1. Hàm số đồng biến, nghịch biến là gì?
Hàm số đồng biến là loại hàm số trong Toán học mà giá trị của hàm tăng theo cùng một hướng khi giá trị đầu vào tăng điều này có nghĩa là nếu giá trị của biến độc lập thường ký hiệu là x tăng thì giá trị của hàm số là F(x) cũng tăng để hàm số F(x) đồng biến trên một khoảng cụ thể điều kiện đó là nếu a và b là hai số thực bất kì trong khoảng xác định của hàm số và b nhỏ hơn b thì F(a) nhỏ hơn F(b) nói cách khác nếu ta chọn hai điểm bất kì a và b sao cho a nhỏ hơn b thì giá trị của hàm số tại điểm a và nhỏ hơn giá trị của hàm số tại điểm b
Điều này thể hiện tính đồng biến của hàm số trên khoảng đó. Các hàm số đồng biến thường được mô tả bởi đường cong riêng đi lên từ trái sang phải trên đồ thị.
Chẳng hạn hàm số đường thẳng với hệ số góc dương sẽ là một hàm số đồng biến trên toàn biến xác định. Tuy nhiên có nhiều hàm số phức tạp khác cũng có tính đồng biến trên khoảng xác định khác nhau. Một hàm số có thể không đồng biến trên một số khoảng hoặc có thể là hàm số đồng biến trên toàn miền xác định thì thuộc vào tính chất của hàm số đó.
Hàm số nghịch biến là loại hàm số trong Toán học mà giá trị của hàm giảm theo một hướng khi giá trị đầu vào tăng. Nghĩa là khi giá trị của biến độc lập thường kí hiệu là x tăng thì giá trị của hàm số thường kí hiệu là F(x) sẽ giảm . Để hàm số F(x) là nghịch biến trên một khoảng cụ thể điều kiện a và b là hai số thực bất kì trong khoảng xác định của hàm số a nhỏ hơn b thì F(a) lớn hơn F(b)
Hay nói cách khác nếu ta chọn hai điểm bất kì a và b sao cho a nhỏ hơn b thì giá trị của hàm số tại điểm a phải lớn hơn giá trị của hàm số tại điểm b. Điều này thể hiện tính nghịch biến của hàm số trên khoảng đó.
Các hàm số nghịch biến thường được mô tả bởi đường cong nghiêng đi xuống từ trái sang phải trên đồ thị hàm số, đường thẳng với hệ số góc âm sẽ là một hàm số nghịch biến trên toàn biến xác định tương tự như hàm số đồng biến của hàm số có thể không nghịch biến trên một số khoảng hoặc là hàm số nghịch biến trên toàn miền xác định tùy thuộc vào tính chất của hàm số đó.
Hàm số đồng biến và hằng số nghịch biến có nhiều ứng dụng quan trọng cho nhiều lĩnh vực của Toán học Khoa học và kỹ thuật. Ví dụ trong lĩnh vực kinh tế học hàm cầu là một ví dụ điển hình về hàm số đồng biến hàng cầu mô tả mối quan hệ giữa lượng hàng hóa được yêu cầu và giá của hàng hóa đó, thường thì khi giá hàng hóa tăng được hàng hóa sẽ được yêu cầu giảm theo cùng một hướng và ngược lại.
2. Phương pháp giải tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên R
Cho hàm số y = FX có đạo hàm trên khoảng (a;b)
- Hàm số y = F(x) đồng biến trên khoảng (a,b) khi và chỉ khi f'x lớn hơn bằng 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a,b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm
- Hàm số y = F(x) nghịch biến trên khoảng (a,b) khi và chỉ khi f'x nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a,b). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm
Để giải bài toán trước tiên chúng ta cần biết rằng điều kiện để hàm số y = F(x) đồng biến trên R thì điều kiện trước tiên hàm số phải xác định trên R
Giả sử hàm số y = F(x) xác định và liên tục có đạo hàm trên R. Khi đó hàm số y = F(x) đơn hiệu trên R khi và chỉ khi thỏa mãn hai điều kiện:
+ Hàm số y = F(x) xác định trên R và hàm số y = F(x)có đạo hàm không đổi dấu trên R
Đối với hàm số đa thức bậc nhất
- Hàm số y = ax + b đồng biến trên R khi và chỉ khi a lớn hơn 0
- Hàm số y = ax + b nghịch biến trên R khi và chỉ khi a nhỏ hơn không
Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3 nên sẽ áp dụng công thức:
Xét hàm số y = ax^3 + bx^2 + cX + d
y' = 3ax² + 2bx + c
Trường hợp 1 a = 0 (Nếu có tham số)
Trường hợp 2 a khác 0
- Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi a lớn hơn 0, Delta nhỏ hơn hoặc bằng 0
- Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi a nhỏ hơn 0 và Delta nhỏ hơn hoặc bằng 0
Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R
Các bước tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến nghịch biến trên R
Bước 1 tìm tập xác định R
Bước 2 tính đạo hàm y' = f'(x)
Bước 3 biện luận giá trị m theo bảng quy tắc
Bước 4 kết luận giá trị m thỏa mãn
3. Bài tập luyện tập
Câu 1 Cho hàm số y = -1/3x^3 + mx² + 3m - 2x + 1 tìm tất cả giá trị m để hàm số nghịch biến trên R
Đáp án:
Ta có y' = -x² + 2mx + 3 m - 2
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi
- a < 0
- Delta nhỏ hơn bằng 0
Suy ra
- - 1 < 0
- 4 m² - 43m - 2 <= 0
Suy ra m² - 3m + 2 < 0
Suy ra m thuộc đoạn (- 2, - 1)
Câu 2 Cho hàm số y = 1/3 m - 1x³ - m - 1x² - x + 1, tìm m để hàm số nghịch biến trên R
Đáp án: Ta có y' = m - 1x² - 2 m - 1x - 1
Trường hợp 1 m - 1 = 0 => m = 1
y' = -1 < 0
Hàm số nghịch biến trên R
Trường hợp 2 m khác 1, hàm số nghịch biến trên R khi a nhỏ hơn 0, delta nhỏ hơn bằng 0
Suy ra m nhỏ hơn 1
(m - 1)² + (m - 1) <= 0 m
m² - m nhỏ hơn bằng 0
Khi đó m thuộc nửa đoạn 0 đến 1
Câu 3: Tìm m để hàm số y = x^3 + 2 m + 1 x² - 3mx + 5m - 2 đồng biến trên R
Đáp án y' = 3x² + 4 m + 1 x - 3m
Để hàm số đồng biến trên R thì
- a lớn hơn 0 suy ra 1 lớn hơn 0
- Delta phẩy nhỏ hơn 0 suy ra 4 m + 1 bình + 9
Suy ra m thuộc đoạn âm 4 đến -1 phần 4
Câu 4: Cho hàm số y = (1 - m)/3x^3 - 2mx² + 2 2 - 10x + 5 Tìm tất cả giá trị của m sao cho hàm số luôn nghịch biến
Đáp án
Tập xác định D=R
Đạo hàm y' = 1 - mx² - 42 - mx + 4 - 2m
Trường hợp 1
Với m = 1 ta có y' = -4x + 2 nhỏ hơn bằng 0
Suy ra x lớn hơn bằng 1/2
Vậy m = 1 không thỏa mãn điều kiện đề bài
Trường hợp 2
Với m khác 1 ta có hàm số luôn nghịch biến khi 1 - m < 0
Suy ra m lớn hơn 1 và 2m² - 10m + 12 <= 0
Suy ra 2 nhỏ hơn bằng m, nhỏ hơn 3
Suy ra 2 nhỏ hơn bằng m nhỏ hơn bằng 3
Câu 5: Tìm m để hàm số y = 1/3 m + 3x^3 - 2x² + mx nghịch biến trên R
Đáp án
Tập xác định D = R
Đạo hàm y' = m + 3x² - 4x + m
Trường hợp 1 với m = -3
y' = -4x - 3
Suy ra m = -3 thỏa mãn
Vậy m = -3
Hàm số nghịch biến trên R
Trường hợp 2
Với m khác -3 hàm số nghịch biến trên R khi y' nhỏ hơn bằng 0 với mọi x
Suy ra m + 3x² - 4x + m nhỏ hơn bằng 0 với mọi x
Suy ra m + 3 nhỏ hơn 0
-m2 - trừ 3 m + 4 nhỏ hơn bằng 0
Mời bạn tham khảo tứ giác nội tiếp là gì?tính chất và điều kiện nhận biết tứ giác nội tiếp của luật Minh Khuê
Trên đây là lý thuyết về hàm số đồng biến nghịch biến trên R rồi Minh Khuê xin gửi tới bạn đọc. Mong rằng bài viết trên này những tài liệu tham khảo hữu ích dành cho bạn. Quý khách hàng có bất kỳ thắc mắc nào chứng tỏ lòng liên hệ tổng đài 19006162 để được tư vấn và hỗ trợ trực tiếp hoặc gửi yêu cầu và địa chỉ email: lienhe@luatminhkhue.vn. Cảm ơn bạn quan tâm theo dõi. Chúc các bạn học tốt.
