Mục lục bài viết

1. Dạng 1. Vẽ đồ thị hàm số

Phương pháp giải: Xét đường thẳng d: y = ax + b với a ≠ 0

- Nếu b = 0 ta có d: y = ax đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a)

- Nếu b ≠ 0 thì d đi qua hai điểm A(0; b) và B (\frac{-b}{a} ; 0) 

Ví dụ: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = 2x

b) y = x - 1

c) y = 2x – 3.

Hướng dẫn giải:

a) Xét đường thẳng d: y = 2x có b = 0

Vậy d đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a)

Với a = 2 nên d đi qua A(1; 2)

Ta có đồ thị như hình vẽ:

Các dạng bài Đồ thị hàm số ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án

b) Xét đường thẳng d: y = x – 1 có b = -1 ≠ 0

Cho y = 0 ⇒ x = 1 ⇒ A(1; 0)

Cho x = 0 ⇒ y = -1 ⇒ B(0; -1)

Vậy đường thẳng d đi qua hai điểm A và B có đồ thị như hình vẽ:

Các dạng bài Đồ thị hàm số ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án

c) Xét đường thẳng d: y = 2x – 3 có b = -3 ≠ 0

Cho x = 0 ⇒ y = -3 ⇒ A(0; -3)

Cho y = 0 ⇒ x = 3 2 ⇒ B (\frac{3}{2}; 0)

Vậy đường thẳng d đi qua 2 điểm A và B nên ta có đồ thị như hình vẽ:

Các dạng bài Đồ thị hàm số ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án

 

2. Dạng 2. Xác định điểm thuộc hay không thuộc đồ thị hàm số

Phương pháp giải: Cho hàm số y = ax + b và M(m, n) với a ≠ 0

Cách 1: Ta biểu diễn điểm M và đồ thị hàm số d: y = ax + b trên cùng một hệ trục tọa độ

Nếu điểm M thuộc đồ thị hàm số thì điểm đó nằm trên đường thẳng d.

Nếu điểm M không thuộc đồ thị hàm số thì điểm M không nằm trên đường thẳng d.

Cách 2: Ta thay tọa độ điểm M vào hàm số

Nếu am + b = n thì M thuộc đồ thị hàm số

Nếu am + b ≠ n thì M không thuộc đồ thị hàm số.

Ví dụ 1: Các điểm M(2; 1); N(3; -4); P(3; 2) có thuộc đồ thị hàm số y = 2x - 10 không?

Hướng dẫn giải:

- Xét điểm M(2; 1): Thay x = 2 vào hàm số ta có: y = 2.2 - 10 = 4 - 10 = -6 ≠ 1 nên điểm M không thuộc đồ thị hàm số.

- Xét điểm N(3; -4): Thay x = 3 vào hàm số ta có: y = 2.3 - 10 = 6 - 10 = -4 nên điểm N thuộc đồ thị hàm số.

- Xét điểm P(3; 2): Thay x = 3 vào hàm số ta có: y = 2.3 – 10 = -4 ≠ 2 nên điểm P không thuộc đồ thị hàm số.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = -2x + 4 và điểm A(3; -2); B(3; 2); C(1; 2). Bằng phương pháp vẽ đồ thị hãy xác định các điểm A; B; C có thuộc đồ thị hàm số đã cho không?

Hướng dẫn giải:

Xét d: y = -2x + 4

Cho x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ M(0; 4)

Cho y = 0 ⇒ x = 2 ⇒ N(2; 0)

Vậy d: y = -2x + 4 đi qua hai điểm M, N.

Ta vẽ d và các điểm A, B, C trên cùng một hệ trục tọa độ:

Các dạng bài Đồ thị hàm số ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án

Từ hình vẽ trên ta thấy điểm A và C thuộc đồ thị hàm số, điểm B không thuộc đồ thị hàm số.

Ví dụ 3. Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3x + 1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3x + 1 nên (d) có dạng y = 3x + b

(d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 nên (d) đi qua điểm A(0; 4) hay 4 = 3.0 + b ⇔ b = 4

Vậy phương trình đường thẳng (d) y = 3x + 4

 

3. Dạng 3. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Phương pháp giải: Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b’ với a, a’ ≠ 0

Để tìm tọa độ giao điểm d và d’ ta làm như sau:

Cách 1: Phương pháp đại số:

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d’ ax + b = a’x + b’.

Bước 2: Từ phương trình hoành độ giao điểm ta tìm được x, thay x vào d hoặc d’ để tìm y.

Bước 3: Kết luận giao điểm.

Cách 2: Dùng phương pháp tọa độ

Bước 1: Vẽ d và d’ trên cùng một hệ trục tọa độ.

Bước 2 Từ hình vẽ xác định tọa độ giao điểm.

Bước 3: Kết luận giao điểm

Ví dụ 1: Bằng phương pháp đại số hãy xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng sau d: y = 3x + 1 và d’: y = 2x - 3.

Hướng dẫn giải:

Gọi A là tọa độ giao điểm

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d’ 3x +1 = 2x - 3 ⇔ 3x - 2x = -1 - 3 ⇔ x = -4 ⇒ y = 3.(-4) + 1 = -12 + 1 = -11

Vậy tọa độ giao điểm của d và d’ là A(-4; -11).

Ví dụ 2: Bằng phương pháp tọa độ hãy xác định giao điểm của d: y = x +1 và d’: y = -2x + 3.

Hướng dẫn giải:

- Xét đường thẳng d: y = x + 1

Cho x = 0 ⇒ y = 1 ⇒ A(0; 1)

Cho y = 0 ⇒ x = -1 ⇒ B(-1; 0)

Vậy d là đường thẳng đi qua A(0; 1) và B(-1; 0).

- Xét đường thẳng d’: y = -2x + 3

Cho x = 0 ⇒ y = 3 ⇒ A’(0; 3)

Cho y = 0 ⇒ x = 3 2 ⇒ B'(\frac{3}{2}; 0)

Vậy d’ đi qua hai điểm A’(0; 3) và B'(\frac{3}{2}; 0)  

Vẽ d và d’ trên cùng một hệ trục tọa độ 

Các dạng bài Đồ thị hàm số ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án

Từ đồ thị ta thấy tọa độ giao điểm d và d’ là điểm M(\frac{2}{3}; \frac{5}{3}) .

Ví dụ 3. Xét sự tương giao giữa (P) y = 2x^{2} với các đường sau đây:

a) Đường thẳng d1: y = -3x + 5

b) Đường thẳng d2: y = -4x - 2

c) Đường thẳng d1: y = x - 15

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình: 2x^{2} = -3x + 5 ⇔ 2x^{2} + 3x - 5 = 0 (1)

Phương trình (1) là phương trình bậc hai có a + b + c = 2 + 3 - 5 = 0 nên có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = \frac{-5}{2}

⇒ (P) và d1 cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b) Xét phương trình 2x^{2} = -4x - 2 ⇔ 2x^{2} + 4x + 2 = 0 ⇔ 2(x + 1)^{2} = 0 ⇔ x = -1

⇒ (P) và d2 tiếp xúc nhau

c) Xét phương trình 2x^{2} = x - 15 ⇔ 2x^{2} - x + 15 = 0 (1)

Phương trình (1) là phương trình bậc hai có ∆ = (-1)^{2} - 4.2.15 = -119 < 0 nên vô nghiệm

⇒ (P) và d3 không cắt nhau

>> Xem thêm: Tuyển tập đề thi vào 10 môn Toán các tỉnh cập nhật mới nhất

 

4. Dạng 4. Xác định tham số m để thỏa mãn điều kiện

Phương pháp giải: Sử dụng các công thức đã học về hàm số, đồ thị hàm số kết hợp với vẽ đồ thị hàm số để sử dụng các tính chất hình học như tam giác vuông, tam giác cân, định lý Py - ta - go, hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Ví dụ 1: Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m + 1 cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A và B sao cho OA = OB.

Hướng dẫn giải:

Cho x = 0 ⇒ y = m + 1 ⇒ B(0; m +1) thuộc Oy

Cho y = 0 ⇒ x = \frac{-m - 1}{2} ⇒ A ( \frac{-m - 1}{2}; 0) thuộc Ox

OB = |m +1|; OA = ∣ \frac{-m - 1}{2} ∣

Ta có: OA = OB ⇒ ∣ \frac{-m - 1}{2} ∣ = |m + 1|

TH1: \frac{-m - 1}{2} = m + 1 ⇔ −m − 1 = 2m + 2 ⇔ 3m = − 3 ⇔ m = − 1

TH2: \frac{-m - 1}{2} = −m − 1 ⇔ −m − 1 = −2m − 2 ⇔ m = − 1

Vậy m = -1 thì OA = OB.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: y = mx + 1 (m ≠ 0). Biết d cắt hai trục Ox và Oy tại hai điểm A và B. Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 1.

Hướng dẫn giải:

Cho x = 0 ⇒ y = 1 ⇒ B(0; 1) thuộc Oy

Cho y = 0 ⇒ x = \frac{-1}{m} ⇒ A (\frac{-1}{m}; 0) thuộc Ox (với điều kiện m0 đề bài)

OB = |1| = 1

OA = ∣\frac{-1}{m}∣

Vì tam giác OAB vuông tại O ⇒ SΔOAB = \frac{1}{2}OA.OB ⇔ SΔOAB = \frac{1}{2}. ∣\frac{-1}{m}∣.1 = 1 ⇔ ∣\frac{-1}{m}∣ = 2

TH1: \frac{-1}{m} = 2 ⇔ m = \frac{-1}{2}

TH2: \frac{-1}{m} = −2 ⇔ m = \frac{1}{2}

Vậy m = \frac{-1}{2} hoặc m = \frac{1}{2} thì diện tích tam giác OAB bằng 1.

 

5. Dạng 5. Bài toán về đường thẳng và Parabol

Phương pháp giải:

- Cho đường thẳng y = a’x + b và parabol y = ax^{2} (a khác 0). Hoành độ giao điểm của chúng là nghiệm của phương trình: a’x + b = ax^{2}(*). Giải phương trình ta tìm được hoành độ giao điểm, từ đó tìm được tọa độ giao điểm. Tọa độ giao điểm vừa là nghiệm của phương trình đường thẳng, vừa là nghiệm của phương trình parabol.

- Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đường thẳng và parabol, ngược lại, số giao điểm của đường thẳng và parabol là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = x^{2} và đường thẳng d: y = (m + 3)x như hình vẽ.

Các dạng bài Đồ thị hàm số ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án

a) Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình x^{2} − (m + 3)x = 0

b) Biết một giao điểm có hoành độ bằng 3. Tìm tham số m.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của parabol y = x^{2} và đường thẳng d: y = (m + 3)x là: x^{2} = (m + 3)x ⇔ x^{2} − (m + 3)x = 0

Dựa vào đồ thị, ta thấy parabol y = x^{2} và đường thẳng d: y = (m + 3)x có hai giao điểm, do đó, phương trình hoành độ giao điểm của chúng có 2 nghiệm phân biệt hay phương trình x^{2} − (m + 3)x = 0 có hai nghiệm phân biệt.

b) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của parabol y = x^{2} và đường thẳng d: y = (m + 3)x là: x^{2} = (m + 3)x ⇔ x^{2} − (m + 3) x = 0

Mà x = 3 là hoành độ của một giao điểm nên ta có: 3^{2} − (m + 3).3 = 0 ⇔ 9 − 3 m − 9 = 0 ⇔ − 3m = 0 ⇔ m = 0

Vậy m = 0

=> Ngoài ra, quý bạn đọc có thể tham khảo thêm bài viết Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số dễ hiểu nhất.