1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O.
Gọi i→, j→, k→ là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
2. Tọa độ trong không gian
- Tọa độ của vectơ
Định nghĩa: u→ = (x; y; z) ⇔ k→ = xi→ + yj→ + zk→
Tính chất: Cho a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3), k ∈ R
• a→ ± b→ = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3; )
• ka→ = (ka1; ka2; ka3)
• 0→ = (0; 0; 0), i→ = (1; 0; 0), j→ = (0; 1; 0), k→ = (0; 0; 1)
• a→ cùng phương b→ (b→ ≠ 0→) ⇔ a→ = kb→ (k ∈ R)
• a→.b→ = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3
• a→ ⊥ b→
⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
- Tọa độ của điểm:
Định nghĩa: M(x; y; z) ⇔ OM→ = x.i→ + y.j→ + z.k→ (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
• M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz)
⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0
• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy
⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0.
+ Tính chất:
Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)
• AB→ = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)
• Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB:
• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
- Tích có hướng của hai vectơ
+ Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3).
Tích có hướng của hai vectơ a→ và b→ kí hiệu là [a→, b→], được xác định bởi
Chú ý:
Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
+ Tính chất:
• [a→, b→] ⊥ a→; [a→, b→] ⊥ b→
• [a→, b→] = -[b→, a→]
• [i→, j→] = k→; [j→, k→] = i→; [k→, i→] = j→
• |[a→, b→]| = |a→|.|b→|.sin(a→, b→) (Chương trình nâng cao)
• a→, b→ cùng phương ⇔ [a→, b→] = 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
+ Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a→, b→ và c→ đồng phẳng ⇔ [a→, b→].c→ = 0
• Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = |[AB→], AD→|
• Diện tích tam giác ABC: SABC = 1/2 |[AB→], AC→|
• Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D' : VABCD.A'B'C'D' = |[AB→, AD→].AA'→|
• Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = 1/6 |[AB→, AC→].AD→|
Chú ý:
- Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
- Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
- Phương trình mặt cầu:
+ Định nghĩa:
Cho điểm I cố định và một số thực dương R.
Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.
Kí hiệu: S(I; R) ⇔ S(I; R) = {M|IM = R}
+ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
c) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:
- Đường tròn trong không gian OXYZ
* Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng .
(S): x2 + y2 + z2 - 2ax -2by - 2cz + d = 0
(α): Ax + By + Cz + D = 0
* Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).
+ Tâm I' = d ∩ (α).
Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(α)
+ Bán kính
3. Bài tập về tọa độ trong không gian
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S):
a) (S) có tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3.
b) (S) có tâm I(1; 2; 0) và (S) qua P(2; -2; 1).
c) (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1), B(-2; 0; 1).
Lời giải:
a) Mặt cầu tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3,
có phương trình:
(S): (x - 2)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 9
b) Ta có: IP→ = (1; -4; 1) ⇒ IP = 3√2.
Mặt cầu tâm I(1; 2; 0) và bán kính R = IP = 3√2 ,
có phương trình:
(S): (x - 1)2 + (y - 2)2 + z2 = 18
c) Ta có: AB→ = (-3; -3; 0) ⇒ AB = 3√2.
Gọi I là trung điểm của AB => I (-1/ 2; 3/ 2; 1)
Mặt cầu tâm I (-1/ 2; 3/ 2; 1) và bán kính R = AB/ 2 = 3√2/ 2,
ta có:
Bài 2: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu, nếu là phương trình mặt cầu, hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó:
a) (x - 2)2 + (y + 3)2 + z2 = 5
b) x2 + y2 + z2 -2x + 4y - 6z + 1=0
c) 3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 3y + 21 = 0
Lời giải:
a) Phương trình (x - 2)2 + (y + 3)2 + z2 = 5 có dạng:
(x - a)2 + (y - b)2 + (z + c)2 = R2 nên là phương trình mặt cầu có tâm I (2; -3; 0) và bán kính R = √5.
b) Phương trình x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z + 1 = 0 có dạng:
x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với a = 1; b = -2; c = 3, d = 1
⇒ a2 + b2 + c2 - d = 13 > 0
Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = √13.
c) Phương trình 3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 3y + 21 = 0
⇔ x2 + y2 + z2 - 2x + y + 7 = 0
Phương trình có dạng x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với a = 1; b = (-1)/ 2; c = 0; d = 7
⇒ a2 + b2 + c2 - d = (-23)/ 4 <0
Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mỗi phương trình sau là phương trình mặt cầu.
a) x2 + y2 + z2 - 2mx + 2(m + 1)y - 4z + 1 = 0
b) x2 + y2 + z2 - 2(m - 3)x - 4mz + 8 = 0
Lời giải:
a) Phương trình x2 + y2 + z2 - 2mx + 2(m + 1)y - 4z + 1 = 0
có a = m; b = -(m + 1); c = 2; d = 1.
Phương trình là phương trình mặt cầu
⇔ a2 + b2 + c2 - d > 0
⇔ m2 + (m + 1)2 + 22 - 1 > 0
⇔ 2m2 + 2m + 3 >0
⇔ m ∈ R.
b) Phương trình x2 + y2 + z2 - 2(m - 3)x - 4mz + 8 = 0
có a = m - 3; b = 0; c = 2m; d = 8
Phương trình là phương trình mặt cầu
⇔ a2 + b2 + c2 - d > 0
⇔ (m-3)2 + 4m2 - 8 > 0
⇔ 5m2 - 6m + 1 > 0
Bài 3: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?
A. x2 + y2 + z2 - 2x = 0
B. x2 + y2 - z2 + 2x - y + 1 = 0
C. 2x2 + 2y2 = (x + y)2 - z2 + 2x - 1
D. (x + y)2 = 2xy - z2 - 1
Lời giải:
Đáp án: A
Giải thích:
Phương trình x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình mặt cầu
⇔ a2 + b2 + c2 - d > 0
Trên đây là một số vấn đề có liên quan đến hệ tọa độ trong không gian và các vấn đề khác có liên quan đến hệ tọa độ trong không gian. Để hiểu hơn về hệ tọa độ trong không gian cũng như là một số các nội dung được trình bày trong bài viết, tham khảo bài viết: Tóm tắt toàn bộ lý thuyết và công thức Hình học lớp 11.
Trân trọng
