Mục lục bài viết

1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

1.1. Định nghĩa

- Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên.

Giả sử hàm số f(x) xác định trên tập K (K ⊂ R) Khi đó:

a)  Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ K sao cho f(x) ≤ f(x0), ∀x ∈ K thì số M = f(x0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên K. Kí hiệu: M=maxf(x), x\in D

b)  Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ K sao cho f(x) ≥ f(x0), ∀x ∈ K thì số m = f(x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên K. Kí hiệu: M=minf(x), x\in D

- Như vậy để có được M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số f(x) trên K ta phải chỉ ra được :

a) f(x) ≤ M (hoặc f(x) ≥ M) với mọi x ∈ K.

b) Tồn tại ít nhất một điểm x0 ∈ K sao cho f(x0) = M (hoặc f(x0) = m).

- Chú ý khi nói đến giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) (mà không nói rõ “trên tập K’’) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó.

- Mỗi hàm số liên tục trên đoạn [a;b] thì đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Hơn nữa:

a) Nếu hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì M=minf(x)=f(b)), x\in D, M=maxf(x)=f(a)), x\in D

b) Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì M=maxf(x)=f(a)), x\in D

M=minf(x)=f(b)), x\in D

- Cho phương trình f(x) = m với y = f(x) là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm khi min f(x)\leqslant m\leqslant max f(x), x\in D

- Một hàm số có thể đồng thời đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một tập K hoặc chỉ đạt được giá trị nhỏ nhất hoặc chỉ đạt được giá trị lớn nhất hoặc không tồn tại cả hai giá trị này. Chẳng hạn:

a) Xét hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c trên tập xác định K = R .

+ Khi a > 0 thì hàm số có đạt được giá trị nhỏ nhất tại x=\frac{-b}{2a}đồng thời bằng giá trị cực tiểu của hàm số tại x=\frac{-b}{2a}

 + Khi a < 0 thì hàm số có đạt được giá trị lớn nhất tại x=\frac{-b}{2a} đồng thời bằng giá trị cực đại của hàm số tại x=\frac{-b}{2a}

b) Xét trên tập K = R hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

c) Xét trên K=R\setminus \frac{-c}{b} hàm số y=\frac{ax+b}{cx+d} không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

d) Xét hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c trên tập xác định K = R .

+ Khi a > 0 thì hàm số đạt được giá trị nhỏ nhất đồng thời bằng giá trị cực tiểu của hàm số.

+ Khi a < 0 thì hàm số đạt được giá trị lớn nhất đồng thời bằng giá trị cực đại của hàm số.

Kí hiệu: min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A

 

1.2. Các dạng bài tập thường gắp

Dạng 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên 1 đoạn.

Phương pháp: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [a,b] .

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x) .

Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ [a,b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ [a,b] làm cho f'(x) không xác định.

Bước 3. Tính f(a), f(b), f(xi), f(αi).

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M=max f(x), [a,b] ; m= min f(x), [a,b]

Lưu ý: 

- Đối với bài toán tìm GTLN, GTNN trên khoảng, nửa đoạn làm tương tự. 

- Trong trường hợp trên khoảng đó không tồn tại giá trị f’(x) = 0 hoặc không xác định thì kết luận không tìm được GTLN, GTNN trên khoảng đó.

Dạng 2. Ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số vào bài toán thực tế.

Bước 1: Từ các điều kiện của bài toán xây dựng hàm số.

Bước 2: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vừa xây dựng trên tập xác định của nó phù hợp với yêu cầu bài toán.

Bước 4:  Kết luận.

 

2. Phương pháp giải dạng bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn

2.1. Phương pháp 1. Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm và hằng số

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức, học sinh cần biến đổi biểu thức A thành tổng của một số không âm và hằng số.

Còn đối với giá trị lớn nhất của biểu thức, học sinh cần biến đổi biểu thức A thành hiệu của một số và một số không âm.

 

2.2. Phương pháp 2: Áp dụng bất đẳng thức Cosi

Cho hai số a, b không âm. Theo bất đẳng thức Cosi học sinh cần chứng minh theo công thức:

a+b\geq 2\sqrt{ab}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Nhận xét:

Tích của hai số a,b trong căn có giá trị không đổi thì tổng hai số đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b. Ngược lại, tổng của hai số a,b có giá trị không đổi thì tích của hai số đó đạt trị lớn nhất khi và chỉ khi a = b.

 

2.3. Phương pháp 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Theo công thức bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, học sinh cần chứng minh:

\mid a\mid +\mid b\mid \geqslant \mid a+b\mid

\mid a-b\leq \mid a\mid +\mid b\mid

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích A và B bằng 0.

 

3. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cho biểu thức chứa căn

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  A = \frac{1}{x-\sqrt{x}+1}

Điều kiện để xác định x\geq 0

Để A đạt giá trị lơn nhất thì x-\sqrt{x}+1 đạt giá trị nhỏ nhất

Cóx-\sqrt{x}+1 = x-2\frac{1}{2}.\sqrt{x}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1x-\sqrt{x}+1 = x-2\frac{1}{2}.\sqrt{x}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1=\left ( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{3}4{}

Lại có {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \ge 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x \ge 0

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}

Minx - \sqrt x + 1 = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}

Vậy Max A = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}

Bài 2. Cho biểu thức A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}

a. Rút gọn A

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9\sqrt x

a. A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}} với x>0, x#1

= \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}

b. P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)với x>0, x#1

Với x>0, x#1, áp dụng bất đẩng thức Cauchy có:

\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6

\Rightarrow - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le - 6 \Rightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5 \Leftrightarrow P \le - 5Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9} (thỏa mãn)

Vậy max P = - 5 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}

Bài 3: Cho biểu thức A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}} \right) - \frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}với x ≥ 0, x ≠ 4

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Lời giải:

a, A=\left({\frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}+\frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }}}\right)-\frac{{6 + \sqrt x }}{{4 - x}}với x ≥ 0, x ≠ 4

= \frac{{\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right) + \sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}

= \frac{{2\sqrt x + x + 2\sqrt x - x}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} - \frac{{6 + \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}

= \frac{{4\sqrt x - 6 - \sqrt x }}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}}

= \frac{{3.\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 - \sqrt x } \right)}} = \frac{{ - 3}}{{2 + \sqrt x }}

b, Có x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 2}} \ge \frac{{ - 3}}{2}

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0

Vậy min A=\frac{{ - 3}}{2}\Leftrightarrow x=0

 Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A=3+\sqrt{2x^{2}-4x+3}

Lời giải:

A=3+\sqrt{2x^{2}-4x+3}=3+\sqrt{2(x-1)^{2}+1)}\geq 3+\sqrt{1}=4

    Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 4, đạt được khi x = 1

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

A=\sqrt{-9x^{2}+6x+7}=\sqrt{-(3x-1)^{2}+8)}\leqslant \sqrt{8}

Lời giải:

    Dấu bằng xảy ra khi 3x - 1 = 0 ⇔ x = 1/3.

    Vậy giá trị lớn nhất của A là √8, đạt được khi x = 1/3.

 

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn

 

5. Bài tập vận dụng tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

a. \sqrt {x - 4} - 2

b. x - \sqrt x

Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

a. A = \sqrt 3 - \sqrt {x - 1}
b. B = 6\sqrt x - x - 1
c. C = \frac{1}{{x - \sqrt x - 1}}

Bài 3: Cho biểu thức:

A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}};B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 25} \right)

a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn biểu thức B

c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.

Bài 4: Cho biểu thức: A = \frac{{5\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}. Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: Cho biểu thức:

A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + x + 2}};\left( {x \geqslant 0;x \ne 1} \right)

a. Rút gọn A

b. Tìm giá trị lớn nhất của A

Trên đây là chia sẻ của Luật Minh Khuê liên quan đến Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn

Quý khách hàng có nhu cầu thì tham khảo thêm nội dung bài viết sau của công ty Luật Minh khuê: Cách giải bài Toán tính nhanh giá trị của biểu thức kèm bài tập

Với mong muốn gửi đến quý khách hàng những thông tin tư vấn hữu ích, Công ty Luật Minh Khuê rất hân hạnh nếu quý khách hàng đang gặp phải bất kỳ vấn đề pháp lý nào hoặc có câu hỏi cần được giải đáp, hãy liên hệ với Tổng đài tư vấn pháp luật trực tuyến qua số hotline 1900.6162. Hoặc quý khách hàng gửi yêu cầu chi tiết qua email: lienhe@luatminhkhue.vn để được hỗ trợ và giải đáp thắc mắc nhanh chóng. Xin trân trọng cảm ơn sự hợp tác của quý khách hàng!