Mục lục bài viết

1. Các dạng bài tập về phương trình bậc hai
2. Bài tập phương trình bậc hai chi tiết
3. Phương pháp học tốt toán

1. Các dạng bài tập về phương trình bậc hai

Dạng 1.1: Giải phương trình: $ax^{2}+bx+c=0$ (a ≠ 0)

Bước 1: Xác định các hệ số a; b; c (hoặc a; b'; c) của phương trình bậc hai ax2 + bx + c.

Bước 2: Tính Δ = $b^{2}-4ac$ (hoặc Δ' = $b'^{2}-ac$ ).

+ TH1: Δ < 0, phương trình vô nghiệm.

+ TH2: Δ = 0, phương trình có nghiệm kép $x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a}$

+ TH3: Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ ; $x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$

Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình (nếu có).

Bước 4: Kết luận.

Dạng 1.2: Kiểm tra một giá trị $x_{0}$ có là nghiệm của phương trình: $ax^{2}+bx+c=0$ (a ≠ 0) hay không.

Bước 1: Thay giá trị $x_{0}$ vào vế trái của phương trình: $ax_{0}+bx_{0}+c$

Bước 2: Kết luận.Tính vế trái. Nếu kết quả bằng 0 thì $x_{0}$ là một nghiệm của phương trình.

Bước 3: Kết luận.

Định lý Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai $ax^{2}+bx+c=0$ (a ≠ 0) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ (phân biệt hoặc trùng nhau) thì tổng các nghiệm $S=-\frac{b}{a}$ và tích các nghiệm $P=\frac{c}{a}$ .

$ax^{2}+bx+c=0$ (a#0, $\Delta \geq 0$ )

=> $\begin{Bmatrix} S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} & \\ P=x_{1}*x_{2}=\frac{c}{a} & \end {Bmatrix}$

Dạng 2.1: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét.

Bước 3: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi đẳng thức, bất đẳng thức để tìm tham số.

Bước 4: Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Dạng 2.2: Tìm tham số và tìm nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm x0 của phương trình.

Bước 1: Thay giá trị x0 vào phương trình để tìm tham số.

Bước 2: Thay giá trị của tham số hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.

Bước 3: Kết luận.

Dạng 2.3: Khi phương trình bậc hai có nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét.

Bước 3: Tính m theo S và P.

Bước 4: Khử m và tìm ra hệ thức.

Bước 5: Kết luận.

Dạng 2.4. Áp dụng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).

+) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = $\frac{c}{a}$ .

+) Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1 và x2 = $- \frac{c}{a}$ .

Dạng 2.5. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số đó là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0 .

Điều kiện để có u và v là $s^{2}$ - 4P ≥ 0.

Dạng 3.1: Giải và biện luận phương trình theo tham số m

Bước 1: Xác định các hệ số a; b; c (hoặc a; b'; c).

Bước 2: Giải phương trình theo m:

+) Với giá trị của m mà a = 0, giải phương trình bậc nhất.

+) Với giá trị của m mà a ≠ 0, giải phương trình bậc hai: Tính Δ = b'2 - ac (hoặc Δ' = b2 - 4ac), xét các trường hợp của Δ chứa tham số và tìm nghiệm theo tham số.

Bước 3: Kết luận.

Biện luận phương trình:

- Phương trình có nghiệm khi:

+) Với giá trị của m mà a = 0, phương trình bậc nhất có nghiệm.

+) Với giá trị của m mà a ≠ 0, phương trình bậc hai có nghiệm.

- Phương trình có một nghiệm khi:

+) Với giá trị của m mà a = 0, phương trình bậc nhất có nghiệm.

+) Với giá trị của m mà a ≠ 0, phương trình bậc hai có nghiệm kép.

- Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: Giá trị của m mà a ≠ 0, phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt.

Dạng 3.2: Xác định dấu các nghiệm của phương trình

Bước 1: Xác định hệ số.

Bước 2: Tính Δ = b2 - 4ac (hoặc Δ' = b2 - 4ac) để kiểm tra phương trình có nghiệm hay không.

Bước 3: Trong trường hợp phương trình có nghiệm (Δ ≥ 0 hoặc Δ' ≥ 0), tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét để xét dấu các nghiệm của phương trình.

+) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu: P > 0.

+) Phương trình có hai nghiệm dương: S>0,P>0

+) Phương trình có hai nghiệm âm: S<0, P>0

+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu: P < 0.

Chú ý: Phương trình có hai nghiệm trái dấu chỉ cần xét P < 0 hoặc a.c < 0.

Bước 4: Kết luận.

Dạng 3.3: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 3.3.1: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện về dấu hoặc thỏa mãn đẳng thức, bất đẳng thức liên hệ giữa các nghiệm

Bước 1: Tìm điều kiện a ≠ 0 (nếu cần) và điều kiện để phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét.

Bước 3: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi đẳng thức, bất đẳng thức để tìm tham số.

Bước 4: Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Dạng 3.3.2: Tìm tham số m để phương trình có một nghiệm là x0.

Bước 1: Thay giá trị x0 vào phương trình để tìm tham số.

Bước 2: Thay giá trị của tham số vào phương trình hoặc hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.

Bước 3: Kết luận.

Dạng 3.3.3: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.

Bước 1: Tìm điều kiện để các phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tìm nghiệm chung và tìm tham số: Có thể giả sử x0 là nghiệm chung, lập hệ phương trình trình hai ẩn (x0 và tham số) và giải hệ phương trình.

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

2. Bài tập phương trình bậc hai chi tiết

Câu 1. Khẳng định nào đúng về phương trình:

$\sqrt{2}x^{4}-2(\sqrt{2}+\sqrt{3})x^{2}+\sqrt{12}=0$

A. vô nghiệm

B. Có 2 nghiệm $x=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}, x=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}$

C. Có 2 nghiệm $x=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}, x=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}$

D. Có 4 nghiệm

$x=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}, x=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2},$ , $x=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}, x=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2},$