Mục lục bài viết

1. Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

a) Phương pháp

Để tìm điều kiện xác định của biểu thức ta làm như sau

Bước 1: Đưa ra điều kiện xác định của biểu thức trong đó lưu ý một số kiến thức sau

\sqrt{A} xác định ⇔ A ≥ 0 (biểu thức A là đa thức)

\frac{A}{B} xác định ⇔ B ≠ 0 (biểu thức A, B là đa thức)

\frac{A}{\sqrt{B}} xác định ⇔ B > 0 (biểu thức A, B là đa thức)

Bước 2: Giải điều kiện và kết hợp các điều kiện

Bước 3: Kết luận

b) Bài tập

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức 

P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{3}{\sqrt{x}+1}-\frac{6\sqrt{x}-4}{x-1}

Hướng dẫn giải:

P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{3}{\sqrt{x}+1}-\frac{6\sqrt{x}-4}{x-1}= \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{3}{\sqrt{x}+1}-\frac{6\sqrt{x}-4}{\left ( \sqrt{x}-1 \right )\left ( \sqrt{x} +1\right )}

Điều kiện: 

\left\{\begin{matrix} x \geq 0 & & \\ \sqrt{x} -1 \neq 0& & \\ \sqrt{x}+1 \neq 0& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0 & & \\ \sqrt{x} \neq 1& & \\ \sqrt{x}\neq -1& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0 & \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right.

Vậy điều kiện xác định của P là x \geq 0 và x \neq 1

 

2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức chưa căn bậc hai, chưa phân thức đại số

a) Phương pháp

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử.

Ở bước này ta hay áp dụng các hằng đẳng thức để phân tích, chẳng hạn như sử dụng hằng đẳng thức: 

A^{2} - B^{2} = \left ( A-B \right )\left ( A+B \right )

x -1 = \left ( \sqrt{x} \right )^{2} -1^{2} = \left ( \sqrt{x} -1\right )\left ( \sqrt{x} +1\right )

x-4 = \left ( \sqrt{x} \right )^{2} - 2^{2}= \left ( \sqrt{x} -2\right )\left ( \sqrt{x} +2\right )

Sử dụng hằng đẳng thức 

A^{3} -B^{3} = \left ( A-B \right )(A^{2}+AB +B^{2})

x\sqrt{x} - 1 = \left ( \sqrt{x} \right )^{3} - 1^{3} = \left ( \sqrt{x} -1\right )\left ( x+\sqrt{x} +1\right )

Sử dụng hằng đẳng thức 

A^{3} + B^{3} = (A+B)\left ( A^{2}-AB +B^{2} \right )

x\sqrt{x} + 1 = \left ( \sqrt{x} \right )^{3} + 1^{3} = \left ( \sqrt{x} +1\right )\left ( x-\sqrt{x} +1\right )

Sử dụng hằng đẳng thức 

\left ( A-B \right )^{2} = A^{2} -2AB +B^{2}

x -4\sqrt{x} + 4 = (\sqrt{x})^{2} - 2.\sqrt{x}.2 + 2^{2} = \left ( \sqrt{x} -2 \right )^{2}

Sử dụng hằng đẳng thức 

\left ( A +B \right )^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}

x + 6\sqrt{x} + 9 = \left ( \sqrt{x} \right )^{2} + 2.\sqrt{x}.3+3^{2} = \left ( \sqrt{x}+3 \right )^{2}

Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu 

Bước 4: Khi nào phân thức tối giản thì ra hoàn thành việc rút gọn

b) Bài tập

Rút gọn biểu thức 

P= \left ( \frac{2}{\sqrt{x}-2} + \frac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}-x} \right): \left ( \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} -\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}\right )

với x > 0, x \neq 4

Hướng dẫn giải: 

P= \left ( \frac{2}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x}-x} \right ):\left ( \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2} \right )

P = \left ( \frac{2}{\sqrt{x}-2} -\frac{\sqrt{x} -1}{x-2\sqrt{x}}\right ): \left ( \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2} \right )

P = \left ( \frac{2}{\sqrt{x}-2} -\frac{\sqrt{x} -1}{\sqrt{x}\left ( \sqrt{x}-2 \right )}\right ): \left ( \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2} \right )

P = \left ( \frac{2\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} \right ): \left ( \frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)-\sqrt{x}\left ( \sqrt{x}-1 \right )}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} \right )

P = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left ( \sqrt{x}-2 \right )}: \frac{x - 4-x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left ( \sqrt{x}-2 \right )}

P = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x-2})}:\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}\left ( \sqrt{x}-2 \right )}

P = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left ( \sqrt{x}-2 \right )}.\frac{\sqrt{x}\left ( \sqrt{x}-2 \right )}{\sqrt{x}-4}= \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-4}

Vậy kết quả rút gọn biểu thức đã cho là: 

P = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-4}

 

3. Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến 

a) Phương pháp

Bài toán: Cho biểu thức P(x) tính giá trị của biểu thức khi x = a (a là số thực)

Cách giải:

+ Nếu biểu thức P(x) đã rút gọn thì trong biểu thức ta thay x bởi a rồi tính

+ Nếu biểu thức P(x) chưa rút gọn thì ta rút gọn P(x) rồi thay x bởi a và tính

Chú ý: Đôi khi ta cũng phải biến đổi số thực a trước rồi mới thay vào biểu thức P(x)

b) Bài tập: Cho biểu thức 

P = \left ( \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} \right )

với x > 0 

Tính giá trị của P khi x = 4

Hướng dẫn giải: 

Ta thấy x = 4

P = \left ( \frac{1}{\sqrt{x}} +\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right ): \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}

P = \left ( \frac{\sqrt{x}+1+x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} \right ): \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}

P = \frac{\sqrt{x}+1+x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}.\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}

P = \frac{\sqrt{x}+1+x}{\sqrt{x}}

Khi x = 4 thì 

P = \frac{\sqrt{x}+1+x}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{4}+1+4}{\sqrt{4}}= \frac{7}{2}

Vậy khi x = 4 thì P = \frac{7}{2}

 

 

4. Dạng 4: Tính giá tị của biến để biểu thức thoả mãn yêu cầu cho trước

a) Phương pháp

Bài toán 1: Tìm x để P(x) = Q (Q có thể là một số hoặc một biểu thức cùng biến với biểu thức P)

Cách giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

Bước 2: Xét phương trình P(x) = Q, giải phương trình tìm x

Bước 3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

Bài toán 2: Tìm x để P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a (Q có thể là một số hoặc một biểu thức cùng biến với biểu thức P)

Cách giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

Bước 2: Xét phương trình P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a, giải bất phương trình tìm x

Bước 3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

b) Bài tập: Cho P = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2} với x\geq 0. Tìm x biết P = -\sqrt{x}

Hướng dẫn giải: 

P = -\sqrt{x} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}= -\sqrt{x}

\Leftrightarrow \sqrt{x}-1= -\sqrt{x}\left ( \sqrt{x} +2\right )

\Leftrightarrow x + 3\sqrt{x}-1 =0 (*)

Đặt t = \sqrt{x} \left ( t\geq 0 \right ), khi đó phương trình (*) trở thành:

t^{2} +3t-1 =0

Ta có \Delta = 9 - 4.1.(-1) = 13 > 0 nên phương trình t^{2} +3t -1 = 0 có hai nghiệm phân biệt 

t = \frac{-3+\sqrt{13}}{2} (nhận), t = \frac{-3-\sqrt{13}}{2} (loại)

Với t = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \Rightarrow \sqrt{x}= \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}

\Leftrightarrow x= \left ( \frac{-3+\sqrt{13}}{2} \right )^{2} = \frac{22-6\sqrt{13}}{4}= \frac{11-3\sqrt{13}}{2}

Ta thấy x = \frac{11-3\sqrt{13}}{2}>0 (thoả mãn điều kiện x\geq 0)

Vậy với x =\frac{1-3\sqrt{13}}{2} thì P = -\sqrt{x}

 

 

5. Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên

a) Phương pháp

- Trường hợp 1: NếuP(x) = \frac{a}{Q(x)}( a là số thực, Q(x) là một biểu thức của x) thì ta làm như sau

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

Bước 2: Lập luận để biểu thức q nhận giá trị nguyên thì Q(x) phải là ước của a. Từ đó tìm x

Bước 3: Đối chiếu x tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

- Trường hợp 2: Nếu q( A(x), B(x) là các biểu thức của x trong đó bậc của A(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của B(x)) thì ta làm như sau

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

Bước 2: Lấy A(x) chia cho B(x) đưa P(x) về dạng q ( a là số thực)

Bước 3: Làm tương tự trường hợp 1

b) Bài tập: Cho P = \frac{3}{\sqrt{x} +1}. Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên 

Hướng dẫn giải: 

Điều kiện xác định của P là: x\geq 0

Để P nguyên thì \sqrt{x}+1 là ước uẩ 3, tức là \sqrt{x}+1 nhận các giá trị -3, 3, -1, 1

\sqrt{x}+1 = -3 \Leftrightarrow \sqrt{x} = -4 (vô nghiệm)

\sqrt{x}+1= -1\Leftrightarrow \sqrt{x}= -2 (vô nghiệm)

\sqrt{x}+ 1 = 3 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 2\Leftrightarrow x = 4 (thoả mãn x\geq 0)

\sqrt{x}+1= 1\Leftrightarrow \sqrt{x}= 0 ( thoả mãn  x \geq 0)

 Vậy với x = 0, x = 4 thì biểu thức P nguyên 

 

6. Dạng 6: Chứng minh biểu thức thoả mãn yêu cầu cho trước 

a) Phương pháp

Để chứng minh biểu thức P thỏa mãn yêu cầu cho trước ta làm như sau

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định của P

+Bước 2: Rút gọn P nếu cần

+Bước 3: Chứng minh yêu cầu đề bài đặt ra

b) Bài tập

Cho A = \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}

Hướng dẫn giải: 

Ta có: 

A = \frac{x +2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}

= \frac{x+2}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}

Điều kiện:  x \geq 0, x \neq 1

Rút gọn biểu thức 

A = \frac{x+2+\left ( \sqrt{x}+1\right )\left ( \sqrt{x}-1 \right )-\left ( x+\sqrt{x} +1\right )}{\left ( \sqrt{x}-1 \right )(x +\sqrt{x}+1)}

A = \frac{x+2+x-1-x-\sqrt{x}-1}{\left ( \sqrt{x}-1 \right )\left ( x+\sqrt{x}+1 \right )}

A= \frac{x-\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}

= \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}

Ta có 

A < \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}< \frac{1}{3} (*)

Vì x\geq 0 nên x + \sqrt{x} +1 > 0 do đó 3(x+\sqrt{x}+1)> 0. Nhân hai vế của (*) với 3(x+\sqrt{x}+1)> 0 ta được bất đẳng thức cùng chiều 

\frac{3(x+\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1}< \frac{3(x+\sqrt{x}+1)}{3}

\Leftrightarrow 3\sqrt{x}< x+\sqrt{x}+1

\Leftrightarrow x -2\sqrt{x}+1> 0\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x} -1\right )^{2}> 0

(luông đúng với mọi x\geq 0, x\neq 1)

Vậy với mọi x\geq 0,x\neq 1 thì A < \frac{1}{3}

 

7. Dạng 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

a) Phương pháp

Cách 1: Ta biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một biểu thức không âm và một hằng số

- Nếu biến đổi biểu thức về dạng tổng của một biểu thức không âm và một hằng số ta tìm được GTNN

- Nếu biến đổi biểu thức về dạng hiệu của một hằng số và một biểu thức không âm ta tìm được GTLN

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

Cho hai số không âm a và b ta có:

\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}

Dấu ‟ = ” xảy ra khi a = b

Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}\geq \begin{vmatrix} a+b \end{vmatrix}

Dấu ‟ = ” xảy ra khi a.b ≥ 0

b) Bài tập

Cho P = \frac{3}{\sqrt{x}+2}, tìm GTLN của biểu thức P

Hướng dẫn giải chi tiết: 

Điều kiện xác định của P là: x\geq 0

Ta có x\geq 0

\Leftrightarrow \sqrt{x} \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x}+2\geq 2

\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+2} \leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+2}\leq \frac{3}{2}

Dấu "=" xảy ra x = 0

Vậy Giá trị lớn nhất (GTLN) của P là \frac{3}{2} đạt được khi và chỉ khi x =0

>> Xem thêm: Chuyên đề vi-et luyện thi vào lớp 10 môn toán đầy đủ nhất

 

8. Một số bài tập tự luyện 

Bài tập 1: Cho biểu thức 

P = \left ( 1-\frac{1}{\sqrt{x}} \right ):\left ( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} + \frac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\right ), với x > 0 và x\neq 1

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của biểu thức P tại x = \sqrt{2022+4\sqrt{2018}}-\sqrt{2022-4\sqrt{2018}}

Bài tập 2: Cho biểu thức: A = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}} và B = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}-\frac{7\sqrt{x}-9}{x-9} (với x >0, x\neq 9)

a) Tính giá trị biểu thức A khi x = \sqrt{4-2\sqrt{3}}

b) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm x để biểu thức \frac{A}{B}= 1

d. Tìm các giá trị m để có x thoả mãn \frac{A}{B}= m

Bài tập 3:  Cho biểu thức

P = \left ( \frac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}} +\frac{8x}{4-x}\right ):\left ( \frac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}} \right )

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P = -1

c) Tìm m để với mọi giá trị x >9 ta có: m\left ( \sqrt{x}-3 \right )P> x+1

Bài tập 4: 

1) Cho biểu thức A = \frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}. Tính giá trị của A khi x = 36

2) Rút gọn biểu thức B = \left ( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4} +\frac{4}{\sqrt{x}-4}\right ): \frac{x+16}{\sqrt{x}+2} (với x\geq 0; x\neq 16)

3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A-1) là số nguyên 

Bài tập 5: Với x > 0 cho hai biểu thức 

A = \frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}} và B = \frac{\sqrt{x} -1 }{\sqrt{x}}+ \frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64

b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm x để \frac{A}{B}> \frac{3}{2}

Bài tập 6: Cho biểu thức 

P = \frac{x+2}{x\sqrt{x}+1} + \frac{\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}

a. Rút gọn P

b. Tìm x để \begin{vmatrix} P \end{vmatrix}= \frac{2}{3}

c. Chứng minh rằng với những giá trị của x làm cho P được xác định thì P<1

Bài tập 7: Cho biểu thức P = \left ( \frac{1}{\sqrt{x}} +\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right ): \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}, với x > 0

a. Rút gọn biểu thức P

b. Tìm giá trị của P khi x = 4

c. Tìm x để P = \frac{13}{3}

Bài tập 8: Cho biểu thức P =\frac{2x+2}{\sqrt{x}}+\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}, với x > 0; x\neq 1

a. Rút gọn biểu thức P

b. So sánh P với 5

Bài tập 9: Cho biểu thức M = \left ( \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{x\sqrt{x}-1} \right ).\frac{3\sqrt{x}-3}{x+\sqrt{x}}; x > 0, x\neq 1

a. Rút gọn M

b. Tìm x nguyên để M có giá trị nguyên 

Bài tập 10: Cho biểu thức P = \left ( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} -\frac{\sqrt{x}}{x-1}\right ):\left ( \frac{2}{x}-\frac{2-x}{x\left ( \sqrt{x}+1 \right )} \right )

a. Rút gọn P

b. Tìm x để P = 2

Bài tập 11: Cho P = \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+ \frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}

a) Rút gọn P 

b) Chứng minh: P < \frac{1}{3} với x\geq 0 và x\neq 1

Bài tập 12: Cho biểu thức M = \frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}+\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\frac{\sqrt{x+3}}{2-\sqrt{x}}

a) Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M

b) Tìm x để M = 5

c) Tìm x thuộc Z để M thuộc Z

Bài tập 13: Cho biểu thức A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3x+9}{x-9}, với x\geq 0 và x\neq 9

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của x để A= \frac{1}{3} và tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài tập 14: Cho biểu thức A= \frac{x+1-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}

a) Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa 

b) Rút gọn biểu thức A

c) Với giá trị nào của x thì A <-1

Bài tập 15: Cho biểu thức A = \left ( \frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}} -\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right ):\left ( 1-\frac{3-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right )

a) Tìm ĐKXĐ của biểu thức A

b) Rút gọn A

c) Tính giá trị của biểu thức A khi x-\frac{1}{6-2\sqrt{5}}

d) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhân giá trị nguyên 

e) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng -3

f) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn -1