Mục lục bài viết

Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Các bài toán ứng dụng định lý Vi-ét thường gặp
Bài tập mẫu

Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

1. Định lý Vi-ét thuận

Cho phương trình bậc hai một ẩn $ax^{2} + bx +c = 0 (a\neq 0)$ có hai nghiệm x₁; x₂. Khi đó hai nghiệm này thoả mãn hệ thức dưới đây:

$\left\{\begin{matrix} S= x_{1} +_{2}= -\frac{b}{a}& \\ P= x_{1} x_{2}= \frac{c}{a}& \end{matrix}\right.$

Hệ quả

Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x₁ = 1; $x_{2}=\frac{c}{a}$

+ Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x₁ = -1; $x_{2}= -\frac{c}{a}$

2. Định lý Vi-ét ảo

Giả sử hai số thực x₁; x₂ thoả mãn hệ thức

$\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2}= S& \\ x_{1}x_{2} = P \end{matrix}\right. \left ( S^{2} -4P\geq 0\right )$

Thì x_1; x₂ là hai nghiệm của phương trình bậc hai x² - Sx + P = 0

Các bài toán ứng dụng định lý Vi-ét thường gặp

Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình

Phương pháp:

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm x₁ = 1 còn nghiệm kia là $x_{2}= \frac{c}{a}$

Nếu a - b +c = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm là x₁ = -1. Còn nghiệm kia là $x_{2}= -\frac{c}{a}$

Với những phương trình bậc hai có hệ số a, b, c đơn giản có thể dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của chúng

Tìm hai nghiệm khi biết tổng và tích của chúng

Phương pháp:

Cho phương trình bậc hai một ẩn $ax^{2} + bx + c = 0 \left ( a\neq 0 \right ) \left ( 1 \right )$

+ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi: $\frac{c}{a}< 0$

+ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện dưới đây:

$\Delta > 0$ ( hoặc $\Delta ^{'}> 0$ ) (điều kiện để phương trình có hai nghiệm)
$\frac{c}{a}> 0$ ( điều kiện để hai nghiệm là cùng dấu)
$-\frac{b}{a}> 0$ ( điều kiện để có hai nghiệm dương)

+ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện dưới đây:

$\Delta > 0$ (hoặc $\Delta^{'}> 0$ ) ( điều kiện để phương trình hai nghiệm )
$\frac{c}{a}> 0$ ( điều kiện để hai nghiệm là cùng dấu)
$-\frac{b}{a}> 0$ ( điều kiện để có hai nghiệm dương)

+ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng nhỏ hơn só m cho trước khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện dưới đây:

$\Delta > 0$ ( hoặc $\Delta^{'} > 0$ ) ( điều kiện để phương trình có hai nghiệm)
( x₁ - m) ( x₂ - m ) > 0
( x₁ - m) + (x₂ - h) < 0

+ Phương trình (1) có hai nghiệm cùng lớn hơn số m cho trước khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện dưới đây:

$\Delta> 0$ ( hoặc $\Delta^{'}> 0$ ) ( điều kiện để phương trình có hai nghiệm)
( x₁ - m) ( x₂ - m) > 0
( x₁ - m) + (x₂ - h) > 0

+ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt phân biệt, trong đó một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn một hằng số m cho trước khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện dưới đây:

$\Delta> 0$ ( hoặc $\Delta^{'}> 0$ ) ( điều kiện để phương trình có hai nghiệm)
( x₁ - m) ( x₂ - m) < 0

Bài tập mẫu

Bài 1: Hãy tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a. 100x² + 99x - 1 = 0

b. x² - 5x + 6 = 0

Hướng dẫn giải:

a. Do 100 - 99 + (-1) = 0 nên phương trình a có nghiệm là x = -1, còn nghiệm kia sẽ là: $x = -\frac{(-1)}{100}= \frac{1}{100}$

b. Ta thấy phương trình b có biệt thức là một số dương

( vì 5² - 4.1.6 = 1 > 0 ) nên phương trình b có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có tổng hai nghiệm bằng 5 và tích hai nghiệm bằng 6. Ta nhận thấy được cặp số 2 và 3 là thoả mãn hệ thức. Vậy hai nghiệm của phương trình là: x₁ = 3 và x₂ = 2

Bài 2: Cho phương trình x² + 5x + 6 = 0 (1). Gọi x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình, không tính giá trị của x₁ và x₂ hãy tính giá trị của biểu thức sau:

$A = \frac{6x_{1}^{2}+10x_{1}x_{2}+6x_{2}^{2}}{5x_{1}x_{2}^{3}+5x_{1}^{3}x_{2}}$

Hướng dẫn giải:

$\frac{6x_{1}^{2}+10x_{1}x_{2}+6x_{2}^{2}}{5x_{1}x_{2}^{3}+ 5x_{1}^{3}x_{2}}=\frac{6(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+10x_{1}x_{2}}{5x_{1}x_{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}$

$= \frac{6}{5x_{1}x_{2}}+ \frac{2}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$

$= \frac{6}{5x_{1}x_{2}}+ \frac{2}{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}$

Do $x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=6; x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}= -5$ nên:

$\frac{6}{5x_{1}x_{2}}+ \frac{2}{(x_{1}+x_{2}^{2})- 2x_{1}x_{2}}= \frac{6}{5.6}+\frac{2}{25-12}= \frac{1}{5}+ \frac{2}{13}=\frac{23}{65}$

Vậy $A = \frac{23}{65}$

Bài 3: Cho phương trình x²+ 2(m+1)x + m² = 0. Tìm m có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm bằng -2

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có: $\Delta ' = (m + 1)^{2} - m^{2}= 2m + 1$

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta ' \geq 0$

$2m + 1\geq 0$

$m\geq -\frac{1}{2}$

Vì x = -2 là nghiệm của phương trình nên ta có 4 - 4(m +1) + m² = 0

⇔ m² - 4m = 0

⇔ m( x- 4) = 0

⇔ m = 0; m = 4 ( thoả mãn điều kiện)

Vậy với m = 0, m = 4 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng -2

Bài 4: Cho phương trình: x² - (4m - 1)x + 3m² -2m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}= 7$

Hướng dẫn giải:

x² - (4m - 1)x + 3m² - 2m = 0

Ta có $\Delta = \left [ -(4m-1) \right ]^{2} - 4.1\left ( 3m^{2} -2m\right )$

= 16m² - 8m + 1 - 12m² + 8m

= 4m² + 1 > 0 với mọi m

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Theo hệ thức vi-ét ta có: $\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 4m - 1& \\ x_{1}x_{2} = 3m^{2} - 2m & \end{matrix}\right.$

Theo câu ra:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}= 7$

$\Leftrightarrow (x_{1}- x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = 7$

$\Leftrightarrow 16m^{2} - 8m + 1 - 6m^{2} + 4m - 7 = 0$

$\Leftrightarrow 10m^{2} -4m - 6 = 0$

$\Leftrightarrow 5m^{2} - 2m -3 = 0$

Ta có a + b + c = 5 + (-2) + (-3) = 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $m_{1}= 1, m_{2}= \frac{-3}{5}$

Vậy m₁= 1, $m_{2}=\frac{-3}{5}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn $x_{1}^{2} +x_{2}^{2} = 7$

Bài 5: Không phải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm ( nếu có) của các phương trình sau:

a. x² - 6x + 7 = 0

b. 5x² - 3x + 1 = 0

Hướng dẫn giải:

a. Ta có $\Delta '= (b)^{2} - ac = (-3)^{2} - 7 = 9 - 7 = 2 > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo Vi-et ta có:

$\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2}= \frac{-b}{a}=6& \\ x_{1}.x_{_{2}}= \frac{c}{a}= 7& \end{matrix}\right.$

Vậy tổng 2 nghiệm bằng 6, tích 2 nghiệm bằng 7

b. Ta có $\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4.5.1 = 9 - 20 = -11 < 0$ nên phương trình vô nghiệm

Suy ra không tồn tại tổng và tích các nghiệm.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm m để phương trình x² - 10mx + 9m = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x₁- 9x₂ = 0

Bài 2: Tìm giá trị m để phương trình 2x² + mx + m - 3 = 0 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớ hơn nghiệm dương.

Bài 3: Cho phương trình: x² - 2mx - 6m - 9 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thoả mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 13$

Bài 4: Cho phương trình: x² - 2mx + 2m - 4 = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2020 để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.

Bài 5: Gọi x_1; x₂là các nghiệm của phương trình x² - 3x - 7 = 0. Không giải phương trình tính:

$A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$

$B = (3x_{1} + x_{2}) (x_{1}+3x_{2})$

Bài 6: Tìm m để phương trình x² - 10mx + 9m = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x₁ - 9x₂ = 0

Bài 7: Cho phương trình x² - 7x + q = 0, biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình

Bài 8: Cho phương trình x² - qx + 50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm và có một nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia. Tìm q và hai nghiệm của phương trình

Bài 9: Cho phương trình 2x² + (2m -1)x + m - 1 = 0 ( m là tham số). tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trịn đã cho mà không phụ thuộc vào m

Bài 10: Cho phương trình bậc hai: x² + 2(m -1)x - ( m + 1) = 0. Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2

Bài 11: Cho phương trịn bậc hai x² + 2(m-1)x - ( m + 1) = 0. Tìm giá trị m để phương trình có một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn.

Bài 12: Cho phương trình x² + ( m + 2)x + m -1 = 0. Chứng minh rằng với mọi m phương trịn có nghiệm. Tìm m để $A = x_{1}^{2}+x_{2}^{2} - 3x_{1}x_{2}$

Bài 13: Cho phương trình: x² + 4x - m²-5m = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm sao cho |x₁ - x₂| = 4

Bài 14: Cho phương trình: x² - bx + 6 = 0, giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt, biết rằng một nghiệm của phương trình là 2, nghiệm còn lại của phương trình sẽ là:

a. 1 b. -3 c. 3 d. -2001

Bài 15: Để phương trình x² + 2mx + m² + m -1 = 0 có tổng của hai nghiệm bằng -6, thì m phải thoả mãn điều kiện nào?

a. m = 3. c. m < 1

b. m = -3 d. Không có giá trị nào của m

Bài 16: Cho phương trình x² - 2mx + 2m - 3 = 0. Tìm m có hai nghiệm x₁ và x₂ mà $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}= 5$ . Tính x₁ + x₂ = ?