1. Phương pháp giải bài tập hệ phương trình toán lớp 9
Bước 1: Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Chú ý:
+ Để có lời giải đơn giản, ta thường chọn các phương trình có hệ số không quá lớn (bằng 1 hoặc -1) và biểu diễn ẩn có hệ số nhỏ hơn qua ẩn còn lại.
+ Thay một phương trình trong hệ bởi phương trình một ẩn vừa tìm ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
2. Bài tập hệ phương trình toán lớp 9
Bài 1. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến sớm hơn dự định 3h. Nếu mỗi giờ xe chạy chậm hơn dự định 10km thì đến nơi chậm mất 5h. Tính vận tốc xe lúc đầu và thời gian dự định đi trên quãng đường AB.
Bài 2. Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ vòi hai chảy trong 3 giờ thì được 75% bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Bài 3. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 60m. Nếu tăng chiều dài lên 4 lần và chiều rộng lên 3 lần thì chu vi khu vườn sẽ tăng 162m. Tìm diện tích khi vườn.
Bài 4. Một tam giác có chiều cao bằng 3 4 cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi 3dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.
>> Xem thêm: Cách bấm máy tính giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhanh nhất
3. Đáp án bài tập hệ phương trình toán lớp 9
Bài 1.
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) (x > 10) Gọi thời gian dự định của ô tô là y (h) (y > 3) Quãng đường AB là: S = xy (km) (1) Nếu mỗi giờ ô tô tăng vận tốc 10 km/h thì vận tốc lúc đó là x + 10 (km/h)
Vì ô tô đến sớm hơn 3h nên thời gian đi hết quãng đường AB là y – 3 (h)
Quãng đường AB là: S = (x + 1)(y – 3) (km) (2)
Từ (1) và (2) ta có phương trình: xy = (x + 10)(y – 3) ⇔ xy = xy – 3x + 10y – 30 ⇔ 3x – 10y = -30 (*)
Nếu mỗi giờ ô tô giảm vận tốc đi 10 km/h thì vận tốc lúc đó là x – 10 (km/h)
Vì ô tô đến muộn hơn 5h nên thời gian đi hết quãng đường AB là y + 5 (h)
Quãng đường AB là: (x – 10)(y + 5) (km) (3)
Từ (1) và (3) ta có phương trình: xy = (x – 10)(y + 5) ⇔ xy = xy + 5x – 10y – 50 ⇔ 5x – 10y = 50 (**)
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình { 3 x − 10 y = − 30 (4); 5 x − 10 y = 50 (5)
Lấy (5) – (4) ta được: ⇔ { ( 5 x − 10 y ) − ( 3 x − 10 y ) = 50 + 30 ; 3 x − 10 y = − 30 }
⇔ { 5 x − 10 y − 3 x + 10 y = 80 ; 3 x − 10 y = − 30 }
⇔ { 2x = 80 ; 3 x − 10 y = − 30 }
⇔ { x = 80 : 2 ; 3 x − 10y = − 30 }
⇔ { x = 40; 3.40 − 10 y = − 30 }
⇔ { x = 40 ; 10 y = 120 + 30 }
⇔ { x = 40 ; 10 y = 150 }
⇔ { x = 40 y = 15 (thỏa mãn) }
Vậy vận tốc dự định của ô tô là 40 km/h và thời gian dự định của ô tô đi hết quãng đường AB là 15h.
Bài 2.
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (h); vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là y (h) (x; y > 0).
Một giờ vòi thứ nhất sẽ chảy được 1/x (bể)
Một giờ vòi thứ hai sẽ chảy được 1/y (bể)
Đổi 4h 48’ = 4,8h
75% = 3/4 h
Vì hai vòi chảy trong 4,8h thì đầy bể nên ta có phương trình: 4,8. (1x + 1y) = 1 ⇔ 4,8x + 4,8y = 1 (1)
Vì vòi thứ nhất chảy trong 4h; vòi thứ hai chảy trong 3h thì được 3 4 (bể) nên ta có phương trình: 4/x + 3/y = 3/4 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 4,8x + 4,8y = 1; 4/x + 3/y = 3/4
Đặt { 1/x = a; 1/y = b khi đó hệ trở thành 4,8a + 4,8b = 1 ; 4a + 3b = 0,75
⇔ {4,8a + 4,8b = 1; 4a = 0,75 − 3b}
⇔ {4,8a + 4,8b = 1; a = 0,75 − 3b }
⇔{a = (0,75 − 3b)/4 ; 4,8. (0,75 − 3b)/4 + 4,8b = 1}
⇔ {a = (0,75 − 3b)/4 ; 1,2. (0,75 − 3b) + 4,8b = 1}
⇔ {a = (0,75 − 3b)/4 ; 0 , 9 − 3,6b + 4, b = 1}
⇔ {a = (0,75 − 3b)/4 ; 1,2b = 1 − 0,9}
⇔ {a = 0,75 − 3b)/4 ; 1, 2b = 0,1}
⇔ { a = (0,75 − 3b)/4 ; b = 0,1 : 1,2}
⇔ { a = 0,75 − 3b)/4 ; b = 1/12}
⇔ {a = (0,75 − 3. 1/12 )/4 ; b = 1/12}
⇔ { a = 1/8; b = 1/12}
⇒ { 1/x = 1/8 ; 1/y = 1/12}
⇔ { x = 8 ; y = 12 (thỏa mãn)}
Vậy vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 8h sẽ đầy bể; vòi thứ hai chảy một mình thì sau 12h sẽ đầy bể.
Bài 3.
Gọi chiều dài của khu vườn là x (m); chiều rộng của khu vườn là y (m) ( x > y > 0 )
Vì chu vi khu vườn là 60m nên ta có phương trình: 2.(x + y) = 60 ⇔ x + y = 60:2 ⇔ x + y = 30 (1)
Nếu tăng chiều dài lên 4 lần thì chiều dài mới là 4x (m); nếu tăng chiều rộng lên 3 lần thì chiều rộng mới là 3y (m).
Chu vi khu vườn mới là: 2(4x + 3y) = 8x + 6y (m)
Vì chu vi khu vườn mới hơn chu vi khu vườn cũ 162m nên ta có phương trình:
(8x + 6y) – 2(x + y) = 162 ⇔ 8x + 6y – 2x – 2y = 162 ⇔ 6x + 4y = 162 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: { x + y = 30; 6 x + 4 y = 162}
⇔ { x = 30 − y ; 6(30 − y) + 4y = 162 }
⇔ { x = 30 − y ; 180 − 6y + 4y = 162 }
⇔ { x = 30 − y ; − 2y = 162 − 180 }
⇔ { x = 30 − y; − 2y = − 18 }
⇔ { x = 30 − y; y = (− 18) : − 2)}
⇔ { x = 30 − y; y = 9 }
⇔ { x = 30 − 9; y = 9 }
⇔ { x = 21 ; y = 9 (thỏa mãn) }
Diện tích khu vườn ban đầu là: S = 21.9 = 189 m2
Bài 4.
Gọi chiều cao của tam giác là x (dm); cạnh đáy của tam giác là y (dm) ( 0 < x < y )
Vì chiều cao của tam giác bằng 3/4 cạnh đáy nên ta có: x = 3/4y (1)
Diện tích tam giác đó là S = 1/2 xy (dm2)
Nếu chiều cao tam giác tăng thêm 3dm thì chiều cao mới của tam giác là x + 3 (dm)
Nếu cạnh đáy tam giác giảm đi 3dm thì cạnh đáy mới của tam giác là y – 3 (dm).
Diện tích tam giác mới là S = 1/2(x + 3).(y − 3) = 1/2 xy − 3/2x + 3/2y − 9/2 (dm2)
Vì diện tích mới hơn diện tích cũ 12 dm2 nên ta có phương trình (1/2xy − 3/2x + 3/2y − 9/2 ) - 1/2xy = 12
⇔ 1/2xy − 3/2x + 3/2y − 9/2 − 1/2xy = 12
⇔ − 3/2x + 3/2y − 9/2 = 12
⇔ − 3x + 3y − 9 = 12.2
⇔ − 3x + 3y = 24 + 9
⇔ − 3x + 3y = 33
⇔ − x + y = 11 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình {− x + y = 11 ; x = 3/4y}
⇔ { x = 3/4y; − 3/4y + y = 11 }
⇔ { x = 3/4y ; 1/4y = 11 }
⇔ { x = 3/4y ; y = 11.4 }
⇔ { x = 3/4y ; y = 44 }
⇔ { x = 3/4 .44 ; y = 44 }
⇔ { x = 33 ; y = 44 (thỏa mãn) }
Vậy chiều cao của tam giác lầ 33dm; cạnh đáy của tam giác là 44dm.
=> Bạn đọc có thể tham khảo thêm bài viết: Chuyên đề hệ phương trình lớp 9 chi tiết
