Mục lục bài viết

1. Các Bước Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình
2. Bài tập vận dụng liên quan

1. Các Bước Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình

Bước 1: Lập Hệ Phương Trình

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số:

- Xác định các thông tin đã biết và các thông tin cần tìm.

- Đặt các ẩn số để biểu diễn các đại lượng chưa biết.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết:

- Sử dụng các ẩn số đã chọn để biểu diễn các thông tin cần tìm theo một cách toán học.

- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng:

- Xác định quan hệ toán học giữa các thông tin đã biết và thông tin cần tìm thông qua các phương trình.

Bước 2: Giải Hệ Phương Trình

Bước 3: Kết Luận

- Kiểm tra nghiệm: Kiểm tra lại các nghiệm tìm được, đảm bảo chúng thỏa mãn các điều kiện của ẩn số.

- Kết luận bài toán: Trình bày kết quả tìm được dưới dạng câu trả lời hoặc thông tin cụ thể về vấn đề đã được giải quyết.

2. Bài tập vận dụng liên quan

Bài 1: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm việc trong 6h. Sau 2h làm chung thì tổ hai bị điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành nốt công việc còn lại trong 10h. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc

Hướng dẫn giải chi tiết:

Gọi thời gian người thứ nhât làm một mình xong công việc là x giờ ( điều kiện x > 0)

Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y giờ ( điều kiện y > 0)

Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\ \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{10}{x} = 1 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình ta được người thứ nhất làm một mình xong công việc là 15 giờ

Người thứ hai làm một mình xong công việc là 10 giờ

Bài 2: Trên quãng đường AB dài 210 m , tại cùng một thời điểm một xemáy khởi hành từ A đến B và một ôt ô khởi hành từ B đi về A . Sau khigặp nhau xe máy đi tiếp 4 giờ nữa thì đến B và ô tô đi tiếp 2 giờ 15 phút nữa thì đến A. Biết rằng vận tốc ô tô và xe máy không thay đổi trong suốt chặng đường. Tính vận tốc của xe máy và ô tô.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Gọi vận tốc xe máy là x (km/h) Điều kiệnx > 0

Gọi vận tốc ô tô là y (km/h). Điều kiện y > 0

Thời gian xe máy dự định đi từ A đến B là: $\frac{210}{x}$ Thời gian ô tô dự định đi từ B đến A là: $\frac{210}{y}$ giờ

Quãng đường xe máy đi được kể từ khi gặp ô tô cho đến khi đến B là : 4x (km).

Quãng đường ô tô đi được kể từ khi gặp xe máy cho đến khi đến A là : $\frac{9}{y}$ (km). Theo giả thiết có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{210}{x} - \frac{210}{y} = 4-\frac{9}{4}\\ \frac{9}{4}x + 2y = 210 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình ta được $\frac{12}{4}y + \frac{9}{4}y = 210$ <=> y = 40 và x = 30Vậy vận tốc xe máy là 30 km/h. Vận tốc ô tô là 40 km/h.
Bài 3: Quãng đường AB dài 120 km. lúc 7h sang một xe máy đi từ A đến B. Đi được $\frac{3}{4}$ xe bị hỏng phải dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng ngày. Giả sử vận tốc xe máy trên $\frac{3}{4}$ quãng đường đầu không đổi và vận tốc xe máy trên $\frac{1}{4}$ quãng đường sau cũng không đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ?

Lời giải chi tiết:

Gọi vận tốc trên $\frac{3}{4}$ quãng đường ban đầu là x (km/h), điều kiện: x > 10

Thì vân tốc trên $\frac{1}{4}$ quãng đường sau là 10x − (km/h)

Thời gian trên $\frac{3}{4}$ quãng đường ban đầu là $\frac{90}{x}$ (h)

Thời gian đi trên $\frac{1}{4}$ quãng đường sau là: $\frac{30}{x-10}$ (h)

Thời gian đi cả hai quãng đường là: 11 giờ 40 phút – 7 giờ - 10 phút = $\frac{9}{2}$ giờ.

Nên ta có phương trình: $\frac{90}{x}$ + $\frac{30}{x-10}$ = $\frac{9}{2}$

Giải phương trình ta được x = 30 thỏa mãn điều kiện

Do đó thời gian đi trên $\frac{3}{4}$ quãng đường ban đầu 90 : 30 = 3 (giờ)

Vậy xe hỏng lúc 10 giờ.

Bài số 4: Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đôi tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Gọi x (chiếc) là số tàu dự định của đội

Số tàu tham gia vận chuyển là x + 1 (chiếc)

Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định $\frac{280}{x}$ (tấn)

Số tấn hàng trên mỗi chiếc thực tế $\frac{286}{x + 1}$ (tấn)

Theo bài ra ta có phương trình: $\frac{280}{x}$ - $\frac{286}{x + 1}$ = 2

<=> 280 (x + 1) - 286x = 2x (x + 1) <=> x = 10 hoặc x = -14 (loại)

Vậy đội tàu lúc đầu có 10 chiếc tàu

Bài số 5: Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đón phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm nên người đó đã hoàn thnahf công việc sớm hơn so với thời gian dự định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ làm được không quá 20 sản phẩm

Lời giải chi tiết:

Gọi số sản phẩm công nhân dự định làm trong một giờ là ( 0 < x $\leq$ 20)

Thời gian dự kiến người đó làm xong 85 sản phẩm là $\frac{85}{x}$ (giờ)

Thực tế mỗi giờ làm tăng thêm 3 sản phẩm nên số sản phẩm làm được mỗi giờ là x + 3

Do đó 96 sản phẩm được làm trong $\frac{96}{x+3}$ (giờ)

Thời gian hoàn thành công việc thực tế sớm hơn so với dự định là 20 phút = $\frac{1}{3}$ giờ nên ta có phương trình:

$\frac{85}{x} - \frac{96}{x+3} = \frac{1}{3}$

Giải phương trình ta được x = 15 hoặc x = -51

Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm x = -51

Theo dự định mỗi giờ người đó phải làm 15 sản phẩm.

Vậy số sản phẩm mỗi giờ người đó làm là 15 sản phẩm

Bài số 6: Một ca nô xuôi dòng 78km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ vớivận tốc dự định. nếu ca nô xuôi 13 km và ngược dong 11 km với cùng vận tốc dự định đó thì mất 1 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước.

Đáp án: vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 2 km/h.

Bài số 7: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc dự định trong một thời gian dự

định. Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ so với dự định. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian đi tăng hơn 3 giờ so với dự định. tính độ dài quãng đường AB.

Đáp án: quãng đường AB dài là: 12.15 180= (km)

Bài số 8: Một công ty dự định điều động một số xe để chuyển 180 tấn hàng từ cảng Dung Quất vào thành phố Hồ Chí Minh, mỗi xe chở khối lượng hàng như nhau. Nhưng do nhu cầu thực tế cần chuyển thêm 28 tấn hàng nên công ty đó phải điều động thêm một xe cùng loại và mỗi xe bây giờ phải chở thêm 1 tấn hàng mới đáp ứng được nhu cầu đặt ra. Hỏi theo dự định công ty đó cần điều động bao nhiêu xe? Biết rằng mỗi xe không chở quá 15 tấn.

Đáp án: 15 xe

Bài số 9: Để hoàn thành một công việc, nếu hai tổ cùng làm chung thì hết 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một tiếp tục làm và đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ sẽ hoàn thành công việc này trong thời gian bao nhiêu?

Đáp án: Nếu làm riêng thì tổ một hoàn thành công việc trong 15 giờ và tổ hai hoàn thành công việc trong 10 giờ.

Bài số 10: Cho một bể cạn (không có nước). Nếu hai vòi nước cùng được mở để chảy vào bể này thì sẽ đầy bể sau 4 giờ 48 phút. Nếu mở riêng từng vòi chảy vào bể thì thời gian vòi một chảy đầy bể sẽ ít hơn thời gian vòi haichảy đầy bể là 4 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Đáp án: vòi một chảy một mình trong 8 giờ thì đầy bể và vòi hai chảy một mình trong 12 giờ thì đầy bể.