Cách viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

1. Cách viết phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số xác định bởi hệ các hàm số của một hoặc nhiều biến độc lập gọi là các tham số. Phương trình tham số thường được sử dụng để biểu diễn các tọa độ của các điểm thuộc đối tượng hình học như đường cong hoặc bề mặt, mà khi đó các đối tượng này được gọi là biểu diễn theo tham số hoặc tham số hóa.

Ví dụ, phương trình: {x = cos t ; y = sin t} là dạng biểu diễn bằng tham số của đường tròn đơn vị, với t là tham số.

- Vecto chỉ phương

+ Cho đường thẳng d, vecto u khác vecto 0 gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu có giá song song hoặc trùng với d.

+ Vecto u là vecto chỉ phương của đường thẳng d thì k. vecto u cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d.

+ Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến vuông góc với nhau hay nói cách khác vecto chỉ phương của d là u (a, b) thì vecto pháp tuyến là n (-b; a)

- Các viết phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A (x0; y0) nhận u (a, b) làm vecto chỉ phương, Ta có:

B (x, y) thuộc d => AB = t. u => {x - x0 = at; y - y0 = bt} => {x = x0 + at; y = y0 + bt}, a2 + b2 khác 0, t thuộc R

Đường thẳng d đi qua điểm A(x0; y0), nhận u (a,b) là vecto chỉ phương, phương trình chính tắc của đường thẳng là (x - x0)/a = (y - y0)/b với (a; b ≠ 0)

=> M (x0 + at; y0 + at)

2. Cách viết phương trình chính tắc của đường thẳng

Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ ta cần xác định

- Điểm A (x0, y0) ∈ ∆

- Một vectơ chỉ phương u→(a; b), ab ≠ 0 của ∆ của Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là (x - x0)/a = (y - y0)/b (trường hợp ab = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc)

Chú ý:

- Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến.

- Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vecto chỉ phương của đường thẳng này là vecto pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại

- Nếu ∆ có vecto chỉ phương u→ = (a; b) thì n→ = (-b; a) là một vecto pháp tuyến của ∆ .

3. Một số bài tập viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

Bài 1: Cho điểm A (1; -3) và B (-2; 3). Viết phương trình tham số của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a. đường thẳng đi qua và nhận vectơ n (1; 2) làm vectơ pháp tuyến.

b. đường thẳng đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB

c. là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Hướng dẫn giải:

a. Vì đường thẳng nhận vectơ n (1; 2)làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của đường thẳng là u (-2; 1)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng là {x = 1 - 2t; y = -3 + t}

b. Ta có AB (-3; 6) mà đường thẳng song song với đường thẳng AB nên nhận u (-1; 2) làm vecto chỉ phương. Vậy phương trình tham số của đường thẳng là { x = -t; y = 2t}

c. Vì đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên nhận AB (-3; 6) làm vecto pháp tuyến và đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB

Ta có I (-1/2; 0) và đường thẳng nhận u (-1; 2) làm vecto chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng là { x = -1/2 - t; 2t}

Bài 2: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a. Phương trình đi qua điểm A (1; 2) nhận u (1; -1) làm vecto pháp tuyến.

b. Phương trình đi qua điểm B (0; 1) vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1.

c. Phương trình song song với đường thẳng 4x + 3y - 1 = 0 và đi qua điểm M ( 0, 1).

Hướng dẫn giải:

a. Gọi điểm M (x, y) thuộc d ta có: AM = t. u => {x - 1 = t; y - 2 = -t} => {x = 1 + t; y = 2 - t}

Phương trình chính tắc là: (x - 1)/1 = (y -2)/-1

b. Ta có đường thẳng y = 2x + 1 có vecto pháp tuyến n = (2; -1)

Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1 nên vecto háp tuyến n của y = 2x + 1 là vecto chỉ phương của d => n = u = (-2; 1)

Ta có phương trình tham số của d là: {x = 0 + 2t ; y = 1 - t}

Phương trình chính tắc của d là: x/-2 = (y - 1)/-1

c. Do d song song với đường thẳng 4x + 3y - 1 = 0 =>  Phương trình tham số của d là: {x = -3t; y = 1 + 4t}. Phương trình chính tắc của d là: x/-3 = (y - 1)/4

Bài 3: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a. Đường thẳng d đi qua 2 điểm A(-1;1), B(2; -1).

b. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng { x = 3t; y = 1 + 2t}

Hướng dẫn giải

a. Ta có đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B nên d nhận AB = (3; -2) làm vecto chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng d là: {x = -1 + 3t; y = 1 - 2t}

Phương trình chính tắc của đường thẳng là: (x + 1)/3 = (y - 1)/-2

b. Ta có d song song với u = (3; 2)

Phương trình tham số của đường thẳng d là: {x = 3t; y = 2t}

Phương trình chính tắc của d là: x/3 = y/2

Bài 3:  Cho 3 điểm A(-2; 1), B(-1; 5), C(-2; -3)

a. Viết phương trình tham số AB, AC.

b. Viết phương trình tham số đường trung trực cạnh BC.

c. Viết phương trình đường thẳng song song với AB và đi qua trung điểm của BC.

Hướng dẫn giải

a. Phương trình đường thẳng AB nhận AB = (1; 4) làm vecto pháp tuyến

Phương trình tham số AB là: {x = -2 + t; y = 1 + 4t} và phương trình chính tắc của d là: (x +  2)/1 = (y - 1)/4

Tương tự với đường thẳng AC có phương trình tham số là: { x = -2; y = -3 -4t}

b. Đường trung trực của BC đi qua trung điểm của BC và nhận BC = (-1; -8) làm vecto pháp tuyến. Vậy vecto chỉ phương của đường thẳng trung trực là u (8; -1)

Gọi M là trung điểm của BC khi đó: {x = (-1 - 2)/2 = -3/2 ; y = (5 - 3)/2 = 1}

Phương trình tham số đường trung trực BC là: {x = -3/2 + 8t; y = 1 - t}

c. Do đường thẳng d tìm song song với AB nên u = (1; 4)

Theo câu b, trung điểm của BC là M (-3/2; 1)

Vậy phương trình tham số của d là: {x = -3/2 + t; y = 1 + 4t}

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết

a) Đi qua 2 điểm A(-3,2), B (5,-4). Tính diện tích tam giác được tạo bởi đường thẳng và 2 trục tọa độ.

b) Đi qua A (3,1) song song với đường thẳng y = -2x + m -1

Hướng dẫn giải

a. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b Do phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B nên ta có: (a; b) = (-3/4; -1/4)

Vậy phương trình tổng quát cần tìm là y = -3/4x - 1/4

:b. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1 ⇒ a = -2

Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b

Mà đường thẳng qua điểm A(3; 1) ⇒ 1 = 3.(-2) + b ⇒ b = 7

Vậy phương trình tổng quát là: y = -2x + 7

Bài 5: Cho đường thẳng d đi qua điểm M (-2; 0) nhận vecto u→( 2; -3) làm vecto chỉ phương. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng chính tắc?

Lời giải

Đường thẳng d: qua M (-2; 0) và có vecto chỉ phương u (2; -3)

Phương trình chính tắc của đường thẳng d: (x + 2)/2 = y/3

Bài 6: Cho hai điểm A ( -2; 3) và B ( 4; 5). Gọi d là đường trung trực của AB. Viết phương trình đường thẳng d dạng chính tắc?

Lời giải:

Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên hai đường thẳng AB và d vuông góc với nhau.

⇒ Đường thẳng d nhận AB→( 6; 2) làm vecto pháp tuyến nên một vecto pháp tuyến của đường thẳng d là u→(1; -3) .

Gọi M là trung điểm của AB thì tọa độ M (1;4)

Đường thẳng d: qua M (1; 4) và có vecto chỉ phương u (1; -3)

⇒ Phương trình chính tắc của đường thẳng d: (x - 1)/1 = (y - 4)/-3

=> Bạn đọc có thể tham khảo thêm bài viết Tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau! vuông góc