Mục lục bài viết

1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
4. Liên hệ giữa VTCP và VTPT
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
6. Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng.
7. Góc giữa hai đường thẳng.
8. Bài tập vận dụng liên quan

1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

+ Vectơ $\underset{n}{\rightarrow} \neq \underset{0}{\rightarrow}$ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của ∆ nếu giá của nó vuông góc với $\Delta$

Nhận xét : Nếu $\underset{n}{\rightarrow}$ là VTPT của $\Delta$ thì k. $\underset{n}{\rightarrow}$ (k khác 0) cũng là VTPT của $\Delta$ .

+ Trong mặt phẳng tọa độ; mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng:

ax + by + c = 0 với $a^{2}+b^{2} > 0$ + Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát:

- Đường thẳng by + c = 0 song song hoặc trùng với trục Ox.

- Đường thẳng ax + c = 0 song song hoặc trùng với trục Oy.

- Đường thẳng ax + by = 0 đi qua gốc tọa độ.

+ Đường thẳng có phương trình: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 (a\neq 0; b\neq 0 )$ đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b)

Phương trình trên được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

+ Xét đường thẳng $\Delta$ có phương trình tổng quát: ax + by + c= 0

Nếu b ≠ 0 thì phương trình trên được đưa về dạng: y= kx + m ( *)

Khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng $\Delta$ và ( *) gọi là phương trình của $\Delta$ theo hệ số góc.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng : $\Delta$ 1 = a1x + b1y + c1 = 0 ; $\Delta$ 2 = a2x + b2y + c2 = 0

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $\Delta$ 1 , $\Delta$ 2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0\\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0 \end{matrix}\right.$ (I)

Chú ý: Nếu $a_{2}b_{2}c_{2} \neq 0$ thì

$\Delta$ 1 cắt $\Delta$ 2 suy ra $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$

$\Delta$ 1 song song $\Delta$ 2 suy ra $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$

$\Delta$ 1 trùng $\Delta$ 2 suy ra $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua M0 (x0; y0) và $\underset{u}{\rightarrow}$ (a;b) (với a và b khác 0) là VTCP. Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

$\frac{x - x_{o}}{a} = \frac{y - y_{o}}{b}$ (2)

Phương trình ( 2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng.

Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.

4. Liên hệ giữa VTCP và VTPT

VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do đó nếu $\Delta$ có VTCP $\underset{u}{\rightarrow}$ (a;b) thì $\underset{n}{\rightarrow}$ (b; -a) là một VTVP của $\Delta$

5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Khoảng cách từ một điểm M(x0; y0) đến đường thẳng $\Delta$ : ax + by + c = 0 cho bởi công thức:

D(M; $\Delta$ ) = $\frac{|ax + by + c|}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}$

6. Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng.

Cho đường thẳng $\Delta$ : ax + by + c = 0 và hai điểm M(xM; yM); N(xN; yN) không nằm trên $\Delta$ Khi đó:

+ Hai điểm M và N cùng phía so với $\Delta$ khi và chỉ khi:

( axM + byM + c).( axN + byN + c) > 0.

+ Hai điểm M và N khác phía so với $\Delta$ khi và chỉ khi:

( axM + byM + c).(axN + byN + c) < 0.

7. Góc giữa hai đường thẳng.

+ Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b.

Khi a song song hoặc trùng với b, ta quy ước góc giữa chúng là 0 độ

Kí hiệu: (a;b)

+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90 độ nên ta có:

(a;b) = $(\underset{u}{\rightarrow}; \underset{v}{\rightarrow})$ nếu $(\underset{u}{\rightarrow}; \underset{v}{\rightarrow})$ nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ

(a;b) = 180 độ - $(\underset{u}{\rightarrow}; \underset{v}{\rightarrow})$ nếu $(\underset{u}{\rightarrow}; \underset{v}{\rightarrow})$ > 90 độ

Trong đó; u và v lần lượt là lần lượt là VTCP của a và b.

+ Góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ 1 và $\Delta$ 2 có VTPT $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$ (a1; b1) và $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$ = (a2; b2) được tính theo công thức:

Cos ( $\Delta$ 1; $\Delta$ 2) = cos ( $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$ ; $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$ )

8. Bài tập vận dụng liên quan

Bài 1: Cho đường thẳng d cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A(0; 5) và B(6; 0). Viết phương trình tổng quát và phương trình đoạn chắn của đường thẳng d.

Lời giải:

Vì A(0; 5) và B(6; 0) thuộc đường thẳng d nên ta có Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết= (6-0;0-5) = (6;-5)

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết Vectơ pháp tuyến của d là Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết (5;6)

Chọn điểm A(0; 5) thuộc đường thẳng d, ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d:

5.(x – 0) + 6.(y – 5) = 0

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết 5x + 6y – 30 = 0

Vì đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A(0; 5) và B(6; 0) nên ta có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{6} + \frac{y}{5} =1$

Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm M(5; 8) và N(3; 1). Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d.

Lời giải:

Vì M(5; 8) và N(3; 1) thuộc đường thẳng d nên ta có $\underset{MN}{\rightarrow}$ l à vectơ chỉ phương của đường thẳng d, có $\underset{MN}{\rightarrow}$ = (3 – 5; 1 – 8) = (-2; -7)

Chọn điểm N(3; 1) thuộc đường thẳng d ta có phương trình tham số của đường thẳng d: $\left\{\begin{matrix} X = 3 - 2t\\ y = 1- 7t \end{matrix}\right.$

Chọn điểm M(5; 8) thuộc đường thẳng d ta có phương trình chính tắc của đường thẳng d: $\frac{x-5}{-2} = \frac{y -8}{-7}$

Bài 3: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

a) d1: 4x - 10y + 1 = 0 và d2 : x + y + 2 = 0.

b) d3: 12x - 6y + 10 = 0 và d4 : 2x - y + 5 = 0.

c) d5: 8x + 10y - 12 = 0 và d6 : 4x + 5y - 6 = 0.

Lời giải:

a) Xét hai đường thẳng d1: 4x - 10y + 1 = 0 và d2 : x + y + 2 = 0 có: 4 khác 10 suy ra d1 và d2 cắt nhau

b) Xét hai đường thẳng d3: 12x - 6y + 10 = 0 và d4 : 2x - y + 5 = 0 có: $\frac{12}{2}$ = 6 khác $\frac{10}{5} =2$ suy ra d3 song song d4

C, c) Xét hai đường thẳng d5: 8x + 10y - 12 = 0 và d6 : 4x + 5y - 6 = 0 có: $\frac{8}{4 } =2$ suy ra d5 trùng d6

Bài 4: Cho điểm A (3; 6). Tìm khoảng cách từ A đến đường thẳng d: $\left\{\begin{matrix} X = 4-3t\\ y=7+2t \end{matrix}\right.$

Lời giải chi tiết:

Xét đường thẳng d: $\left\{\begin{matrix} X = 4-3t\\ y=7+2t \end{matrix}\right.$ ta có vectơ chỉ phương của d là $\underset{u}{\rightarrow}$ = (-3; 2)

vectơ pháp tuyến của d là $\underset{n}{\rightarrow}$ = (2; 3)

Chọn điểm M (4; 7) thuộc d ta có phương trình tổng quát của d là:

2.(x – 4) + 3.(y – 7) = 0

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết 2x – 8 + 3y – 21 = 0

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết 2x + 3y – 29 = 0

Khoảng cách từ A (3; 6) đến đường thẳng d là: d(A;d) = $\frac{5}{\sqrt{13}}$

Bài 5: Tìm bán kính của đường tròn tâm C(-2; -2) . Biết đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ : 5x + 12y -10 = 0.

Lời giải chi tiết:

Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ : 5x + 12y -10 = 0. nên ta có bán kính của đường tròn bằng khoảng từ tâm C đến đường thẳng $\Delta$ . Ta có:

R = d(C, $\Delta$ ) = $\frac{44}{13}$

Bài 6: Cho tam giác ABC có phương trình (AB): 2x - 3y − 1 = 0. Phương trình (BC): x + 3y + 7 = 0. Phương trình (AC): 5x − 2y + 1 = 0. Lập phương trình BH.

A. 6x + 5y + 37 = 0

B. 6x - 5y + 37 = 0

C. 6c + 5y - 37 = 0

D. 2x + 5y + 37 = 0

Đáp án: A. Phương trình BH: 6x + 5y + 37 = 0

Bài 7: Hình vuông ABCD có A(−1; 2). Phương trình (BD):x + y − 1 = 0. Lập phương trình 4 cạnh của hình vuông.

A. x + 1 = 0; y = 0; x − 3 = 0; y − 2 = 0

B. x + 1 =0; y = 0; x + 3 = 0;y + 2 = 0

C. x + 1 = 0; y = 0;x + 3 = 0;y − 2 = 0

D. x - 1 = 0; y = 0; x - 3 = 0; y - 2 = 0

Đáp án: C. x + 1 = 0; y = 0;x + 3 = 0;y − 2 = 0

Bài 8: Cho hai điểm A(1; 1); B(2; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) sao cho d(A; d) = 2 và d(B; d) = 4.

A. y + 1 = 0 và 4x − 3y + 3 = 0.

B. y + 1 = 0 và 4x + 3y − 3 = 0.

C. y + 1 = 0 và 2x + 3y + 3 = 0.

D. y + 1 = 0 và 4x + 3y + 3 = 0.

Đáp án: D. y + 1 = 0 và 4x + 3y + 3 = 0.

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê, hy vọng bài viết trên đã mang đến kiến thức hữu ích cho bạn đọc giúp bạn nắm vững lý thuyết , từ đó giải quyết tốt các bài tập vận dung liên quan. Luật Minh khuê xin trân trọng cảm ơn bạn đọc đã dành thời gian đón đọc!