Mục lục bài viết

1. Kiến thức cần nhớ về phương trình đường thẳng
1.1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng
1.2. Phương trình tham số của đường thẳng
1.3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
1.4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
1.5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
1.6. Góc giữa hai đường thẳng
1.7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
2. Tổng hợp các công thức cụ thể về phương trình đường thẳng
3. Phương pháp giải các dạng bài tập phương trình đường thẳng
3.1. Dạng 1. Cách viết các dạng phương trình đường thẳng
3.2. Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

1. Kiến thức cần nhớ về phương trình đường thẳng

1.1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Lý thuyết Phương trình đường thẳng

a) Định nghĩa: Vecto $\vec{u}$ là một vecto chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ thì $k \vec{u}$ ( k khác 0) cũng là một vecto chỉ phương của $\Delta$ .

b) Nhận xét:

+ Nếu $\vec{u}$ là một vecto chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ thì $k\vec{u}$ ( k khác 0) cũng là một vecto chỉ phương của $\Delta$ .Do đó một đường thẳng có vô số vecto chỉ phương.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vecto chỉ phương của đường thẳng đó.

1.2. Phương trình tham số của đường thẳng

a) Định nghĩa:

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm M₀ (x₀; y₀) và nhận $\vec{u} = (u1; u2)$ làm vecto chỉ phương. Với mỗi điểm M(x;y) bất kì trong mặt phẳng, ta có $\vec{M_{0}M}$ = (x - x0; y - y0). Khi đó:

$M\epsilon \Delta$ $M\epsilon \Delta \Leftrightarrow \vec{M_{0}M}$ cùng phương với $\vec{u}\Leftrightarrow \vec{M_{0}M} = t\vec{ u}$

Lý thuyết Phương trình đường thẳng

$\Leftrightarrow \begin{cases} x - x_{0}= tu_{_{1}}\\ y - y_{0}= tu_{2} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x =x _{0}+ tu_{_{1}}\\ y = y_{0}+ tu_{2} \end{cases} (1)$

Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ , trong đó t là tham số.

Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng $\Delta$ .

b) Liên hệ giữa vecto chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số:

$\Leftrightarrow \begin{cases} x =x _{0} + tu_{_{1}}\\ y = y_{0}+ tu_{2} \end{cases}$

Nếu u1 khác 0 thì từ phương trình tham số của $\Delta$ ta có:

$\Leftrightarrow \begin{cases} t =\frac{x -x _{0}}{u1} \\ y-y_{0} = tu_{2} \end{cases}$

suy ra y - y0 - u2 / u1 (x -x0)

Đặt k = u2/ u1 ta được y - y0 = k (x - x0)

Lý thuyết Phương trình đường thẳng

Gọi A là giao điểm của $\Delta$ với trục hoành, Av là tia thuộc $\Delta$ ở nửa măt phẳng tọa độ phía trên (chứa tia Oy). Đặt $\alpha$ = $\widehat{x Av}$ , ta thấy $k = tan\alpha$ . Số k chính là hệ số góc của đường thẳng $\Delta$ mà ta đã biết ở lớp 9.

Như vậy, nếu đường thẳng $\Delta$ có vecto chỉ phương $\vec{u}$ = (u1; u2) với u1 khác 0 thì $\Delta$ có hệ số góc k = u2 / u1

1.3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

- Định nghĩa: Vecto $\vec{n}$ là một vecto pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ thì $k\vec{n}$ ( k khác 0) cũng là một vecto pháp tuyến của $\Delta$ . Do đó, một đường thẳng có vô số vecto pháp tuyến.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vecto pháp tuyến của nó.

1.4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận $\vec{n}$ (a;b) vecto pháp tuyến.

Với mỗi điểm M(x;y) bất kì thuộc mặt phẳng, ta có: $\overrightarrow{MoM}$ = ( x - x0; y - y0)

Khi đó M (x; y) $\epsilon \Delta$ <=> $\vec{n}\perp \overrightarrow{M0M}$

<=> a (x- x0) + b (y - y0) = 0

<=> ax + by + (- ax0 - by0) = 0

<=> ax + by + c = 0

với c = -ax0 - by0

Lý thuyết Phương trình đường thẳng

a) Định nghĩa:

Phương trình ax + by + c = 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng

b) Nhận xét: Nếu đường thẳng đenta có phương trình là ax + by + c = 0 thì đenta có vecto pháp tuyến là $\vec{n}$ = (a; b) và có vecto chỉ phương là $\vec{u}$ = (-b ; a).

1.5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng $\Delta 1$ và $\Delta 2$ có phương trình tổng quát lần lượt là:

a1x + b1y + c1 = 0

và a2x + b2y + c2 = 0

Tọa độ giao điểm của $\Delta 1$ và $\Delta 2$ là nghiệm của hệ phương trình

$\begin{cases} & \text{ } x= a1x + b1y + c1 = 0 \\ & \text{ } x= a2x + b2y + c2 = 0 \end{cases}(I)$

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (I) có một nghiệm (x0; y0), khi đó $\Delta 1$ cắt $\Delta 2$ tại điểm M (x0; y0)

b) Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó $\Delta 1$ trùng $\Delta 2$

c) Hệ (I) vô số nghiệm, khi đó $\Delta 1$ bằng $\Delta 2$ không có điểm chung, hay

$\Delta 1$ song song với $\Delta 2$

Ví dụ: cho đường thẳng d có phương trình x - y + 1 = 0, xét vị trí tương đối của d với mỗi đường thẳng sau:

$\Delta 1$ = 2x + y - 4 = 0

$\Delta 2$ = x - y - 1 = 0

$\Delta 3$ = 2x - 2y + 2 = 0

Giải:

+) Xét d và đenta 1, ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} & \text{} x - y + 1 = 0 \\ & \text{} 2x + y - 4 = 0 \end{cases}$

có nghiệm (1; 2)

Vậy d cắt denta 1 tại M (1; 2)

Lý thuyết Phương trình đường thẳng

b) Xét d và denta 2 ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} & \text{} x - y + 1 = 0 \\ & \text{} x - y - 1 = 0 \end{cases}$ vô nghiệm

Vậy d // đenta 2

Lý thuyết Phương trình đường thẳng

c) Xét d và denta 3, ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} & \text{} x - y + 1 = 0 (1) \\ & \text{} 2x - 2y + 2 = 0 (2)\end{cases}$

có vô số nghiệm (vì các hệ số của (1) và (2) tỉ lệ)

Vậy $d \equiv \Delta 3$

Lý thuyết Phương trình đường thẳng

1.6. Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng $\Delta 1$ và $\Delta 2$ cắt nhau tạo thành 4 góc. Nếu denta 1 không vuông góc với denta 2 thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng denta 1 và denta 2. Nếu denta 1 vuông góc với denta 2 thì ta nói góc giữa denta 1 và denta 2 bằng 90 độ. Trường hợp denta 1 và denta 2 song song hoặc trùng thì ta quy ước góc giữa denta 1 và denta 2 bằng 0 độ. Như vậy, góc giữa hai đường thẳng denta 1 và denta 1 được kí hiệu là $(\widehat{\Delta 1, \Delta 2})$ hoặc $(\Delta 1, \Delta 2)$ .

Cho hai đường thẳng:

$\Delta 1: a1x + b1y + c1 = 0$

$\Delta 2: a2x + b2y + c2 = 0$

Đặt $\varphi = (\widehat{\Delta 1, \Delta 2})$ thi ta thấy $\varphi$ bằng hoặc bù với góc giữa $\vec{n1}$ và $\vec{n2}$ trong đó $\vec{n1}$ , $\vec{n2}$ lần lượt là vecto pháp tuyến của $\Delta 1$ và $\Delta 2$ . Vì $\cos \varphi \geq 0$ nên suy ra

$\cos \varphi =\left |\cos (\vec{n1}, \vec{n2}) \right | = \frac{\left | \vec{n1}.\overrightarrow{n2} \right |}{\left | \vec{n1} \right |\left |\vec{n2 }\right |}$

Vậy: $\cos \varphi =\frac{\left | a1a2 + b1b2 \right |}{\sqrt{a1^{2}+ b1^{2}}\sqrt{a2^{2}+ b2^{2}}}$

Lý thuyết Phương trình đường thẳng

Chú ý:

denta 1 vuông góc denta 2 <=> vecto n1 vuông góc vecto n2 <=> a1a2 + b1b2 = 0

Nếu denta 1 và denta 2 có phương trình y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì denta 1 vuông góc denta 2 <=> k1.k2 = -1

1.7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng denta có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M0 (x0; y0). Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng denta, kí hiệu là $d (M0;\Delta )$ , được tính bởi công thức: $d (M0;\Delta ) = \frac{{\left | ax0 + by0 + c \right |}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Chứng minh :

Phương trình tham số của đường thẳng m đi qua M0(x0; y0) và vuông góc với đường thẳng denta là:

$\begin{cases} & \text{ } x= x0 + ta \\ & \text{ } x= y0 + tb \end{cases}$

Trong đó $\vec{n} (a;b)$ là vecto pháp tuyến của denta.

Lý thuyết Phương trình đường thẳng

Giao điểm H của đường thẳng m và denta ứng với giá trị của tham số là nghiệm t_H của phương trình:

a(x0 +ta) + b(y0+tb) + c = 0

Ta có: t _H= $-\frac{ax0 + by0 + c}{a^{2}+ b^{2}}$

Vậy điểm H = (x0 + t_Ha; y0 + t_Hb)

Từ đó suy ra $d(M0, \Delta ) = M_{0} H = \sqrt{(x_{H}- x_{0})^{2} + (y_{H} - y_{0})^{2}}$

= $\sqrt{(a^{2}+ b^{2})t^{2}_{H}$ = $\frac{ \left |ax0 + by0 + c \right |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

2. Tổng hợp các công thức cụ thể về phương trình đường thẳng

1) d đi qua M ( x0 ; y0 ) và VTPT $\vec{n}(a;b)$ có phương trình a( x - x0 ) + b ( y - y0 ) = 0

2) d đi qua M ( x0 ; y0 ) và VTCP $\vec{u}(a;b)$ => VTPT $\vec{n}(b;-a)$ có phương trình b ( x - x0 ) - a ( y - y0 ) = 0

3) d đi qua M (x0 ; y0 ) và hệ số góc k có phương trình y = k ( x - x0 ) + y0

4) d đi qua A ( a ; 0 ), B ( 0 ; b) có phương trình x / a + y / b = 1

Lý thuyết Phương trình đường thẳng

5) d // $\Delta$ : ax + by + c = 0 => Phương trình d: ax + by + m = 0 ( m khác c)

6) d $\perp \Delta$ : ax + by + c = 0 => Phương trình d: bx - ay + m = 0 (hoặc d: -bx + ay + m = 0

7) Cho M ( x0 ; y 0 ), $\Delta$ : ax + by + c = 0. Khoảng cách $d(M;\Delta) = \frac{\left | ax0 + by0 + c \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Lý thuyết Phương trình đường thẳng

8) Cho $\Delta 1$ : a1x + b1y + c1 = 0, $\Delta 2$ : a2x + b2y + c2 = 0. Công thức tính góc: $\cos (\widehat{\Delta 1;\Delta 2}) = \frac{\left | a1a2 + b1b2 \right |}{\sqrt{a1^{2}+ b1^{2}\sqrt{a2^{2}+ b2^{2}}}}$

9) M(x0; y0), $\Delta : ax + by + c = 0$ . Gọi M' là đối xứng của M qua đường thẳng $\Delta$ , tọa độ M' là nghiệm hệ:

$\begin{cases} & \text{ } \frac{x - x0}{a} = \frac{y - y0}{b}\\ & \text{ } a \frac{(x + x0)}{2} +b \left ( \frac{y + y0}{2}\right ) + c =0 \end{cases}$

Lý thuyết Phương trình đường thẳng

3. Phương pháp giải các dạng bài tập phương trình đường thẳng

3.1. Dạng 1. Cách viết các dạng phương trình đường thẳng

Phương pháp giải:

a) Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$

- Tìm vecto pháp tuyến $\vec{n } (a; b)$ của đường thẳng $\Delta$

- Tìm một điểm M(x0; y0) thuộc $\Delta$

- Viết phương trình theo công thức: a(x- x0) + b(y - y0) = 0

- Biến đổi thành dạng ax + by + c = 0

Nếu đường thẳng $\Delta$ 1 song song với đường thẳng $\Delta$ : ax + by + c = 0 thì $\Delta$ 1 có phương trình tổng quát: - bx + ay + c' = 0, c khác c'.

Nếu đường thẳng $\Delta$ 1 vuông góc với đường thẳng denta 2: ax + by + c = 0 thì có phương trình tổng quát: -bx + ay + c = 0 ( c khác c')

b) Cách viết phương trình tham số của đường thẳng

- Tìm vecto chỉ phương $\vec{u }$ = (u1; u2) của đường thẳng $\Delta$

- Tìm một điểm M(x0; y0) thuộc $\Delta$

- Viết phường trình tham số: $\begin{cases} & \text{ } x= x0 + u1t \\ & \text{ } y= y0 + u2t \end{cases}$

Nếu denta có hệ số góc k thì denta có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;k)$

Nếu denta có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (a;b)$ thì denta có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u} = (-b;a)$ hoặc $\overrightarrow{u} = (b;-a)$ và ngược lại.

c) Cách viết phương trình chính tắc của đường thẳng denta (chỉ áp dụng khi có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a;b)$ với a, b khác 0)

- Tìm vecto chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a;b)$ , ( a, b khác 0) của đường thẳng denta

- Tìm một điểm M(x0;y0) thuộc denta

- Viết phương trình chính tắc: $\frac{x - x0}{a} = \frac{y - y0}{b}$

d) Cách viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng denta (chỉ áp dụng khi đường thẳng cắt hai trục Ox, Oy)

- Tìm hai giao điểm denta với trục Ox, Oy lần lượt là: A(a; 0); B (0; b)

- Viết phương trình đoạn chắn x / a + y / b = 1 ( a, b khác 0)

3.2. Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Phương pháp giải: áp dụng lí thuyết về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c = 0 với a1² + b1² khác 0, a2² + b2² khác 0

Tọa độ giao điểm hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{cases} & \text{ }a1x + b1y + c1 = 0\\ & \text{ } a2x + b2y + c2= 0 \ \end{cases} (1)$