Mục lục bài viết

1. Các bước để giải bài toán bằng cách lập phương trình
2. Các dạng bài giải bằng cách lập phương trình

1. Các bước để giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

- Xác định đại lượng cần tìm, các đại lượng đã được cung cấp và mối quan hệ giữa chúng.

- Chọn biến ẩn phù hợp và đặt điều kiện cho biến ẩn.

- Biểu diễn các đại lượng đã biết và chưa biết dưới dạng của biến ẩn.

- Lập phương trình để biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình đã lập ở Bước 1

Bước 3: Kiểm tra lại nghiệm của phương trình và rút ra kết luận

- Kiểm tra xem có giá trị của biến ẩn nào thỏa mãn điều kiện của bài toán không.

- Trả lời câu hỏi được đặt trong bài toán.

Các lưu ý khi chọn biến ẩn và điều kiện thích hợp của biến ẩn:

- Thường sẽ chọn biến ẩn là đại lượng được yêu cầu trong câu hỏi.

- Nếu biểu diễn của biến là một chữ số, giá trị của nó thường trong khoảng từ 0 đến 9.

- Biến ẩn thường mang giá trị nguyên dương nếu biểu diễn cho tuổi, sản phẩm, số lượng người, v.v.

- Giá trị của biến ẩn thường lớn hơn 0 nếu nó đại diện cho vận tốc chuyển động

2. Các dạng bài giải bằng cách lập phương trình

Dạng 1: Toán chuyển động

Phương pháp giải:

Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn

- Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn số

- Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết

Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)

Bước 3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn số nếu có và đưa ra kết luận

Một số lưu ý:

- quãng đường = vận tốc × thời gian

- vận tốc xuôi dòng = vận tốc khi nước yên lặng + vận tốc dòng nước

- vận tốc ngược dòng = vận tốc khi nước yên lặng - vận tốc dòng nước

Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Một ô tô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đầu

Giải: Gọi t là thời gian dự định lúc đầu ( t đơn vị là giờ, t> 1 )

Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì thời gian đi từ A đến B là: $t \dotplus 1$ (giờ), quãng đường AB là: 35(t + 2) km (1)

Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì thời gian đi tử A đến B là: t - 1 (giờ), quãng đường AB là: 50(t - 1) km (2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình:

$35 (t\dotplus 2) = 50(t-1)$

$\Leftrightarrow 35t \dotplus 70 = 50t - 50$

$\Leftrightarrow 70 \dotplus 50 = 50t - 35t$ $\Leftrightarrow 120 = 15t$

$\Leftrightarrow t =\frac{120}{5} = 8$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy thời gian dự định ban đầu là 8(giờ) và quãng đường AB dài $35(t \dotplus 2) = 35 \times 10 = 350 (km)$

Dạng 2: Toán công việc (làm chung, làm riêng, năng suất...)

Phương pháp giải:

Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn

- Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn số

- Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết

Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)

Bước 3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn số nếu có và đưa ra kết luận

Lưu ý: Khối lượng công việc = Năng suất × Thời gian

Ví dụ minh họa: Một hợp tác xã dự kiến thu hoạch 200ha lúa trong thời gian đã định. Song thực tế mỗi ngày thu hoạch nhanh hơn so với kế hoạch là 5ha nên đã hoàn thành công việc nhanh hơn dự kiến 2 ngày. Hỏi theo dự kiến mỗi ngày thu hoạch bao nhiêu ha ? (mỗi ngày thu hoạch được số lúa là như nhau)

Giải

Gọi t là số ngày hợp tác xã dự kiến thu hoạch xong 200ha lúa t > 2

⇒ theo dự kiến một ngày hợp tác xã thu hoạch được số ha lúa là $\frac{200}{t}$ (ha)

Thực tế, mỗi ngày hợp tác thu hoạch được là $\frac{200}{t} + 5 = \frac{200 + 5t}{t}$ (ha)

Do đó số ngày hoàn thành công việc là: Các dạng bài Giải bài toán bằng cách lập phương trình ôn thi vào 10 (ngày)

Vì công việc hoàn thành sớm hơn dự kiến 2 ngày nên ta có phương trình

$\frac{200}{200 + 5t\frac{}{}} + 2 = t$

$\Rightarrow 200t \dotplus 2(200 \dotplus 5t) = t(200 \dotplus 5t)$

$\Leftrightarrow 200t \dotplus 400 \dotplus 10t = 200t \dotplus 5t^{2}$

$\Leftrightarrow 5t^{2} - 10t - 400 = 0$

$\Leftrightarrow t = -8, t = 10$

Với t = -8 không thỏa mãn điều kiện (loại)

Với t = 10 thỏa mãn điều kiện (nhận)

Vậy theo dự kiến mỗi ngày hợp tác thu hoạch số ha lúa là $\frac{200}{t} = \frac{200}{10} = 10$ (ha)

Dạng 3: Các bài toán tìm số

Phương pháp

Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn

- Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn số

- Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết

Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)

Bước 3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn số nếu có và đưa ra kết luận

Lưu ý:

- Số có hai chữ số được ký hiệu là: $\bar{ab}$

Giá trị của số: $\bar{ab} = 10a + b$ ; $( 1 \leq a\leqslant 9; 0 \leq b \leq 9, a,b \epsilon N)$

Số có ba chữ số được ký hiệu là $\bar{abc}$

$\bar{abc}$ $= 100a +10b + c, ( 1 \leq a \leq 9; 0 \leq b, c\leq 9; a, b, c \epsilon N)$

Tổng hai số x; y là: $x \dotplus y$

Tổng bình phương hai số x, y là: $x^{2} \dotplus y^{2}$

Bình phương của tổng hai số x, y là: $(x\dotplus y)^{2}$

Tổng nghịch đảo hai số x, y là : $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ .

Ví dụ minh họa : Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 5 và tổng các bình phương hai chữ số của nó bằng 13

Giải Gọi chữ số hàng chục của số tự nhiên có hai chữ số là x (0< x< 5)

⇒ chữ số hàng đơn vị là 5 - x

Vì tổng các bình phương hai chữ số của nó bằng 13 nên ta có phương trình

Các dạng bài Giải bài toán bằng cách lập phương trình ôn thi vào 10

Dạng 4: Các bài toán liên quan đến hình học

Phương pháp

Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn

- Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn số

- Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết

Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)

Bước 3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn số nếu có và đưa ra kết luận

Một số lưu ý:

- Nếu hình chữ nhật có 2 cạnh là a và b thì diện tích của hình chữ nhật là a.b, chu vi của hình chữ nhật là 2(a+b)

- Nếu hình vuông có cạnh bằng a thì diện tích hình vuông là a², chu vi của hình vuông là 4a

- Chu vi tam giác bằng tổng độ dài 3 cạnh, diện tích tam giác bằng một nửa tích độ dài đường cao nhân cạnh đáy tương ứng

- Nếu tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông là a và b, cạnh huyền là c thì $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ (Định lý Pi-ta-go)

Ví dụ minh họa 1: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng cùng tăng thêm 5cm thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng 153 $cm^{2}$ . Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu

Giải

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x cm ( x > 0 )

⇒ chiều dài của hình chữ nhật là (cm)

Chiều rộng tăng thêm 5cm thì có độ dài mới là x+ 5 (cm)

Chiều dài tăng thêm 5cm thì có độ dài mới là 3x + 5 (cm)

Vì diện tích hình chữ nhật mới là 153 $cm^{2}$ nên ta có phương trình

Các dạng bài Giải bài toán bằng cách lập phương trình ôn thi vào 10

Với x=4 thỏa mãn x > 0 (nhận)

Với $x = \frac{-32}{3}$ không thỏa mãn x > 0 (loại)

Vậy hình chữ nhật ban đầu có chiều rộng là 4cm, chiều dài là 12cm. Do đó chu vi của hình chữ nhật ban đầu là: 2(4 + 12) = 32 (cm)

Ví dụ minh họa 2 : Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m. Nếu tăng thêm chiều dài 3m và chiều rộng 2m thì diện tích tăng thêm 45m². Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.

Giải: Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là x(m); y(m). Điều kiện: x > y > 0(*)

Chu vi của mảnh vườn là : 2(x + y) = 34(m). (1)

Diện tích trước khi tăng: (m²).

Diện tích sau khi tăng: (x + 3)(y + 2) (m2)

Sau khi tăng chiều dài và chiều rộng thì diện tích tăng thêm 45m2 nên ta có phương trình : (x + 3)(y + 2) - xy = 45 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

Các dạng bài Giải bài toán bằng cách lập phương trình ôn thi vào 10

Vậy chiều dài là 12m, chiều rộng là 5m.

Dạng 5: Các bài toán liên quan đến tỉ số phần trăm

Phương pháp

B1: Lập phương trình (hệ phương trình)

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn

- Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn số

- Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết

B2: Giải phương trình (hệ phương trình)

B3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn số nếu có và đưa ra kết luận

Ví dụ: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy ?

Giải: Gọi x là số chi tiết máy tổ I làm được trong tháng giêng ( x >0 , $x \epsilon Z$ )

Gọi y là số chi tiết máy tổ II làm được trong tháng giêng ( y >0 , $y \epsilon Z$ )

Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy nên ta có phương trình: x + y = 720 (1)

Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15% nên sản xuất được 1,15x ( chi tiết)

Trong tháng hai, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 1,12y ( chi tiết)

Vì tháng hai cả hai tổ sản xuất được 819 chi tiết nên ta có phương trình

1,15x + 1,12y = 819 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ

Các dạng bài Giải bài toán bằng cách lập phương trình ôn thi vào 10 (thỏa mãn)

Vậy tháng giêng tổ I sản xuất được 420 chi tiết, tổ II sản xuất được 300 chi tiết. Xem thêm: Tuyển tập đề thi vào 10 môn Toán các tỉnh cập nhật mới nhất