1. Đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp là gì?
- Khái niệm:
+ Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác này gọi là nội tiếp đường tròn.
+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.
- Định lý:
+ Bất kì đa giác đều nào cũng có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp.
+ Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.
+ Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc.
- Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp đa giác đều.
Đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác.
Ta có:
- Mở rộng:
+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh.
+ Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến 1 cạnh.
+ Cho n_ giác đều cạnh a.
Khi đó:
Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi).
Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng
Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng 360°/n.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp
Bán kính đường tròn nội tiếp
Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp:
R2 - r2 = a2/ 4
Diện tích đa giác đều
S = 1/ 2 . nar
Ví dụ cụ thể:
Một đường tròn có bán kính R = 3cm.
Tính diện tích hình vuông nội tiếp đường tròn đó.
Lời giải:
Ta có: Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
Do tứ giác nội tiếp là hình vuông với n = 4, khi đó: a = R√2 = 3√2.
Diện tích hình vuông là: S = a2 = (3√2)2 = 18 cm2.
2. Xác định tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác
- Khi 3 cạnh của tam giác là tiếp tuyến của đường tròn và đường tròn nằm trong tam giác thì ta gọi đường tròn đó là đường tròn nội tiếp tam giác.
Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC
– Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua cả 3 đỉnh của tam giác. Có thể nói cách khác là tam giác nội tiếp đường tròn.
Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác ABC
- Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác:
Để xác định được tâm của đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác các em cần ghi nhớ lý thuyết:
+ Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác (có thể là 2 đường phân giác)
+ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung của ba cạnh tam giác (có thể là giao điểm hai đường trung trực)
- Tính các đại lượng liên quan đến đa giác nội tiếp ngoại tiếp
Phương pháp giải:
Ta sử dụng một số khái niệm công thức sau:
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đường tròn đến một đỉnh bất kỳ của đa giác đó.
- Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đường tròn đến một cạnh bất kỳ của đa giác đó.
- Cho đa giác n – cạnh đều có cạnh bằng a ta có:
+ Chu vi đa giác là: c = n.a (đơn vị độ dài).
+ Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo là [( n − 2 ) .180 °]/ n.
+ Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo là 360 °/ n .
+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = a/ (2. sin. 180 °/ n)
⇒ a = 2. R. sin 180 °/ n.
+ Bán kính đường tròn nội tiếp: r = a/ (2. tan 180 °/ n) ⇒ a = 2. r . tan 180 °/ n.
+ Diện tích đa giác đều: S = 1 2 n . a . r (đơn vị diện tích).
- Bài tập minh họa
Bài tập số 1:
Hãy xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Biết rằng tam giác ABC là tam giá đều với các cạnh có kích thước là 6cm.
Hướng dẫn giải
Gọi lần lược các điểm D là trung điểm của cạnh BC; điểm E là trung điểm của cạnh AB.
Ta gọi giảm điểm của đoạn thẳng AD sẽ giao với cạnh CE là điểm O.
Do tam giác ABC đều nên đường trung tuyến đồng thời cũng là đường cao, đường phân giác và đường trung trực của tam giác ABC.
Từ những điều trên, điểm O chính là giao điểm của 3 đường trung trực nên ta có thể suy ra O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Tam giác ABC có CE là đường trung tuyến
=> CE cũng chính là đường cao.
Áp dụng định lý Py - ta - go trong tam giác vuông AEC ta có:
CE^2 = AC^2 – AE^2 = 36 – 9 = 25 suy ra CE = 5.
Bên cạnh đó ta có điểm O là trọng tâm của tam giác ABC nên suy ra:
CO = 2/3 CE = 2/3 x 5 = 10/3.
Như vậy, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có trọng tâm O và bán kính là:
OC = 10/3.
3. Xác định tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tứ giác
Bài 1:
a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.
b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).
c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r).
Hướng dẫn giải
a) Chọn điểm O là tâm, mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.
b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau.
Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm).
c) Vẽ OH ⊥ BC.
⇒ OH là khoảng cách từ tâm O đến BC
Vì AB = BC = CD = DA ( ABCD là hình vuông) nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA bằng nhau ( định lý lien hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây)
⇒ O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD
OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Tam giác vuông OBC có OH là đường trung tuyến:
=> OH = 1/2 BC = BH
Xét tam giác vuông OHB có:
Vẽ đường tròn (O; OH). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh.
Bài 2:
Cho hình vuông sau,
Nhận xét nào sau đây đúng?
A. Bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn lớn hơn bán kính đường tròn nội tiếp của hình vuông đó.
B. Bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn bằng bán kính đường tròn nội tiếp của hình vuông đó.
C. Bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn nhỏ hơn bán kính đường tròn nội tiếp của hình vuông đó.
D. Bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn bằng một nửa bán kính đường tròn nội tiếp của hình vuông đó.
Đáp án A
Hướng dẫn giải:
Xét hình vuông ABCD có tâm O, kẻ OM ⊥ CD (M ∈ CD)
Lúc đó OD là bán kính đường tròn ngoại tiếp,
OM là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD
ΔOMD vuông tại M nên OD ≥ OM (1)
Nếu OD = OM thì khi đó đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp là hai đường tròn có chung tâm O và độ dài hai bán kính bằng nhau nên chúng trùng nhau.
Lúc đó không tồn tại hình vuông vừa có đỉnh trên đường tròn (O) vừa có cạnh tiếp xúc với đường tròn (O)
Do đó OD ≠ OM kết hợp với (1) ta có OD > OM (đpcm).
Bài 3:
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.
Đặt R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp lục giác.
Viết biểu thức liên hệ giữa R và r
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Lục giác đều ABCDEF nên chia đường tròn ngoại tiếp thành 6 cung bằng nhau,
suy ra:
Tam giác AOF cân tại O có:
Vẽ đường cao AH của ΔAOF
Khi đó: OH = r, AH = R/ 2
Xét ΔAOH vuông tại H nên
Trên đây là một số vấn đề đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp. Để hiểu hơn một số nội dung được trình bày, tham khảo bài viết: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm.
Trân trọng !
