0)

 

3. Phương trình tham số của đường thẳng: 

+) Định nghĩa: Hệ \left\{\begin{matrix} x = x_{o }+ at\\ y = y_{o} + bt \end{matrix}\right.  với a^{2} + b^{2} khác 0  là phương trình tham số của đường thẳng \Delta đi qua điểm A(x0;y0) và nhận vectơ \underset{u}{\rightarrow}(a;b) làm vectơ chỉ phương, với t là tham số.

+) Chú ý:

Với mỗi t thuộc R thay vào phương trình tham số ta được một điểm M (x; y) thuộc \Delta

Một đường thẳng có vô số phương trình tham số. 

Phương trình chính tắc: \frac{x - x_{o}}{a} = \frac{y - y_{o}}{b} với (a.b khác 0) là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0) và nhận vectơ \underset{u}{\rightarrow}(a;b) làm vectơ chỉ phương

Phương trình đoạn chắn: Đường thẳng \Delta cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại hai điểm A (a; 0), B (0; b) với a.b#0 có phương trình đoạn chắn là \frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1

 

4. Hệ số góc: 

Phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm M(x0;y0) có hệ số góc k thỏa mãn: y - y0 = k(x - x0)

+ Nếu \Deltacó vectơ chỉ phương \underset{u}{\rightarrow} ( u1; u2) vưới u1 khác o thì hệ số góc của \Delta là k = u2 : u1

+ Nếu \Delta có hệ số  góc k thì \Delta có vecto chỉ phương \underset{u}{\rightarrow}( 1;k)

 

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: 

+) Xét hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0 

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình: 

\left\{\begin{matrix} a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0\\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0 \end{matrix}\right. (1)

Ta có các trường hợp sau: 

TH1: Hệ (1) có duy nhất một nghiệm (x0;y0) Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết d1\cap d2 tại M(x0;y0)

TH2: Hệ (1) có vô số nghiệm => d1 trùng với d2

TH3: Hệ (1) vô nghiệm =>  d1//d2

+) Chú ý: Với a2, b2, c2 #0 ta có:

d1\cap d2 <=> \frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}

d1 // d2 <=> \frac{a_{1}}{a_{2}} =\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c1}{c2}

d1\equiv d2 <=> \frac{a_{1}}{a_{2}} =\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c1}{c2}

 

B. Các dạng bài tập về phương trình đường thẳng và cách giải dễ hiểu

Dạng 1: Cách viết các dạng phương trình đường thẳng

Phương pháp giải:

a) Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng \Delta

+ Tìm vectơ pháp tuyến \underset{n}{\rightarrow}(a;b) của đường thẳng \Delta

+ Tìm một điểm M(x0;y0) thuộc \Delta

+ Viết phương trình theo công thức: a(x - x0) + b(y - y0) = 0

+ Biến đổi thành dạng ax + by + c = 0

Nếu đường thẳng  \Delta song song với đường thẳng \Delta2  : ax + by + c = 0 thì Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiếtcó phương trình tổng quát ax + by + c’ = 0, c ≠ c’.

Nếu đường thẳng  \Delta vuông góc với đường thẳng \Delta2  : ax + by + c = 0 thì Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết có phương trình tổng quát -bx + ay + c’ = 0, c ≠ c’.

b) Cách viết phương trình tham số của đường thẳng

+ Tìm vectơ chỉ phương\underset{u}{\rightarrow} ( u1; u2) của đường thẳng \Delta

+ Tìm một điểm M(x0;y0) thuộc \Delta

+ Viết phương trình tham số:  \left\{\begin{matrix} x = x_o + u_1 t\\ y = y_o + u_2 t \end{matrix}\right.

Nếu \Delta có hệ số góc k thì \Delta có vectơ chỉ phương \underset{u}{\rightarrow} ( 1; k) 

Nếu \Delta có vecto pháp tuyến \underset{n}{\rightarrow}(a;b) thì \Delta có vecto chỉ phương \underset{u}{\rightarrow} = (-b;a) hoặc \underset{u}{\rightarrow} = (b;a) và ngược lại

c,  Cách viết phương trình chính tắc của đường thẳng \Delta . (chỉ áp dụng khi có vectơ chỉ phương \underset{u}{\rightarrow} = (a;b) với a.b khác 0

+ Tìm vectơ chỉ phương  \underset{u}{\rightarrow} (a;b)  (a.b khác 0) của đường thẳng \Delta

+ Tìm một điểm M(x0;y0) thuộc \Delta

+ viết Phương trình chính tắc: \frac{x - x_{o}}{a} = \frac{y - y_{o}}{b}

d) Cách viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng \Delta (chỉ áp dụng khi đường thẳng cắt hai trục Ox, Oy)

+ Tìm hai giao điểm của \Delta với trục Ox, Oy lần lượt là A(a; 0), B(0; b)

+ Viết phương trình đoạn chắn \frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1 với a.b khác 0

Ví dụ minh họa:

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm M(5; 8) và N(3; 1). Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d. 

Lời giải:

Vì M(5; 8) và N(3; 1) thuộc đường thẳng d nên ta có \underset{MN}{\rightarrow}  là  à vectơ chỉ phương của đường thẳng d, có \underset{MN}{\rightarrow}= (3 – 5; 1 – 8) = (-2; -7)

Chọn điểm N(3; 1) thuộc đường thẳng d ta có phương trình tham số của đường thẳng d: \left\{\begin{matrix} x = 3 - 2t \\ y = 1- 7t \end{matrix}\right.

Chọn điểm M(5; 8) thuộc đường thẳng d ta có phương trình chính tắc của đường thẳng d:  \frac{x-5}{-2} = \frac{y -8}{-7}

 

Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Phương pháp giải: 

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

Phương pháp giải: 

Áp dụng lí thuyết về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0 

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình: 

\left\{\begin{matrix} a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0\\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0 \end{matrix}\right. (1)

Với a2, b2, c2 khác 0 ta có:

d1\cap d2 <=> \frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}

d1 // d2 <=> \frac{a_{1}}{a_{2}} =\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c1}{c2}

d1\equiv d2 <=> \frac{a_{1}}{a_{2}} =\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c1}{c2}

Ví dụ minh họa:

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

a) d1: 4x - 10y + 1 = 0 và d2 : x + y + 2 = 0.

b) d3: 12x - 6y + 10 = 0 và d4 : 2x - y + 5 = 0.

c) d5: 8x + 10y - 12 = 0 và d6 : 4x + 5y - 6 = 0.

Lời giải:

a) Xét hai đường thẳng d1: 4x - 10y + 1 = 0 và d2 : x + y + 2 = 0 có: 4 khác -10 nên d1 và d2 cắt nhau

b,  Xét hai đường thẳng d3: 12x - 6y + 10 = 0 và d4 : 2x - y + 5 = 0 có \frac{12}{2} = 6 và \frac{10}{5} = 2 => d3 và d4 song song với nhau

c) Xét  hai đường thẳng d5: 8x + 10y - 12 = 0 và d6 : 4x + 5y - 6 = 0 có: \frac{8}{4} = 2 => d5 và d6 trùng nhau.

 

Dạng 3: Tính góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp giải:

Áp dụng lí thuyết về góc giữa hai đường thẳng: 

- Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 có vectơ pháp tuyến \underset{n1}{\rightarrow} và d2: a2x + b2y + c2 = 0  có vectơ pháp tuyến \underset{n2}{\rightarrow} với a_1^{2} +b_1^{2} khác 0 và a_2^{2} +b_2^{2} khác 0  , góc giữa hai đường thẳng được kí hiệu là (d1,d2), (d1,d2) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ. Đặt alpha = (d1; d1) ta có: 

Các dạng bài tập về phương trình đường thẳng và cách giải dễ hiểu

 

Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp giải:

Áp dụng lí thuyết về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng \Delta  có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M(x0;y0) . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \Delta được kí hiệu là d (M,\Delta). tính bằng công thức:

Các dạng bài tập về phương trình đường thẳng và cách giải dễ hiểu

 

C. Bài tập vận dụng liên quan

Bài 1: Cho tam giác ABC có đỉnh C (-2; -4) và trọng tâm G(0;4) . Hãy viết phương trình đường thẳng AB biết rằng M (2;2) là trung điểm của cạnh BC

Bài 2: Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số: \left\{\begin{matrix} x = 1 + 2t\\ y = -3-t \end{matrix}\right.

a) Viết phương trình tổng quát của Δ;

b) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M (2;3) và song song với Δ;

c) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng l đi qua điểm N (4;2) và vuông góc với Δ.

Bải 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x - y = 0 và d2: 2x + y -1 = 0.Tính diện tích của hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đinh C thuộc d1 và các điểm B, D nằm trên trục hoành.

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, biết các đường thẳng AB, BC, CD, DA tương ứng đi qua M(10;3), N(7;-2), P (-3;4), Q (4;-7). Phương trình đường thẳng AB là?

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê, hy vọng bài viết trên đã mang đến thông tin hữu ích cho bạn đọc, giúp bạn nắm chắc được kiến thức về nội dung Phương trình đường thẳng, từ đó giải quyết tốt các bài tập vận dụng liên quan, Luật Minh Khuê xin trân trọng cảm ơn!