Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

1. Cách giải phương trình lượng giác Sin x= a

1. Nếu |a|>1 thì phương trình vô nghiệm.

2. Nếu |a|≤1 thì chọn cung α sao cho sinα=a

Khi đó (1)⇔sinx=sinα

x=α+k.2π ( k thuộc Z)

x=π−α+k.2π(k∈Z)

Các trường hợp đặc biệt

2. Cách giải phương trình lượng giác Cos x= a

Nếu  ∣a∣>1, thì phương trình cos(α)=a không có nghiệm trong khoảng giá trị của α. Điều này xảy ra vì giá trị tối đa của hàm cosinus là 1 và tối thiểu là -1. Do đó, nếu  ∣a∣>1, thì không có giá trị của α nào có thể làm cho  ⁡ cos(α)=a

Nếu  ∣a∣≤1, tức là  a nằm trong khoảng từ -1 đến 1 (bao gồm cả -1 và 1), thì có giá trị của  α mà làm cho  cos(α)=a. Để tìm giá trị của  α, bạn có thể sử dụng hàm ngược của cosinus (còn được gọi là hàm arccos hoặc inverse cosine).

Cụ thể:  α=arccos(a) Giá trị của  α ở đây sẽ nằm trong khoảng từ 0 đến  π (hoặc 0 đến 180 độ) nếu a là dương và từ 0 đến π (hoặc 0 đến -180 độ) nếu  a là âm

 Nhớ rằng các phương trình lượng giác có thể có nhiều nghiệm chứ không chỉ có một nghiệm duy nhất, tùy thuộc vào giá trị của  a và khoảng giá trị của  α.

Khi đó thì cos x= a

<=> cos x= cos = cos  

<=> x=  + k.2( k thuộc Z)

x= -  + k.2 (k thuộc Z)

3. Cách giải phương trình lượng giác tan x= a

Chọn cung α sao cho tanα=a.

Khi đó Phương trình tan x= a

⇔tanx=tanα

⇔x=α+k.π(k∈Z)

α=arctan(a) Giá trị của  α được xác định bởi hàm tan (hoặc inverse tangent) và nằm trong khoảng từ - 2/ π ​ đến  2/  π ​ (hoặc từ -90 độ đến 90 độ).

Sau đó, bạn nói rằng phương trình⁡ tan(x)=tan(α) có nghiệm là x=α+kπ với k là một số nguyên.

Điều này là hoàn toàn chính xác. Phương trình  tan(x)=tan(α) có nghiệm xảy ra khi giá trị của  x và  α cùng thuộc về cùng một khoảng của hàm tan.

Và vì hàm tan có chu kỳ  π, nó sẽ có các nghiệm lặp lại ở các điểm

x=α+kπ với  k là một số nguyên bất kỳ.

Ví dụ: Nếu α= 4 /π ​ , thì  x= 4 /π ​ +kπ với  k là bất kỳ số nguyên sẽ là các giá trị của  x thỏa mãn tan(x)=tan( 4 π ​ ).

4. Cách giải phương trình lượng giác cot x= a

Cot x= cot a 

<=> x= a+ k (k thuộc Z)

Cotx = a

=> x = arccota + k ( k thuộc Z)

Các trường hợp đặc biệt

cotx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ (k ∈ Z)

cotx = ±1 ⇔ x = ± π/4 + kπ (k ∈ Z)

5. Một số bài tập về phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1: Phương trình cos23x = 1 có nghiệm là:

A. x = kπ, k ∈ Z.

B. x = k π/2 , k ∈ Z.

C. x = k π/ 3 , k ∈ Z.

D. x = k π/ 4 , k ∈ Z.

Bài 2: Phương trình tan( x - π/ 4 ) = 0 có nghiệm là:

A. x = π/4 + kπ, k ∈ Z.

B. x = 3 π/4 + kπ, k ∈ Z.

C. x = kπ, k ∈ Z.

D. x = k2π, k ∈ Z.

Bài 3:  Phương trình cot( x + π/ 4 ) = 0 có nghiệm là:

A. x = - π/4 + kπ, k ∈ Z.

B. x = π/4 + kπ, k ∈ Z.

C. x = - π/4 + k2π, k ∈ Z.

D. x = π/4 + k2π, k ∈ Z.

Bài 4: Trong [0;2 π), phương trình sin2x + sinx = 0 có số nghiệm là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài 4: Số nghiệm của phương trình sin(x + π/ 4 ) = 1 thuộc [0;3π] là:

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Bài 5: Phương trình sinx = cosx có số nghiệm thuộc đoạn [0;π] là:

A. 1

B. 4

C. 5

D. 2

Bài 6:  Phương trình sin2x = 1 có nghiệm là?

Bài 7: Phương trình sin(πcos2x) = 1 có nghiệm là?

Bài 8: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau?

6. Tại sao các bạn học sinh gặp khó khăn khi làm bài tập về lượng giác cơ bản?

Có một số lý do khiến các học sinh thường gặp khó khăn khi làm bài tập về lượng giác cơ bản:

Sự phức tạp của các công thức: Các công thức lượng giác có thể rất phức tạp và dễ gây nhầm lẫn. Việc phải nhớ và áp dụng chính xác các công thức này đôi khi khá khó khăn. Thay vì chỉ nhớ công thức, hãy hiểu cách các công thức hoạt động. Hiểu tại sao chúng là như vậy và tại sao chúng có thể giúp giải quyết các bài toán lượng giác sẽ giúp bạn nhớ lâu hơn và áp dụng chúng một cách tự tin.  Khi gặp một bài toán lượng giác, hãy cố gắng phân tích vấn đề và vẽ hình minh họa. Hình ảnh thường giúp bạn hiểu rõ hơn về tình huống và cách áp dụng các công thức

Sự kết hợp của đại số và lượng giác: Trong nhiều bài tập, học sinh phải kết hợp kiến thức về đại số với lượng giác. Điều này có thể làm tăng độ khó của bài tập.

Khái niệm góc và đơn vị đo góc: Một số học sinh có thể gặp khó khăn trong việc hiểu khái niệm về góc và đơn vị đo góc như radian và độ.

Khả năng hiểu và ứng dụng: Lượng giác thường đòi hỏi khả năng hiểu và ứng dụng kiến thức vào thực tế. Học sinh có thể gặp khó khăn trong việc áp dụng lượng giác vào các vấn đề thực tế hoặc bài toán phức tạp.

Thiếu thời gian và luyện tập: Đôi khi, lượng giác cơ bản không được luyện tập đầy đủ do hạn chế về thời gian trong giảng dạy, điều này có thể làm cho học sinh thiếu thục nghiệm và tự tin khi giải quyết bài tập.

Không hiểu rõ ý nghĩa hình học: Lượng giác thường liên quan đến hình học, đặc biệt là trong tam giác vuông. Nếu học sinh không hiểu rõ ý nghĩa hình học của các hàm lượng giác, họ có thể gặp khó khăn trong việc áp dụng chúng vào các bài toán.

Để giải quyết các khó khăn này, học sinh cần thực hành và luyện tập thường xuyên, hiểu rõ các khái niệm cơ bản, và biết cách áp dụng chúng vào các bài tập và vấn đề thực tế. Cũng nên tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc nguồn tư duy bổ sung như sách giáo trình, video hướng dẫn, và bài giảng trực tuyến để củng cố kiến thức về lượng giác. Theo đó thì một số cách và phương hướng cơ bản sau đây để yêu cầu:

+ Làm việc theo các quy tắc cơ bản: Tập trung vào việc hiểu và nhớ các công thức cơ bản trước. Các công thức này thường được sử dụng để dẫn đến các công thức phức tạp hơn.

+ Sử dụng hình vẽ và hình ảnh: Hình vẽ và hình ảnh có thể giúp bạn hình dung cách các góc và đối tượng trong bài toán liên quan đến nhau, giúp bạn dễ dàng hình dung và áp dụng công thức.

+ Luyện tập thường xuyên: Luyện tập là cách tốt nhất để làm quen với các công thức lượng giác. Hãy giải nhiều bài tập khác nhau để củng cố kiến thức. Luyện tập giúp bạn củng cố kiến thức về các công thức, quy tắc và tính chất của lượng giác. Bạn sẽ trở nên quen thuộc và tự tin hơn khi áp dụng chúng vào các tình huống thực tế. Bài tập lượng giác thường liên quan đến việc giải quyết các vấn đề hình học và toán học. Luyện tập thường xuyên giúp bạn phát triển kỹ năng giải quyết các loại bài toán này.

+ Sử dụng máy tính hoặc ứng dụng: Trong một số trường hợp, máy tính hoặc ứng dụng có thể giúp bạn tính toán và kiểm tra kết quả dễ dàng hơn.

+ Học cách suy luận công thức: Thay vì nhớ thuộc lòng tất cả các công thức, học cách suy luận chúng từ các công thức cơ bản và quy tắc. Học cách suy luận các công thức lượng giác từ các công thức cơ bản và quy tắc là một kỹ năng quan trọng giúp bạn hiểu sâu hơn về lượng giác và tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập.

Mong rằng thông qua những nội dung mà chúng tôi cung cấp thì đã giúp cho các bạn có thể có thêm nhiều nguồn thông tin kiến thức về giải phương trình lượng giác cơ bản. Theo đó thì đối với những nội dung này thì đã giúp cho các bạn có thể học tốt hơn và có phương pháp học hợp lý

Tham khảo thêm: Bài tập cuối tuần môn Toán dành cho lớp 5: Tuần 21 - Đề 2