Mục lục bài viết

1. Phương pháp giải Toán bằng cách lập hệ phương trình

Phương pháp giải Toán bằng cách lập hệ phương trình là một công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta giải quyết các bài toán phức tạp trong toán học và khoa học tự nhiên. Quá trình này thường bao gồm ba bước quan trọng.

Bước 1: Lập hệ phương trình

Trong bước này, chúng ta sẽ đặt ra các ẩn và tìm các điều kiện liên quan đến chúng nếu có. Điều này có thể đòi hỏi chúng ta phải xác định những thông tin quan trọng về vấn đề cần giải quyết. Sau đó, chúng ta biểu diễn các đại lượng chưa biết dưới dạng các ẩn và các đại lượng đã biết. Cuối cùng, chúng ta lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng này.

Bước 2: Giải hệ phương trình

Sau khi đã lập được hệ phương trình, chúng ta tiến hành giải nó. Điều này có thể được thực hiện bằng nhiều phương pháp khác nhau, như phương pháp thế, phương pháp Cramer, hoặc các phương pháp số học hiện đại.

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận

Cuối cùng, sau khi đã có kết quả từ việc giải hệ phương trình, chúng ta cần so sánh kết quả này với các điều kiện và ràng buộc ban đầu của bài toán. Nếu kết quả thỏa mãn các điều kiện đó, chúng ta có thể kết luận rằng nó là lời giải của bài toán. Ngược lại, nếu không thỏa mãn, chúng ta cần xem xét lại quá trình lập hệ phương trình hoặc kiểm tra lại các thông số ban đầu.

Phương pháp này không chỉ giúp chúng ta giải quyết các bài toán phức tạp mà còn giúp tăng hiểu biết về mối quan hệ giữa các đại lượng trong các hệ thống phức tạp. Nó là một công cụ quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật và có thể được áp dụng rộng rãi để tìm ra các giải pháp hiệu quả cho các vấn đề thực tế.

 

2. Các dạng toán giải bằng cách lập hệ phương trình

Dạng 1. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình về chuyển động

Dạng 2. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình về năng suất

Dạng 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình về số và chữ số

Dạng 4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình về hình học

Dạng 5. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng tỉ số phần trăm

 

3. 83 bài Toán giải bằng cách lập hệ phương trình mới nhất

Bài 1. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ 2 tỉnh A và B cách nhau 400km đi ngược chiều và gặp nhau sau 5h. Nếu vận tốc của mỗi xe không thay đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40 phút thì 2 xe gặp nhau sau 5h22 phút kể từ lúc xe chậm khởi hành. Tính vận tốc mỗi xe.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của xe nhanh là x km/h, vận tốc của xe chậm là y km/h (x, y > 0).

Hai xe cùng khởi hành một lúc và đi ngược chiều sau 5h gặp nhau nên ta có phương trình 5(x+y)=400 (1)

Thời gian xe đi chậm hết 5h22'=\dfrac{161}{30}

Thời gian xe đi nhanh hết \dfrac{161}{30}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{141}{3} giờ

Vì xe đi chậm xuất phát trước 40'=\dfrac{2}{3}h

Quãng đường xe đi chậm đi được là \dfrac{161}{30}y

Quãng đường xe đi nhanh đi được là \dfrac{141}{30}x

Cả 2 xe đi được \dfrac{161}{30}y+\dfrac{141}{30}x=400 (2)

\left\{\begin{array}{c} 5(x+y)=400 \\ \frac{141 x}{30}+\frac{161 y}{30}=400 \end{array}\right.

Từ (2) 141x + 161y = 1200\ (3)

Từ (1) x+y=\frac{400}{5} =80\ (4)

X = 80 - y thay vào (3)

141(80y - y) + 161y = 1200

11280 - 141y + 161y = 12000

20y = 12000 - 11280

20y = 720

y = 720 / 20 = 36km/h

Thay y =  36 vào

X - 80 - 36 = 44km/h

Vậy vận tốc của xe nhanh là 44km/h

.............................chậm là 36km/h

Bài 2:

Hai người cùng làm một công việc trong 7h 12 phút thì xong công việc nếu người thứ 1 làm trong 4h người thứ hai làm trong 3h thì được 50% công việc. Hỏi mỗi người làm 1 mình trong mấy ngày thì xong

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian người thứ 1 làm 1 mình xong công việc là x h đ/k x > 0 gọi thời gian người thứ 2 làm 1 mình xong công việc là y h đ/k y > 0

Trong 1 giờ cả 2 người làm được là 1/x + 1/y = 5/36

Trong 4h người thứ 1 và trong 3h người thứ 2 làm được là 4/x + 3/y = 1/2

Ta có hệ phương trình \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{36} \\ \frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{1}{2} \end{array}\right.

Giải ra ta có x = 12; y = 18

Bài 3

Trong tháng đầu hai tổ SX được 800 chi tiết máy sang tháng thứ 2 tổ 1 vượt mức 15% tổ 2 vượt mức 20% do đó cuối tháng hai tổ SX được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ SX được bao nhiêu chi tiết máy

Hướng dẫn giải

Gọi tháng 1 tổ 1 SX được là x chi tiết máy

Tháng 1 tổ 2 SX được là y chi tiết máy đ/k x,y thuộc N

Theo bài ra ta có phương trình \left\{\begin{array}{c} x+y=800 \\ 1,15 x+1,2 y=945 \end{array}\right.

Giải ra ta được x = 300y = 500

Bài 4: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140mtấn hàng trong một số ngày qui định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 55 tấn nên đội đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian qui định 11 ngày và chở thêm được 1010 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian đội xe chở hàng theo kế hoạch là x ngày (x>1)

Theo kế hoạch

Số hàng mỗi đội phải chở là 140 tấn

Mỗi ngày đội xe chở được \frac{140}{x} (tấn hàng)

Thực tế

Số hàng mà đội phải chở là 140+10=150 (tấn hàng)

Số ngày mà đội xe chở hết số hàng là x−1
 (ngày)

Mỗi ngày đội xe chở được \frac{150}{x - 1}(tấn hàng)

Vì thực tế mỗi ngày đội chở được nhiều hơn kế hoạch là 5 tấn nến ta có phương trình:

\frac{150}{x - 1} - \frac{140}{x} = 5

Giải phương trình ta được x=7 hoặc x=−4
 (loại)

Bài 5: Cho hai số tự nhiên biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là 9 và hiệu các bình phương của chúng bằng 119. Tìm số lớn hơn.

A. 12

B. 13

C. 32

D. 33

Lời giải:

Gọi số thứ nhất là a; a ∈ N , số thứ hai là b; b ∈ N

Vì hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là 9 nên ta có:

2a - 3b = 9 => b = \frac{2a -9}{3}

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng 119 nên ta có phương trình:

a2 – b2 = 119 hay

2a - 3b = 9 => b = \frac{2a -9}{3}

Chọn đáp án A.

Câu 6: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng cùng tăng thêm 5cm thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng 153 cm2. Tìm chu vi hình chữ nhật ban đầu.

A. 16

B. 32

C. 34

D. 36

Lời giải:

Gọi x là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu (x > 0) (cm)

Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu: 3x (cm)

Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau: x + 5 (cm)

Chiều dài hình chữ nhật lúc sau: 3x + 5 (cm)

Theo đề bài ta có phương trình: (x + 5)(3x + 5) = 153

<=> 3x2 + 20x - 128 = 0 => x =4 (N); x = -32/3 (L)

Vậy chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là: 12 cm và 4 cm

Suy ra chu vi hình chữ nhật ban đầu là: (12 + 4).2 = 32 (cm)

Bài 7: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 20 cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 4 cm. Một trong hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài là:

A. 16

B. 15

C. 14

D. 13

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ hơn của tam giác vuông đó là x (cm); (0 < x < 20)

Cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông có độ dài là: x + 4

Vì cạnh huyền bằng 20 cm nên theo định lý Py-ta-go ta có:

x2 + (x + 4)^2 = 20^2 <=> x2 + (x + 4)^2 = 400

<=> 2x2 + 8x - 384 = 0 <=> x = 12 (N) hoặc x = -16 (L)

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là: 12 cm và 12 + 4 = 16 cm

Chọn đáp án A.

Bài 8: Một người dự định đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 90 km trong một thời gian đã định. Sau khi đi được 1 giờ, ngườ đó nghỉ 9 phút. Do đó, để đến tỉnh B đúng hẹn, người ấy phải tăng vận tốc thêm 4 km/h. Tính vận tốc lúc đầu của người đó.

A. 36 km / h

B. 40 km/ h

C. 45km/ h

D. 50km/ h

Lời giải:

Gọi vận tốc ban đầu của người đó là x (km/h) (x > 0).

Thời giạn dự định người đó đi hết quãng đường là 90/x (h).

Quãng đường người đó đi được sau 1 giờ là x (km).

Quãng đường còn lại người đó phải tăng tốc là 90 – x (km).

 

Vận tốc của người đó sau khi tăng tốc là x + 4 (km/h).

Thời gian người đó đi hết quãng đường còn lại là \frac{90 - x}{x +4} (h).

Theo đề bài ta có phương trình:

83 bài Toán giải bằng cách lập hệ phương trình mới nhất

Vậy vận tốc lúc đầu của người đó là 36 km/h.

Chọn đáp án A.

Tài liệu còn dài, Luật Minh Khuê mời quý khách hàng tải ngay 83 bài Toán giải bằng cách lập hệ phương trình mới nhất

Xem thêm bài viết: Cách bấm máy tính giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhanh nhất