Hàm số chẵn là gì? Hàm số lẻ là gì? Cách xác định tính chẵn lẻ của hàm số

1. Hàm số chẵn là gì?

Trước hết hiểu một cách trực quan thì hàm số chẵn hay lẻ là có đồ thị nhận trục tung là trục đối xứng (chẵn) hoặc đồ thị nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng (lẻ). Do đó tập xác định của chúng cũng phải đối xứng qua điểm x=0. Tức là với mọi số thuộc tập xác định của hàm số thì số đối của nó cũng thuộc tập xác định của hàm số.

Chẳng hạn:

Tập số (−1;1) đối xứng qua điểm x=0.

Tập số [−1;1) không đối xứng qua điểm x=0.

Hàm số y = f (x) có tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu thoả mãn điều kiện cần và đủ sau:

Điều kiện 1: ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D

Điều kiện 2: ∀ x ∈ D : f ( − x ) = f ( x )

Ví dụ: Hàm số y = x² là hàm số chẵn

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. Do đó nếu lấy một điểm bất kỳ có tọa độ (x; f(x)) trên đồ thị thì phía bên kia trục tung là điểm (-x ; f(−x)) cũng thuộc đồ thị hàm số y = f(x) và dĩ nhiên f(−x) = f(x).

Một số hàm số chẵn thường gặp

y = ax2 + bx + c khi và chỉ khi b = 0

Hàm trùng phương bậc 4

y = cosx

>> Xem thêm: Hàm số đồng biến, nghịch biến khi nào? Định nghĩa và cách xác định

2. Hàm số lẻ là gì?

Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu thoả mãn điều kiện cần và đủ sau:

Điều kiện 1: ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D

Chú ý. Điều kiện này còn gọi là điều kiện tập xác định đối xứng qua số 0. Ví dụ D = (-2;2) là tập đối xứng qua số 0, còn tập D' = [-2;3] là không đối xứng qua 0. Tập R = (−∞;+∞) là tập đối xứng.

Điều kiện 2: ∀ x ∈ D : f (−x)= − f(x)

Ví dụ: Ví dụ: Hàm số y = x là hàm số lẻ

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Do đó nếu lấy một điểm bất kỳ (x;f(x)) trên đồ thị thì điểm đối xứng qua gốc tọa độ là điểm (−x;f(−x)) cũng thuộc đồ thị hàm số y = f(x). Vì hai điểm đó đối xứng với nhau qua gốc tọa độ nên f(−x) = − f(x).

Một số hàm số lẻ thương gặp

y = ax + b khi và chỉ khi b = 0

y = ax^3 + bx^2 + cx + d khi và chỉ khi b = d = 0

y = sinx; y = tanx; y = cotx

Hàm số không chẵn không lẻ là gì?

Không phải bất kỳ hàm số nào cũng có thể xác định là hàm số chẵn hoặc lẻ. Một số dạng hàm số vừa không phải là hàm chẵn cũng không phải là hàm lẻ như: y = x² + x, y = tan(x-1) …

Ví dụ: Hàm số y = 2x + 1 không là hàm số chẵn, cũng không là hàm số lẻ vì:

Tại x = 1 có f(1) = 2.1 + 1 = 3

Tại x = -1 có f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1

→ Hai giá trị f(1) và f(-1) không bằng nhau và cũng không đối nhau.

Ngoài ra, còn có một dạng hàm số đặc biệt là hàm vừa chẵn vừa lẻ. Ví dụ như hàm y=0.

Chứng minh:

Dễ thấy hàm số y = 0 là hàm số xác định trên R, vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ. Giả sử hàm số y = f (x) là một hàm số bất kì có tính chất như thế. Khi đó với mọi x thuộc R ta có :

F (–x) = f (x) (vì f là hàm số chẵn) ;

F (–x) = – f (x) (vì f là hàm số lẻ).

Từ đó suy ra với mọi x thuộc R, xảy ra f(x) = - f(x), nghĩa là f(x) = 0. Vậy y = 0 là hàm số duy nhất xác định trên R, vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ.

>> Xem thêm: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng nhanh nhất

3. Xác định tính chẵn lẻ của hàm số

3.1. Một số tính chất của hàm số chẵn lẻ dùng để nhận biết

- F(x) là hàm số chẵn và có đạo hàm trên tập xác định thì đạo hàm của nó là hàm lẻ.

- F(x) là hàm số lẻ và có đạo hàm trên tập xác định thì đạo hàm của nó là hàm chẵn.

- Hàm số đa thức bậc lẻ thì không phải là hàm chẵn.

- Hàm số đa thức bậc chẵn thì không phải là hàm lẻ.

3.2. Cách xác định hàm số chẵn, hàm số lẻ dựa vào điều kiện cần và đủ

Để xác định hàm số chẵn lẻ ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định: D

Nếu ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D Chuyển qua bước ba

Nếu ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.

Bước 2: Thay x bằng -x và tính f(-x)

Bước 3: Xét dấu (so sánh f(x) và f(-x)):

- Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số f chẵn

- Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số f lẻ

- Trường hợp khác: hàm số f không có tính chẵn lẻ

Ví dụ: (Bài 4 trang 39 Sách giáo khoa Đại số 10) Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y = |x|; b) y = (x + 2)2; c) y = x3 + x; d) y = x2 + x + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt y = f(x) = |x|.

+ Tập xác định: D = R nên với ∀x ∈ D thì -x ∈ D.

+ f(-x) = |-x| = |x| = f(x).

→ Vậy hàm số y = |x| là hàm số chẵn.

b) Đặt y = f(x) = (x + 2)2.

+ Tập xác định: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.

+ f(-x) = (-x + 2)^2 = (x - 2)^2 ≠ (x + 2)2 = f(x)

+ f(-x) = (-x + 2)^2 = (x - 2)^2 ≠ - (x + 2)^2 = -f(x).

→ Vậy hàm số y = (x + 2)2 làm hàm số không chẵn, không lẻ.

c) Đặt y = f(x) = x^3 + x.

+ Tập xác định: D = R nên với ∀x ∈ D thì -x ∈ D.

+ f(-x) = (-x)3 + (-x) = -x3 - x = - (x3 + x) = - f(x)

→ Vậy y = x^3 + x là hàm số lẻ.

d) Đặt y = f(x) = x^2 + x + 1.

+ Tập xác định: D = R nên với ∀x ∈ D thì -x ∈ D.

+ f(-x) = (-x)^2 + (-x) + 1 = x^2 - x + 1 ≠ x^2 + x + 1 = f(x)

+ f(-x) = (-x)2 + (-x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ -(x2 + x + 1) = -f(x)

→ Vậy hàm số y = x2 + x + 1 là hàm số không chẵn, không lẻ

3.3. Cách xác định hàm số chẵn lẻ dựa vào đồ thị hàm số 

Dựa vào đồ thị hàm số: Như chúng ta đã biết, đồ thị hàm số chẵn (lẻ) đối xứng qua trục tung (gốc tọa độ) nên ta có thể nhận dạng thông qua việc quan sát đồ thị hàm số.

3.4. Cách xác định hàm số chẵn lẻ bằng máy tính

Ý tưởng sử dụng Casio để xét dựa trên giá trị f(x) và f(-x) bằng nhau hoặc đối nhau. Để thực hiện ta sử dụng chức năng Table ở chế độ hai hàm số.

Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = x³ + 2x² - 3

Giải: Trên máy tính cầm tay Vinacal 570 ES Plus II ta bấm như sau (các máy tính bỏ túi khác bấm tương tự):

MODE 7 Ta tiến hành nhập hàm số đã cho trong đề bài

Tiếp theo ta nhập hàm số g(x)=f(−x) (Tức là vị trí nào của x ta bấm −x)

Các mục tiếp theo là START, END, STEP ta để mặc định cho nhanh (có thể chọn cũng được). Ta được kết quả như sau:

Đến đây ta dò hai cột giá trị F(X) và G(X) thì thấy rằng tại x=1 hai giá trị không bằng nhau cũng không đối nhau. Do đó hàm đã cho không phải hàm chẵn cũng không phải hàm lẻ. Lưu ý phương pháp này mang tính ước lượng và không thay thế cho chứng minh được. Tuy nhiên sử dụng trong giải toán trắc nghiệm có thể sử dụng được.

>> Xem thêm: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R kèm bài tập

Trên đây là nội dung trình bày của Luật Minh Khuê về Hàm số chẵn lẻ và cách xác định. Nếu quý bạn đọc còn thắc mắc về vấn đề liên quan xin vui lòng liên hệ đến tổng đài tư vấn pháp luật trực tuyến 24/7 1900.6162 để được tư vấn trực tiếp. Xin chân thành cảm ơn!