Mục lục bài viết

1. Lý thuyết liên quan đến tính liên tục của hàm số
2. Phương pháp tìm m để hàm số liên tục và ví dụ
3. Bài tập luyện tập về cách tìm m để hàm số liên tục

1. Lý thuyết liên quan đến tính liên tục của hàm số

a, Hàm số liên tục là gì?

Hàm số y = f(x) gọi là hàm số liên tục trên khoảng nếu hàm số đó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Cụ thể hơn, ta có định nghĩa khái quát chung như sau:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, $x_{0} \in K$ . Khi đó, y = f(x) liên tục tại x_o khi $\lim_{x\rightarrow x_{o}}= f(x_{o})$ .

b, Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K và

- Hàm số y = f(x) liên tục tai x_o khi và chỉ khi $\lim_{x\rightarrow x_{o}} f(x) = f(x_{o})$

- Hàm số y = f(x) không iên tục tại x_o ta nói hàm số gián đoạn tại x_o.

c, Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số y = f(x) liên tục trên một khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x_o của khoảng đó.

- Hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] nếu nó liên tục trên (a;b) và $\lim_{x\rightarrow a^{+}} f(x) = f(a), \lim_{x\rightarrow b^{-}} f(x) = f(b)$

d, Hàm số liên tục trên R.

Hàm số liên tục trên R là trường hợp đặc biệt của hàm số liên tục trên một khoảng.

Đối với một số hàm đa thức thì sẽ liên tục trên tập R mà không cần chứng minh, bao gồm: hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, hàm đa thức, hàm phân thức có tập xác định R, hàm mũ.

c, Các định lý cơ bản

- Định lý thứ nhất: Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập R; Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

- Định lý thứ hai: Cho các hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên x_o. Khi đó:

Các hàm số: y = f(x) + g(x); y = f(x).g(x) liên tục tại x_o.

Hàm số $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại x_{o nếu}

_{- Định lý số 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0. Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a;b).}

2. Phương pháp tìm m để hàm số liên tục và ví dụ

Ta sử dụng điều kiện để hàm số liên tục và điều kiện để phương trình có nghiệm để làm các bài toán dạng này.

Điều kiện để hàm số liên tục tại x_o:

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

- Điều kiện để hàm số liên tục trên một tập D là f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc D.

- Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D nếu hàm số y = f(x) liên tục trên D và có hai số a, b thuộc D sao cho f(a).f(b) < 0.

Phương trình f(x) = 0 có k nghiệm trên D nếu hàm số y = f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (a_i ; a_i+1) (i = 1, 2,..., k) nằm trong D sao cho f(a_i).f(a_i+1) < 0.

Tham khảo thêm một số dạng toán về hàm số liên tục.

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàng số tại một điểm

Phương án giải:

Bước 1: Tính f(x_o) = f₂₍X_o)

Bước 2: Tính $\lim_{x\rightarrow x_{o}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{o}}f_{1}(x)= L$

Bước 3: Nếu f₂₍X_o) = L thì hàm số f(x) liên tục tại x_o. Nếu $f_{2(x_{o})}\neq L$ thì hàm số f(x) không liên tục tại x_o. (Đối với bài toán tìm tham số m để hàm số liên tục tại x_o,ta thay bước 3 thành Giải phương trình L = f₂₍X_o), tìm m).

Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

Phương pháp giải:

Bước 1; Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn

Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao

Bước 3: Kết luận

Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý: Cho hàm số y = f(x) iên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0. Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a;b).

Chú ý: Đa thức bậc n có tối đa n nghiệm trên R.

*Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm.

- Tìm hai số a và b sao cho hàm số f(x) liên tục trên đoan [a;b] và f(a).f(b) < 0.

- Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm

* Chứng mình phương trình f(x) = 0 có nhất nhất k nghiệm

- Tìm k căp số a_i; b_i sao cho các khoảng (a_i;b_i) rời nhau và f(a_i).f(b_i) < 0; i = 1; 2; ...k.

- Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm. Khi đó f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm.

Dạng 4: Tìm điều kiện để hàm số liên tục trên một khoảng đoạn hoặc tập xác định

Đối với các bài toán tìm điều kiên để hàm số liên tục trên một đoạn hoặc một tập xác định bất kỳ, học sinh làm tương tự dạng 3. Điểm khác biệt duy nhất là ở dạng 3 ta tìm điểm làm hàm số xác định, còn với dạng này ta tìm khoảng đoạn hoặc tập làm cho hàm số xác định.

Dạng 5: Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm.

Dạng 6: Sử dụng tính liên tục để xét dấu hàm số.

3. Bài tập luyện tập về cách tìm m để hàm số liên tục

Bài 1: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm x⁷ + 3x⁵ -1 = 0.

Hướng dẫn: Ta có hàm số f(x) = x⁷ + 3x⁵ -1 liên tục trên R và f(0).f(1) = -3 < 0

Suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0, 1).

Bài 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

I. f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) > 0 thì tồn tại ít nhất số $c\in (a;b)$ sao cho f(c) = 0

II. f(x) liên tục trên [a;b] và trên [b;c) nhưng không liên tục trên (a;c)

A. Chỉ I đúng

B. Chỉ II đúng

C. I và II đều đúng

D. Cả I và II sai

Bài 3. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

I. f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < ) thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm

II. f(x) không liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.

A. Chỉ I đúng

B. Chỉ II đúng

C. Cả I và II đều đúng

D. Cả I và II đều sai.

Bài 4. Cho hàm số $f(x)=\sqrt{x^{2-4 }}$ . Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f(x) liên tục tại x = 2

(II) f(x) gián đoạn tại x = 2

(III) f(x) liên tục trên đoạn [-2;2]

A. Chỉ I và III

B. Chỉ I

C. Chỉ II

D. Chỉ II và III

Bài 5: Cho hàm số f(x) = x³ - 1000x² + 0,01. Phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A, (-1;0)

B. (0;1)

C. (1;2)

Hướng dẫn: Ta có hàm số y = f(x) = x³ - 1000x² + 0,01 là hàm liên tục trên R

f(0) = 0,01 và f(-1) = -1001 + 0,01 < 0. Nên f(0).f(-1) < 0.

Vậy hàm số có nghiệm trong khoảng A.

Bài 6: Tìm m để các hàm số sau liên tục trên R

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{x+1 -1}}{x} & khi > 0 \\ 2x^{2}+3m+1 & x< 0 \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn: Với x < 0 => hàm số liên tục. Vời x > 0 => hàm số liên tục.

Hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 0.

Đáp án: m = -1/6 là giá trị cần tìm.

Bài 7: Cho hàm số $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x+1}$ và f(2) = m² -2 với $x\neq 2$

Giá trị của m để f(x) liên tục tại x = 2 là:

A. $\sqrt{3}$

B. $-\sqrt{3}$

C. 3

Bài 8: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix} 3x-5 & x<2\\ mx+3 & \end{matrix}\right.$ mx+3 khi x > -2

Giá trị nào của m để hàm số đã cho liên tục trên x = -2.

A. 7

B. -7

C. 5

D. 1

Bài 9: Cho phương trình 2x⁴ - 5x²+ x +1 = 0 (1). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-1;1)

B. Phương trình (1) không có nghiệm trong (-2;0)

C. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2;1)

D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0;2)

Đáp án: D

Bài 10: Cho phương trình x³ + ax² + bx + c = 0 (1) trong đó a, b, c là các tham số thực. Chọn số khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Phương trình (1) vô nghiệm với mọi a, b, c

B. Phương trình (1) có it nhất một nghiệm với mọi a, b, c

C. Phương trình (1) có ít nhất 2 nghiệm với mọi a, b, b

D, Phương trình (1) có ít nhất ba nghiệm với mọi a, b, c

Đáp án: B

Bài 11: Số nghiệm thực của phương trình: 2x³ - 6x +1 = 0 thuộc khoảng (-2;2) là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án: D

Bài 12: Cho hàm số f(x) = x³ - 1000x²+ 0,01. Phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

I. (-1;0)

II. (0;1)

III. (1;2)

A. Chỉ I

B. Chỉ I và II

C. Chỉ II

D. Chỉ III

Đáp án: B

Trên đây là bài viết trả lời cho câu hỏi Cách tìm m để hàm số liên tục đơn giản và dễ hiều nhất, hy vọng rằng đã mang đến cho bạn đọc kiến thức hữu ích.