Hợp số là gì? Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố nhanh nhất Toán lớp 6

1. Hợp số là gì?

Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn hai ước số. Nói cách khác, ngoài ước là 1 và chính nó, hợp số còn có ít nhất một ước số khác.

Ví dụ:

• Số 4 có các ước là 1, 2, 4 nên là hợp số.
• Số 6 có các ước là 1, 2, 3, 6 nên là hợp số.
• Số 9 có các ước là 1, 3, 9 nên là hợp số.

Có thể hiểu đơn giản rằng, nếu một số lớn hơn 1 có thể viết thành tích của hai số tự nhiên lớn hơn 1 thì số đó là hợp số.

Ví dụ:

• 4 = 2 × 2
• 8 = 2 × 4
• 12 = 3 × 4
• 15 = 3 × 5

Các số trên đều là hợp số vì có thể phân tích thành tích của hai số tự nhiên lớn hơn 1.

Để một số được gọi là hợp số, cần thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

• Là số tự nhiên lớn hơn 1.
• Có nhiều hơn hai ước số.

Chỉ cần thiếu một trong hai điều kiện trên thì số đó không phải là hợp số.

Ví dụ:

• Số 1 chỉ có một ước là 1 nên không phải hợp số.
• Số 2 chỉ có hai ước là 1 và 2 nên là số nguyên tố, không phải hợp số.
• Số 10 có các ước là 1, 2, 5, 10 nên là hợp số.

Việc nắm vững định nghĩa hợp số sẽ giúp học sinh dễ dàng học các nội dung tiếp theo như phân tích một số ra thừa số nguyên tố, tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN).

2. Các hợp số từ 1 đến 10, 20 và cách nhận biết nhanh

Một trong những cách học hiệu quả là ghi nhớ các hợp số trong những khoảng số nhỏ. Điều này giúp học sinh làm nhanh các bài tập trắc nghiệm và tránh nhầm lẫn với số nguyên tố.

2.1. Các hợp số từ 1 đến 10

Trong các số từ 1 đến 10, các hợp số là:

Trong đó:

• 4 chia hết cho 2.
• 6 chia hết cho 2 và 3.
• 8 chia hết cho 2 và 4.
• 9 chia hết cho 3.
• 10 chia hết cho 2 và 5.

2.2. Các hợp số từ 1 đến 20

Các hợp số từ 1 đến 20 gồm:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20.

Những số còn lại lớn hơn 1 nhưng không có trong danh sách trên là các số nguyên tố gồm:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

2.3. Cách nhận biết hợp số nhanh

Thay vì liệt kê toàn bộ các ước số, học sinh có thể áp dụng một số mẹo nhận biết sau.

Dựa vào dấu hiệu chia hết

Nếu một số lớn hơn 2 và có tận cùng là 0, 2, 4, 6 hoặc 8 thì số đó chia hết cho 2, vì vậy chắc chắn là hợp số.

Ví dụ:

• 18 là hợp số.
• 42 là hợp số.
• 106 là hợp số.

Nếu một số lớn hơn 5 và có tận cùng là 0 hoặc 5 thì số đó chia hết cho 5 nên cũng là hợp số.

Ví dụ:

• 25 là hợp số.
• 70 là hợp số.
• 145 là hợp số.

Nếu tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3 và là hợp số (trừ số 3).

Ví dụ:

• 27 có tổng các chữ số là 9 nên là hợp số.
• 51 có tổng các chữ số là 6 nên là hợp số.

Tìm một ước khác 1 và chính nó

Chỉ cần tìm được một số tự nhiên khác 1 và chính nó mà số đã cho chia hết thì có thể kết luận ngay đó là hợp số.

Ví dụ:

• 21 chia hết cho 3 và 7 nên là hợp số.
• 35 chia hết cho 5 và 7 nên là hợp số.
• 49 chia hết cho 7 nên là hợp số.

Việc kết hợp các dấu hiệu chia hết với kỹ năng tìm ước sẽ giúp học sinh nhận biết hợp số nhanh và chính xác hơn trong các bài kiểm tra.

3. Phân biệt hợp số và số nguyên tố

Hợp số và số nguyên tố đều là các số tự nhiên lớn hơn 1, nhưng chúng khác nhau ở số lượng ước số.

Ví dụ:

• Số 7 chỉ có hai ước là 1 và 7 nên là số nguyên tố.
• Số 8 có các ước là 1, 2, 4 và 8 nên là hợp số.

Một cách ghi nhớ dễ hiểu là:

• Số nguyên tố chỉ chia hết cho 1 và chính nó.
• Hợp số chia hết cho ít nhất một số khác ngoài 1 và chính nó.

Khi làm bài tập, học sinh thường nhầm rằng mọi số lẻ đều là số nguyên tố. Thực tế, nhiều số lẻ vẫn là hợp số.

Ví dụ:

• 9 = 3 × 3.
• 15 = 3 × 5.
• 21 = 3 × 7.
• 25 = 5 × 5.

Đây đều là các hợp số mặc dù đều là số lẻ.

Ngược lại, số 2 là số chẵn nhưng lại là số nguyên tố vì chỉ có hai ước là 1 và 2. Đây là số nguyên tố chẵn duy nhất.

4. Số 1 và số 2 có phải là hợp số không?

Đây là câu hỏi rất thường gặp khi học về số nguyên tố và hợp số.

4.1. Số 1 có phải là hợp số không?

Không.

Số 1 chỉ có duy nhất một ước là 1 nên không thỏa mãn điều kiện có nhiều hơn hai ước số.

Vì vậy, số 1 không phải là hợp số.

Đồng thời, số 1 cũng không phải là số nguyên tố vì số nguyên tố phải có đúng hai ước số.

Có thể ghi nhớ:

• Số 1 không thuộc nhóm số nguyên tố.
• Số 1 cũng không thuộc nhóm hợp số.

4.2. Số 2 có phải là hợp số không?

Không.

Số 2 chỉ có hai ước là 1 và 2 nên không có nhiều hơn hai ước số.

Do đó, số 2 là số nguyên tố chứ không phải hợp số.

Điểm đặc biệt của số 2 là đây là số nguyên tố chẵn duy nhất. Từ đó có thể rút ra một nhận xét quan trọng:

Mọi số chẵn lớn hơn 2 đều là hợp số.

Ví dụ:

• 4 là hợp số.
• 6 là hợp số.
• 8 là hợp số.
• 12 là hợp số.
• 100 là hợp số.

Nhớ đúng vai trò của số 1 và số 2 sẽ giúp học sinh tránh được nhiều lỗi sai trong các bài tập nhận biết số nguyên tố và hợp số. Đây cũng là kiến thức nền tảng trước khi học cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố ở chương trình Toán lớp 6.

5. Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố nhanh nhất

Sau khi nhận biết một số là hợp số, bước tiếp theo học sinh cần nắm vững là phân tích số đó ra thừa số nguyên tố. Đây là kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 6 và là nền tảng để học các nội dung như tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN), bội chung nhỏ nhất (BCNN), rút gọn phân số,...

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng tích của các số nguyên tố.

Ví dụ:

• 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3²
• 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

Theo định lý cơ bản của số học, mỗi hợp số đều có cách phân tích thành tích các thừa số nguyên tố và cách phân tích này là duy nhất (không kể thứ tự các thừa số).

5.1. Phương pháp 1. Phân tích bằng sơ đồ cây

Đây là cách trực quan, dễ hiểu và phù hợp với học sinh mới làm quen.

Ví dụ: Phân tích số 24.

Bước 1: Tách 24 thành tích của hai số.

24 = 4 × 6

Bước 2: Tiếp tục phân tích các số chưa phải số nguyên tố.

• 4 = 2 × 2
• 6 = 2 × 3

Bước 3: Khi tất cả các nhánh đều là số nguyên tố, ta thu được:

24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3

Học sinh có thể tách theo nhiều cách khác nhau, chẳng hạn:

24 = 3 × 8

Sau đó:

8 = 2 × 2 × 2

Kết quả cuối cùng vẫn là:

24 = 2³ × 3

Điều này cho thấy dù cách tách ban đầu khác nhau thì kết quả phân tích cuối cùng vẫn giống nhau.

5.2. Phương pháp 2. Chia liên tiếp cho các số nguyên tố

Đây là phương pháp được sử dụng phổ biến trong sách giáo khoa và khi làm bài kiểm tra.

Các bước thực hiện:

Bước 1. Chia số cần phân tích cho số nguyên tố nhỏ nhất có thể chia hết (2, 3, 5, 7,...).

Bước 2. Tiếp tục lấy thương chia cho số nguyên tố nhỏ nhất.

Bước 3. Thực hiện cho đến khi thương bằng 1.

Ví dụ: Phân tích số 84.

• 84 ÷ 2 = 42
• 42 ÷ 2 = 21
• 21 ÷ 3 = 7
• 7 ÷ 7 = 1

Vậy:

84 = 2² × 3 × 7

5.3. Mẹo phân tích nhanh

Để rút ngắn thời gian làm bài, học sinh nên ghi nhớ các dấu hiệu chia hết.

• Nếu số chẵn, hãy thử chia cho 2 trước.
• Nếu tổng các chữ số chia hết cho 3, hãy chia cho 3.
• Nếu tận cùng là 0 hoặc 5, hãy thử chia cho 5.
• Nếu không chia hết cho 2, 3 hoặc 5, hãy thử tiếp với 7, 11,...

Ví dụ:

180 là số chẵn nên chia cho 2 trước.

180 = 2 × 90

90 = 2 × 45

45 = 3 × 15

15 = 3 × 5

Vậy:

180 = 2² × 3² × 5

Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp học sinh nhận ra ngay thừa số nguyên tố của nhiều số quen thuộc mà không cần thử quá nhiều lần.

5.4. Một số lưu ý khi phân tích thừa số nguyên tố

• Chỉ phân tích hợp số, vì số nguyên tố không thể tách thành tích của các số nguyên tố nhỏ hơn.
• Kết quả cuối cùng phải là tích của các số nguyên tố.
• Có thể viết các thừa số giống nhau dưới dạng lũy thừa để bài làm ngắn gọn hơn.

Ví dụ:

• 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3
• 100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²

6. Ví dụ về hợp số và bài tập vận dụng lớp 6

Sau khi nắm được khái niệm và cách phân tích thừa số nguyên tố, học sinh nên luyện tập với các ví dụ và bài tập để ghi nhớ kiến thức lâu hơn.

Ví dụ 1. Xác định hợp số

Trong các số sau: 2, 5, 8, 11, 15, 17, 21, số nào là hợp số?

Lời giải:

• 2 là số nguyên tố.
• 5 là số nguyên tố.
• 8 = 2 × 4 nên là hợp số.
• 11 là số nguyên tố.
• 15 = 3 × 5 nên là hợp số.
• 17 là số nguyên tố.
• 21 = 3 × 7 nên là hợp số.

Đáp án: 8, 15 và 21 là các hợp số.

Ví dụ 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố

Phân tích số 72 ra thừa số nguyên tố.

Ta có:

72 ÷ 2 = 36

36 ÷ 2 = 18

18 ÷ 2 = 9

9 ÷ 3 = 3

3 ÷ 3 = 1

Vậy:

72 = 2³ × 3²

Ví dụ 3. Kiểm tra một số có phải hợp số hay không

Số 49 có phải là hợp số không?

Vì:

49 = 7 × 7

Nên 49 có các ước là 1, 7 và 49.

Do có nhiều hơn hai ước số nên 49 là hợp số.

Bài tập vận dụng

Bài 1. Trong các số sau, số nào là hợp số?

9; 13; 18; 19; 25; 29; 35.

Đáp án

Các hợp số là: 9, 18, 25, 35.

Bài 2. Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố.

a) 36

b) 54

c) 90

Đáp án

• 36 = 2² × 3²
• 54 = 2 × 3³
• 90 = 2 × 3² × 5

Bài 3. Đúng hay sai?

a) Mọi số chẵn đều là hợp số.

b) Mọi số lẻ đều là số nguyên tố.

c) Mọi số nguyên tố đều lớn hơn 1.

Đáp án

• a) Sai, vì số 2 là số nguyên tố.
• b) Sai, vì 9, 15, 21... là các hợp số.
• c) Đúng.

Những lỗi học sinh thường gặp

Khi học về hợp số và phân tích thừa số nguyên tố, học sinh thường mắc một số lỗi sau:

• Cho rằng mọi số lẻ đều là số nguyên tố.
• Nhầm số 1 là hợp số hoặc số nguyên tố.
• Quên rằng số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
• Dừng phân tích khi còn xuất hiện thừa số là hợp số.

Ví dụ:

Viết:

24 = 4 × 6

là chưa hoàn thành vì 4 và 6 vẫn là hợp số.

Cần phân tích tiếp:

24 = 2³ × 3

Chỉ khi tất cả các thừa số đều là số nguyên tố thì việc phân tích mới kết thúc.

Luyện tập thường xuyên với các dạng bài nhận biết hợp số, phân biệt với số nguyên tố và phân tích ra thừa số nguyên tố sẽ giúp học sinh làm bài nhanh, chính xác và tạo nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học ở những lớp học tiếp theo.

Quý bạn đọc cũng có thể tham khảo thêm một số nội dung liên quan đến hợp số trong toán học khác như:

• Bội chung nhỏ nhất là gì? Cách tìm bội chung nhỏ nhất? Toán lớp 6
• Ước chung lớn nhất là gì? Cách tìm ước chung lớn nhất Toán lớp 6
• Số nguyên tố là gì? Thừa số nguyên tố là gì? Bảng số nguyên tố Toán lớp 6