1. Lý thuyết tổng hợp về xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

Hai đường thẳng d và d’ tạo nên các mối quan hệ tương đối đặc biệt như sau:

- Sự tương tự giữa d và d' dường như là một hình mẫu của tính tương tự và đồng nhất, giống như việc chúng di chuyển song song với nhau trong vũ trụ vô hạn của không gian, không bao giờ gặp nhau, tạo nên một sự thống nhất vô tận.

- Sự kết hợp độc đáo giữa d và d' tạo nên một sự giao thoa duy nhất, mà điểm giao điểm này không chỉ là một sự tương tác của dựng đường, mà còn là một điểm dừng chân của thời gian, là sự tổ hợp của hai hành trình riêng biệt.

- Điều đặc biệt về mối quan hệ giữa d và d' là sự hoàn hảo trong sự trùng hợp. Chúng không chỉ gặp nhau ở một số điểm cụ thể, mà thậm chí mọi điểm trên d và d' đều trùng khớp hoàn toàn, tạo ra một sự sáng tạo vô tận trong sự đồng nhất không gian.

- Nếu Vectơ tiến phát từ (VTPT) của một đường thẳng là Vectơ tiến công phụ (VTCP) của đường thẳng kia, thì hai đường thẳng đó tạo ra một góc vuông với nhau. Điều này đồng nghĩa với việc họ làm tương tác đặc biệt trong không gian, tạo ra một góc 90 độ đầy thú vị.

- Trong trường hợp mà hai VTCP (hoặc VTPT) không có hướng giống nhau và có tích vô hướng khác 0, điều này thể hiện sự cắt giao giữa hai đường thẳng độc lập. Họ gặp nhau tại một điểm duy nhất, nơi mà hai hướng khác nhau cùng hội tụ và tạo ra một sự kết nối độc đáo.

- Hãy tìm hiểu sâu hơn về cách tích vô hướng của hai vectơ a → (x; y) và b → (x'; y') có thể làm cho chúng vuông góc với nhau: Tích vô hướng của hai vectơ a → và b → được tính bằng công thức a →. b → = xx’ + yy’. Để đảm bảo rằng hai vectơ này vuông góc với nhau, điều kiện cần và đủ là xx’ + yy’ = 0.

Sự thỏa mãn của điều kiện này không chỉ là một phép toán toán học, mà còn là một hiện tượng đáng kỳ thú trong không gian. Nó cho thấy sự tương tác đặc biệt giữa hai vectơ, nơi tích vô hướng của họ trở thành một dấu hiệu của sự vuông góc hoàn hảo và đồng thời là một ví dụ rất đẹp về tương quan toán học trong toán học và hình học.

2. Cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

* Cách thứ nhất:

Hãy xem xét kỹ hơn về cách xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d':

- Trong trường hợp không phải đường thẳng đứng, tức là a1, b1 và c1 đều không bằng 0, chúng ta có thể mô tả vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d' như sau:

+ Nếu tỷ lệ giữa a2 và a1 bằng tỷ lệ giữa b2 và b1 và cũng bằng tỷ lệ giữa c2 và c1, tức là a2/a1 = b2/b1 = c2/c1, thì hai đường thẳng này trùng hướng với nhau. Trong ngôn ngữ hình học, chúng hoàn toàn trùng lên nhau, tạo ra một sự trùng khớp hoàn hảo và vô số điểm giao nhau.

+ Nếu tỷ lệ giữa a2 và a1 bằng tỷ lệ giữa b2 và b1, nhưng không bằng tỷ lệ giữa c2 và c1, tức là a2/a1 = b2/b1 ≠ c2/c1, thì hai đường thẳng này là song song với nhau. Chúng không bao giờ giao nhau và duy trì một khoảng cách không đổi giữa chúng trong không gian.

+ Trong trường hợp tỷ lệ giữa a2 và a1 không bằng tỷ lệ giữa b2 và b1, hai đường thẳng này có khác biệt về hướng và sẽ giao nhau tại một điểm duy nhất. Điều này tạo ra một điểm giao điểm độc đáo, nơi mà hai đường thẳng này tương tác một cách đặc biệt và tạo ra một sự kết nối độc đáo trong không gian.

Mối quan hệ này giúp chúng ta hiểu sâu hơn về cách hai đường thẳng có thể tương tác với nhau trong không gian và tạo ra các hiện tượng hình học đặc biệt.

* Cách thứ hai:

Hãy xem xét cẩn thận cách mà vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d' có thể được mô tả thông qua hệ phương trình sau đây:

- Đối với hai đường thẳng d: a1x + b1y + c1 = 0 và d': a2x + b2y + c2 = 0, ta có hệ phương trình (1):

+ Nếu hệ phương trình (1) có vô số nghiệm, điều này đồng nghĩa với việc d và d' hoàn toàn trùng lên nhau, tạo ra một sự trùng khớp vô hạn giữa chúng.

+ Nếu hệ phương trình (1) không có nghiệm nào, thì hai đường thẳng d và d' chạy song song với nhau và không có điểm chung nào.

+ Trường hợp thú vị xảy ra khi hệ phương trình (1) có một nghiệm duy nhất. Trong trường hợp này, d và d' cắt nhau tại một điểm duy nhất, và tọa độ của điểm này chính là nghiệm của hệ phương trình. Điều này tạo ra một sự tương tác đặc biệt và độc đáo giữa hai đường thẳng trong không gian.

3. Bài tập minh họa về xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: 3x – y + 2 = 0 và đường thẳng d’: 3x – y + 5 = 0.

=> Hãy tìm hiểu kỹ hơn về lời giải cho tình huống này. Khi xem xét hai đường thẳng d: 3x - y + 2 = 0 và d': 3x - y + 5 = 0, chúng ta có:

- So sánh hệ số góc của đường thẳng d (3) với hệ số góc của đường thẳng d' (3), ta thấy chúng bằng nhau (3/3 = 3/3), điều này tạo ra một tình huống đặc biệt.

- Tiếp tục so sánh hệ số hạng tự do của đường thẳng d (2) và của đường thẳng d' (5), ta thấy chúng khác nhau (2 ≠ 5).

Kết hợp hai quan sát trên, chúng ta thấy rằng hệ số góc của hai đường thẳng bằng nhau, nhưng hệ số hạng tự do của chúng không tương đương. Do đó, hai đường thẳng d và d' không song song với nhau, và họ cắt nhau tại một điểm duy nhất trong không gian.

Bài 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: 3x + 5y + 4 = 0 và đường thẳng d’: 6x + 10y + 8 = 0

=> Hãy xem xét chi tiết về cách lời giải mô tả tình huống này. Khi xem xét hai đường thẳng d: 3x + 5y + 4 = 0 và d': 6x + 10y + 8 = 0, chúng ta thực hiện một số so sánh quan trọng:

- So sánh hệ số góc của đường thẳng d (3/5) với hệ số góc của đường thẳng d' (6/10), ta thấy rằng cả hai bằng nhau (3/5 = 6/10).

- Tiếp theo, so sánh hệ số hạng tự do của đường thẳng d (4) và của đường thẳng d' (8), ta thấy chúng cũng bằng nhau (4 = 8).

Kết hợp cả hai so sánh trên, chúng ta nhận thấy rằng hệ số góc và hệ số hạng tự do của hai đường thẳng d và d' hoàn toàn tương đồng nhau. Do đó, hai đường thẳng này là hoàn toàn trùng nhau, tạo ra một sự trùng khớp đầy đặc biệt và đồng nhất trong không gian.

Bài 3: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix} x=2+4t & \\ y=2-8t & \end{matrix}\right. và d2: \left\{\begin{matrix} x=2-2t^{,} & \\ y=-8+4t^{,}& \end{matrix}\right. .

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

=> Hãy xem xét một cách chi tiết hơn về cách lời giải này được trình bày:

- Đường thẳng d1 có Vectơ Tiến Công Phụ (VTCP) u1 → với tọa độ (4; -8).

- Đường thẳng d2 có VTCP u2 → với tọa độ (-2; 4) và điểm B(2; -8) thuộc đường thẳng này.

- Để kiểm tra liệu điểm B có thuộc đường thẳng d1 hay không, chúng ta thay tọa độ của điểm B vào phương trình của đường thẳng d1, nhưng chúng ta nhận thấy rằng điểm B không thỏa mãn phương trình đường thẳng d1.

- Ngoài ra, chúng ta nhận thấy rằng VTCP của d1 và d2 có một mối quan hệ đặc biệt, đó là u1 → = -2u2 →. Điều này có nghĩa rằng VTCP của d1 và d2 có tỷ số âm, cho thấy sự đảo ngược hướng giữa chúng.

Kết hợp tất cả các quan sát này, chúng ta có thể rút ra kết luận sau:

- Điểm B không thuộc đường thẳng d1 vì nó không thỏa mãn phương trình của d1.

- Mối quan hệ giữa VTCP của d1 và d2 cho thấy chúng chạy song song với nhau, bởi vì u1→ = -2u2→.

Vì vậy, chúng ta có thể kết luận rằng d1 và d2 là hai đường thẳng song song với nhau, và điểm B nằm trên đường thẳng d2 nhưng không thuộc đường thẳng d1.

Ngoài ra, có thể tham khảo: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu. Xin cảm ơn.