Mục lục bài viết

1. Lý thuyết về phương trình trùng phương
2. Cách giải phương trình trùng phương
3. Bài tập luyện tập

1. Lý thuyết về phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương là phương trình bậc bốn có hệ số đứng trước x² và x là 0 hay Theo định nghĩa là phương trình bậc bốn có dạng:

ax⁴ + bx² + c = 0 với a khác 0.

2. Cách giải phương trình trùng phương

Giải phương trình trùng phương: cho phương trình ax⁴+ bx² + c = 0 ( $a \neq 0$ ) (1)

Bước 1: Đặt x²= 0 (điều kiện $t\geq 0$ ) , ta được phương trình bậc 2 ẩn t: at² + bt + c = 0 ( $a \neq 0$ ) (2)

Bước 2: giải phương trình bậc hai ẩn t

bước 3: giải phương trình x² = t để Tìm nghiệm

Bước 4: kết luận

Biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương

- phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt => phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

- Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt => phương trình (2) có 1 nghiệm dương và một nghiệm t = 0

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt => phường trình (2) có hai nghiệm trái dấu hoặc nghiệm kép dương

- Phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm => phương trình. (2) có nghiệm kép x = 0 hoặc có một nghiệm x = 0 và một nghiệm âm

- Phương trình (1) vô nghiệm => phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm

* Số nghiệm trùng phương có dạng

ax⁴ + bX²+ c = 0

$\Delta = b^{2}- 4ac$

Khi đó:

- Phương trình trùng phương có 1 nghiệm ⇔ $\left\{\begin{matrix} c=0\\ \frac{b}{a}\leq 0 \end{matrix}\right.$ và nghiệm đó bằng 0

- Phương trình trùng phương có 2 nghiêm phân biệt ⇔ $\left\{\begin{matrix} \Delta =0\\ \frac{b}{a}<0 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} \Delta =0\\ \frac{c}{a}<0 \end{matrix}\right.$

- Phương trình trùng phương có 3 nghiệm phân biệt ⇔ $\left\{\begin{matrix} \Delta =0\\ \frac{b}{a}<0 \end{matrix}\right.$ và trong đó có một nghiệm bằng 0

- Phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt ⇔ $\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0\\ \frac{b}{a}>0 \\ \frac{c}{a}<0 \end{matrix}\right.$ . Khi đó tổng 4 nghiệm = 0 và tích 4 nghiệm bằng c/a

- Phương trình trùng phương vô nghiệm ⇔ $\Delta < 0$ hoặc $\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0\\ \frac{b}{a}>0 \\ \frac{c}{a}<0 \end{matrix}\right.$

3. Bài tập luyện tập

Bài 1: Tìm m để phương trình x⁴ + 2mx² + 8 = 0 có bốn nghiẹm phân biệt sao cho tổng của bình phương các nghiệm bằng 32

A. m = $-2\sqrt{2}$

B. m = $2\sqrt{2}$

C. m = -8

D. m = 8

Lời giải: Đáp án chọn C

Gọi phương trình x⁴ + 2mx² + 8 = 0 là (1)

Đặt x² = t (điều kiện $x \geq 0$ ), ta được phương trình bậc hai ẩn t:

t² + 2mt + 8 = 0 (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

$\left\{\begin{matrix} \Delta' = m^{2}-8> 0 \\ S= -2m>0 \\ P= 8>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m-2\sqrt{2})(m+2\sqrt{2})>0\\ m<0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>2\sqrt{2}\\ m<-2\sqrt{2}\Leftrightarrow m<-2\sqrt{2} \\ m<0 \end{matrix}\right.$

Gọi x_1,x_2,x₃, x₄ la bốn nghiệm phân biệt của phương trình (1), t₁, t₂ là hai nghiệm dương phân biệt của phương trình (2). Ta có:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}+ x_{4}^{2}$ = 2t₁ + 2t₂ = 2( t₁ + t₂) = 2. (-2m)= -4m

Theo bài ta có:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}+ x_{4}^{2}$ = 32 ⇔ -4m = 32 ⇔m = -8 (thoả mãn)

Vậy m = -8

Bài 2: Điều kiện để a và b để phương trình x⁴ - 2x(a²+ b²) x²+ (a² - b²)² = 0 có ba nghiệm phân biệt là

A. $a \neq 0; b\neq 0$

B. $a \neq b; a\neq-b$

C. $a \neq 0; b\neq 0$ và $a\neq b; a\neq -b$

D. $a \neq 0; b\neq 0$ và a = b hoặc a = -b

Đáp án: Chọn D, để phương trình có ba nghiệm phân biệt thì $a \neq 0; b\neq 0$ và a = b hoặc a = -b

Bài 3: Giải các phương trình trùng phương:

a, x⁴ - 5x² + 4 = 0

b, 2x⁴ - 3x² - 2 = 0

c, 3x⁴ + 10x² + 3 = 0

Lời giải:

a, x⁴ - 5x² + 4 = 0 (1)

Đặt t =x², điều kiện $t\geq 0$

Khi đó phương trình (1) trở thành t² - 5t + 4 = 0 (2)

Giải phương trình (2) ta có: Có a=1; b = -5; c= 4 => a + b + c = 0

=> Phương trình có hai nghiệm t₁ = 1; t₂ = c/a = 4

Cả hai giá trị đều thoả mãn điều kiện

+ Với t =1 => x² = 1 => x =1 hoặc x = -1

+ Với t = 4 => x² = 4 => x = 2 hoặc x = -2

Vậy phương trình (1) có nghiệm S = {-2; -1; 1; 2}

b. 2x⁴ - 3x² - 2 = 0 (1)

Đặt t = x², điều kiện $t\geq 0$ . Khi đó phương trình (1) trở thành 2t² - 3t - 2 = 0 (2)

- Giải phương trình (2) có a = 2; b = -3; c = -2 => $\Delta$ = (-3)² - 4.2.(-2) = 25 > 0

=> Phương trình có hai nghiệm t₁ = 2; t₂ = -0,5

Với t = 2 => x² = 2 => x = $\sqrt{2\}$ hoặc x = $- \sqrt{2\$

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = { $- \sqrt{2\$ ; $\sqrt{2\$ }

c, 3x⁴ + 10x² + 3 = 0 (1)

Phương trình có 2 nghiệm t₁ = -1/3; t₂ = -3. Đối chiều điều kiện t là $t\geq 0$ , ta thấy cả 2 giá trị t₁ và t₂ đều không thoả mãn điều kiện. Vậy phương trình (1) vô nghiệm

Bài 4: Số nghiệm của phương trình 3x⁴ - 2x²- 5 = 0 (1) là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Đáp án: Chọn C. 2, phương trình có 2 nghệm $\sqrt{\frac{5}{3}}$ và $-\sqrt{\frac{5}{3}}$

Bài 5: Số nghiệm âm của phương trình 3x⁴ + 10x² + 3 = 0 là

A. 0

B. 4

C. 2

D. 3

Lời giải: Chọn đáp án A

Đặt t = x² ( $t\geq 0$ ). Phương trình (1) trở thành 3t² + 10t + 3 = 0 (2)

Ta có: $\Delta$ = 10² - 4.3.3 = 100 - 36 = 64 > 0

Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt

t = -1/3 < 0 (Loại)

t₂ = -3 < 0 (loại)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm nên phương trình (1) không có nghiệm âm nào

Bài 6: Số nghiệm của phương trình -15x⁴ - 26x² + 10 = 0 là

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

d. 4 nghiệm

Lời giải: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt t₁< 0 (loại), t₂ > 0 (thoả mãn). Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Bài 7: Tìm m để phương trình (m + 1)⁴ + 5x² - m -1 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt

A. -1 < m < 1 và m khác 0

B. -1 < m < 1

C. -1 < m < 2

D. Không có m thoả mãn

Lời giải: Chọn đáp án D

- Trường hợp 1: Nếu m = -1, phương trình (1) là phương trình bậc 2 5x² = 0 ⇔ x² = 0 ⇔ x = 1.

Phương trình có 1 nghiệm nên m = -1 không thoả mãn

- Trường hợp 2: Nếu $m\neq -1$ , phương trình (1) la phương trình bậc 4 trùng phương.

Đặt x² = t ( điều kiện $t\geq 0$ ), ta được phương trinh bậc hai ẩn t: (m+1) t² + 5t - m - 1 = 0 (2),

Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương

Trường hợp phương trình (2) có nghiệm kép dương không xảy ra với mọi m.

- Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu: (m + 1)(-m -1) < 0 ⇔ (m + 1)² < 0, không có m thoả mãn

Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn yêu cầu bài toán.

Bài 8: Cho phương trình m²x⁴ + x² - m² - 1 = 0 với m là tham số. Chọn khẳng định sai

A. . Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt vói mọi m khác 0

B. phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m khác 0

C. x = -1 và x = 1 đều là nghiệm của phương trình

D. X=2 không là nghiệm của phương trình

Lời giải: Chọn đáp án A. Phương trình luôn có nghiệm phân biệt với mọi m khác 0

- Trườn hợp 1: m= 0, phương trình (1) là phương trình bậc hai ⇔ x = 1 và x = -1

- Trường hợp 2: $m\neq 0$ . Phương trình (1) là phương trình bậc 4 trùng phương. Ta có x = 1 và x = -1.

Bài 9: Nghiệm của phương trình x⁴ + 5x² - 6 = 0 là

A. x= -2

B. x = 3

C. x = 2 hoặc x = -3

D. Phương trình vô nghiệm

Bài 10: Số nghiệm của phương trình (x +1)⁴ - 5(x + 1)² - 84 = 0 là

A. Phương trình vô nghiệm

B. Phương trình có 1 nghiệm

C. Phương trình có 2 nghiệm

D. Phương trình có 4 nghiệm

Lời giải: Đặt t = (x +1)² ( $t\geq 0$ ). Phương trình (1) trở thành t² - 5t -84 =0 (2)

Ta có $\Delta$ = (-5)² - 4.1.(-84) = 25 + 336 = 361 > 0.

Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt: t₁ = -7 < 0 (loại), t₂ = 12 > 0 (thoả mãn)

Vậy phương trình có 2 nghiẹm x = $\sqrt{12}$ và x = $-\sqrt{12}$

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê trả lời cho câu hỏi Cách giải bài tập phương trình trùng phương, hy vọng với những kiến thức trên đây là câu trả lời bổ ích giúp bạn đọc đã hiểu và nắm vững kiến thức về phương trình trùng phương và có thể vận dụng tốt vào bài tập. Xin trân trọng cảm ơn!