Mục lục bài viết

1. Khái niệm vecto chỉ phương của đường thẳng

Cho đường thẳng \Delta, vecto u\neq 0 gọi là vecto chỉ phương (VTCP) của đường thằng \Delta nếu giá của vecto chỉ phương song song hoặc trùng với đường thẳng \Delta.

Đường thẳng đi qua điểm gốc và điểm ngọn của một vecto gọi là giá của vecto đó.

Nhận xét:

- Nếu vecto u = (u1; u2) là vecto chỉ phương của \Delta thì vecto k.u \left ( k\neq 0 \right ) cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng.

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và vecto chỉ phương của đường thẳng đó.

- Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến vuông góc với nhau. Vậy nên, nếu đường thẳng \Delta có một vecto chỉ phương là vecto \underset{u}{\rightarrow} = (u1; u2) thì vecto \underset{n}{\rightarrow} = (-u2;u1) là vecto pháp tuyến của \Delta.

 

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của \Delta đi qua điểm M0(x0;y0) và nhận vecto \underset{u}{\rightarrow} = (u1;u2) làm vecto chỉ phương:

\Delta = \left\{\begin{matrix} x & = & x0 +tu1\\ y & = & y0 + tu2 \end{matrix}\right.

Khi u1\neq 0 thì tỉ số k=\frac{u2}{u1} được gọi là hệ số góc của đường thẳng

Từ đây, ta có phương trình \Delta đi qua điểm M0(a;b) và có hệ số góc k là y-b = k(x-a)

Lưu ý: Ta có hệ số góc k=\tan \alpha với góc \alpha là góc của đường thẳng \Delta hợp với chiều dương của trục Ox.

 

3. Công thức xác định vecto chỉ phương của đường thẳng

Cho đường thẳng \Delta đi qua hai điểm  A và B ta có: \underset{AB}{\rightarrow} là vecto chỉ phương của đường thẳng

Cho \underset{u}{\rightarrow}là vecto chỉ phương của đường thẳng \Delta \Rightarrow k\\underset{u}{\rightarrow} là vecto chỉ phương của \Delta.

Cho đường thẳng \Delta :\left\{\begin{matrix} x &= & x_{0}+u1t\\ y & = & y_{0}+u2t \end{matrix}\right. 

 ⇒Vecto chỉ phương của đường thẳng \Delta là \underset{u}{\rightarrow}= (u1;u2)

Cho đường thẳng \Delta có vecto pháp tuyến \underset{u}{\rightarrow}=(a,b) thì đường thẳng đó có các vecto chỉ phương là \underset{u}{\rightarrow}= (b;-a), \underset{u'}{\rightarrow}= (-b;a)

Cho hai đường thẳng c và c'. Biết hai đường thẳng này song song với nhau. Nếu c' có vecto pháp tuyến \underset{n'}{\rightarrow}= (a;b) thì vecto chỉ phương của c là \underset{u}{\rightarrow}= (-b;a), \underset{u}{\rightarrow}= (b;-a)

 

4. Bài tập tìm vecto chỉ phương của đường thẳng

Câu 1. Vecto chỉ phương của đường thẳng  d\left\{\begin{matrix} x & =& 2 + 3t\\ y & = & -3-t \end{matrix}\right.   là?

A. \underset{u1}{\rightarrow}=(4;-6)      B. \underset{u2}{\rightarrow}=(3;-1)      C. \underset{u3}{\rightarrow}=(7;-1)      D.\underset{u4}{\rightarrow}= (-5;5)

Lời giải

Vecto chỉ phương của đường  thẳng d là \underset{u}{\rightarrow}(3;-1)

Vậy nên chọn B

Câu 2. Vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm C(-3;2) và D(1;4)?

A. \underset{u1}{\rightarrow}=(-3;5)      B. \underset{u2}{\rightarrow}=(2;1)      C. \underset{u3}{\rightarrow}=(-2;2)       D. \underset{u4}{\rightarrow}=(2;2)

Lời giải

Đường thẳng CD đi qua hai điểm C và D nên đường thẳng này nhận vecto \underset{CD}{\rightarrow} (4;2) làm vecto chỉ phương.

Lại có vecto \underset{CD}{\rightarrow} và \underset{u}{\rightarrow}(2;1) là hai vecto cùng phương nên đường thẳng CD nhận vecto \underset{u}{\rightarrow}(2;1) là vecto chỉ phương.

Vậy nên chọn B

Câu 3. Vecto chỉ phương của đường thằng \left\{\begin{matrix} x & =& 2+3t\\ y & =& -3-t \end{matrix}\right.=1  là?

A. \underset{u1}{\rightarrow}= (-1;3)      B. \underset{u2}{\rightarrow}=(3;-2)      c.\underset{u3}{\rightarrow}=(5;4)    D.\underset{u4}{\rightarrow}=(6;7)

Lời giải

Ta đưa phương trình đường thẳng đã cho về dạng tổng quát

\left\{\begin{matrix} x & =& 2+3t\\ y & =& -3-t \end{matrix}\right.=1

 ⇔ 2x +3y -6 = 0 nên đường thẳng có vecto pháp tuyến là \underset{n}{\rightarrow}= (2;3)

Suy ra vecto chỉ phương là \underset{u}{\rightarrow}= (3;-2).

Vậy nên chọn B.

Câu 4. Vecto chỉ phương của đường thẳng d: 2x - 5y - 100 = 0 là?

A. \underset{u}{\rightarrow}= (8;9)      B. \underset{u}{\rightarrow}=(-5;2)    C. \underset{u}{\rightarrow}=(5;2)    D.\underset{u}{\rightarrow}=(2;5)

Lời giải

Đường thẳng d có vecto pháp tuyến là \underset{n}{\rightarrow}(2;-5).

Suy ra đường thẳng có vecto pháp tuyến là \underset{u}{\rightarrow}(5;2).

Vậy nên chọn C

Câu 5. Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm H(2;3) và E(4;1)?

A.\underset{n}{\rightarrow}=( 3;3)     B.\underset{n}{\rightarrow}=(-1;1)      C. \underset{n}{\rightarrow}=(1;1)     D. \underset{n}{\rightarrow}=(1;-3)

Lời giải

Đường thẳng HE nhận vecto \underset{HE}{\rightarrow} (2;-2) làm vecto chỉ phương nên đường thẳng d nhận vecto \underset{n}{\rightarrow}(1;1) làm vecto pháp tuyến.

Vậy nên chọn C

Câu 6. Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của đường thẳng song song trục Ox?

A. \underset{u}{\rightarrow}=(1;0)       B. \underset{u}{\rightarrow}=(2;0)    C. \underset{u}{\rightarrow}=(5;6)    D. \underset{u}{\rightarrow}= (2;-2)

Lời giải 

Trục Ox có phương trình là y=0; đường thẳng này có vecto pháp tuyến \underset{n}{\rightarrow}=(0;1)

Suy ra đường thẳng này nhận vecto \underset{u}{\rightarrow}=(1;0) làm vecto chỉ phương.

Do đó một đường thẳng song song với Ox cũng có vecto chỉ phương là \underset{u}{\rightarrow}=(1;0).

Vậy nên chọn A.

Câu 7. Cho đường thẳng d đi qua O(1;2) và điểm A(2;m). Tìm m để đường thẳng d nhận \underset{u}{\rightarrow}(1;3) làm vecto chỉ phương?

A. m=1    B.m=4   c. m=5  D. m=3

Lời giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm O và A nên đường thẳng d nhận vecto \underset{OA}{\rightarrow} (1;m-2) làm vecto chỉ phương.

Ta có vecto \underset{u}{\rightarrow}(1;3) làm vecto chỉ phương của đường thẳng d. Suy ra hai vecto \underset{u}{\rightarrow}và \underset{OA}{\rightarrow} cùng phương nên có hệ số k sao cho \underset{u}{\rightarrow}= k\underset{OA}{\rightarrow}

 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1 & =& k.1\\ 3 & =& k.(m-2) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} k & =& 1\\ m & =& 5 \end{matrix}\right.

Vậy nên, khi m = 5 thì đường thẳng d nhận \underset{u}{\rightarrow}(1;3) làm vecto chỉ phương.

Chọn C

Câu 8. Cho đường thẳng d đi qua A(-2;3) và điểm B(2;m+1). Tìm m để đường thẳng d nhận  \underset{u}{\rightarrow} (2;4) làm vecto chỉ phương?

A. m= -10     B. m= 2    C. m=10    D. m=6

Lời giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên d nhận vecto \underset{AB}{\rightarrow} (4;m-2) làm vecto chỉ phương.

Lại có vecto \underset{u}{\rightarrow}(2;4) làm vecto chỉ phương của đường thẳng d

⇒ Vecto \underset{u}{\rightarrow} và \underset{AB}{\rightarrow} cùng phương nên tồn tại số k sao cho \underset{u}{\rightarrow}= k\underset{AB}{\rightarrow}

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2 & = & k.4\\ 4 & = & k.(m-2) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} k& =& \frac{1}{2}\\ m & =& 10 \end{matrix}\right.

Vậy m=10 là giá trị cần tìm.

Chọn C

Câu 9. Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm M(a;0) và N(0;b)

A. \underset{u}{\rightarrow}(-a;b)     B. \underset{u}{\rightarrow}(a;b)      C. \underset{u}{\rightarrow}(a+b;0)     D. \underset{u}{\rightarrow}(-a;-b)

Lời giải

Đường thẳng MN đi qua điểm M và N nên đường thẳng nhận vecto \underset{MN}{\rightarrow}(-a;b) làm vecto chỉ phương.

Vậy nên chọn A.

Câu 10. Đường thẳng d có một vecto pháp tuyến là \underset{u}{\rightarrow}= (-2;-5). Đường thẳng \Delta vuông góc với d có một vecto chỉ phương là?

A. \underset{u}{\rightarrow}= (1;2)   B. \underset{u}{\rightarrow}= (-5;2)   C. \underset{u}{\rightarrow}= (2;5)    D. \underset{u}{\rightarrow}= (2;-5)

Lời giải

Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vecto chỉ phương của đường thẳng này là vecto pháp tuyến của đường thẳng kia nên:

\left\{\begin{matrix} \underset{n_{d}}{\rightarrow} & = & (-2;-5)\\ \Delta & \perp & d \end{matrix}\right.

\Rightarrow   \underset{u_{\Delta }}{\rightarrow} = \underset{n_{d}}{\rightarrow} = (-2;-5)

Lại có hai vecto \underset{u_{\Delta }}{\rightarrow}(-2;-5) và \underset{u}{\rightarrow}(2;5) cùng phương nên đường thẳng \Delta nhận vecto \underset{u}{\rightarrow}(2;5) làm vecto chỉ phương.

Vậy nên chọn C

Câu 11. Đường thẳng d có một vecto chỉ phương là \underset{u}{\rightarrow}=(3;-4). Đường thẳng \Delta song song với d có một vecto pháp tuyến là?

A. \underset{n}{\rightarrow}=(4;3)      B. \underset{n}{\rightarrow}=(2;3)       C.\underset{n}{\rightarrow}=(5;-4)     D. \underset{n}{\rightarrow}=(6;2)

Lời giải

Khi hai đường thẳng song song với nhau thì vecto chỉ phương của đường thẳng này cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng kia. Vậy nên:

\left\{\begin{matrix} \underset{u_{d}}{\rightarrow} & = & (3;-4)\\ \Delta & \parallel & d \end{matrix}\right. 

 → \underset{u_{\Delta }}{\rightarrow} = \underset{^{u_{d}}}{\rightarrow}= (3;-4) → \underset{n_{\Delta }}{\rightarrow} = (4;3)

Vậy nên ta chọn A

Câu 12. Vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương của đường thẳng song song với trục Oy?

A. \underset{u}{\rightarrow}=(1;0)      B. \underset{u}{\rightarrow}=(0;1)    C. \underset{u}{\rightarrow}=(7;7)      D. \underset{u}{\rightarrow}=(3;2)

Lời giải

Trục Oy có phương trình tổng quát là: x=0. Đường thẳng này có vecto pháp tuyến là \underset{n}{\rightarrow}(1;0)

Đường thẳng x=0 có vecto chỉ phương là \underset{u}{\rightarrow}(0;1)

⇒ Đường thẳng song song với Oy  cũng có vecto chỉ phương là \underset{h}{\rightarrow}(0;1)

Vậy đáp án là B

Câu 13. Vecto nào sau đây là một vecto chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2) và D(-3;6)

A. \underset{u}{\rightarrow}= (2;2)   B. \underset{u}{\rightarrow}= (1;-1)    C. \underset{u}{\rightarrow}= (6;-9)     D. \underset{u}{\rightarrow}= (-1;2)

Lời giải 

Đường thẳng AD đi qua hai  điểm A và B nên có vecto chỉ phương là \underset{AD}{\rightarrow}(-4;4)

Hai vecto \underset{AD}{\rightarrow}(-4;4) và \underset{u}{\rightarrow}(1;-1) là hai vecto cùng phương ⇒ Vecto \underset{u}{\rightarrow}(1;-1) là vecto chỉ phương của đường thẳng AD.

Vậy nên đáp án là B.

Câu 14. Vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm M(a;b)

A. \underset{u}{\rightarrow}(0;a+b)    B. \underset{u}{\rightarrow}(a;b)     C. \underset{u}{\rightarrow}(a;-b)     D. \underset{u}{\rightarrow}(-a;b)

Lời giải

Đường thẳng OM đi qua điểm M và O nên đường thẳng này nhận \underset{OM}{\rightarrow}(a;b) làm vecto chỉ phương.

Vậy nên đáp án là B.

Câu 15. Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến  của đường thẳng đi qua hai điểm V(1;-8) và A(3;-6)

A. \underset{n}{\rightarrow}=(2;3)   B. \underset{n}{\rightarrow}=(6;5)    C. \underset{n}{\rightarrow}=(3;5)       D. \underset{n}{\rightarrow}=(8;-8)

Lời giải

Đường thẳng VA đi qua hai điểm V và A nên có vecto chỉ phương là vecto \underset{VA}{\rightarrow}(2;2).

Ta có: \underset{VA}{\rightarrow}(2;2) và \underset{n}{\rightarrow}(8;-8) vuông góc với nhau vì tích vô hướng của hai vecto bằng 0

⇒ Vecto \underset{n}{\rightarrow}(8;-8) là vecto pháp tuyến của đường thẳng VA.

Câu 16. Đường thẳng d có một vecto pháp tuyến là \underset{n}{\rightarrow}= (4;-2). Vecto nào là vecto chỉ phương của d?

A. \underset{v}{\rightarrow}=(3;9)     B. \underset{v}{\rightarrow}=(7;4)    C. \underset{v}{\rightarrow}=(2;1)     D. \underset{v}{\rightarrow}=(1;2)

Lời giải

Đường thẳng d có vecto pháp tuyến \underset{n}{\rightarrow}(4;-2) nên có vecto chỉ phương \underset{u}{\rightarrow}(2;4)

Mà \underset{u}{\rightarrow}(2;4) và \underset{v}{\rightarrow}(1;2) cùng phương nên đường thẳng đã cho nhận \underset{v}{\rightarrow}(1;2) làm vecto chỉ phương.

Vậy nên đáp án là D

Câu 17. ĐƯờng thẳng d có vecto pháp tuyến là \underset{n}{\rightarrow}=(-2;-5). Đường thẳng song song với d có vecto chỉ phương là?

A. \underset{u}{\rightarrow}=(5;-2)        B. \underset{u}{\rightarrow}=(-6;-2)      C. \underset{u}{\rightarrow}=(2;-5)         D. \underset{u}{\rightarrow}=(8; -9)

Lời giải

Khi hai đường thẳng song song với nhau thì vecto chỉ phương của đường thẳng này cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng kia nên:

\left\{\begin{matrix} \underset{n_{d}}{\rightarrow} &= &(-2;-5) \\ \Delta &\parallel & d \end{matrix}\right.

→\underset{n_{\Delta }}{\rightarrow}=\underset{u_{d}}{\rightarrow}=(-2;-5)

→\underset{u_{\Delta }}{\rightarrow}=(5;-2)

Vậy nên đáp án là A.

Câu 18. Cho đường thẳng d đi qua A(-1;2) và điểm M(m;3). Tìm m để đường thẳng  có vecto chỉ phương là \underset{u}{\rightarrow}(-2;1)?

A. m=-2          B. m=-9       C. m=-3          m=5

Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm A và điểm M nên đường thẳng d có vecto chỉ phương là \underset{AM}{\rightarrow} (m+1;1)

Ta có: \underset{u}{\rightarrow}(-2;1) là vecto chỉ phương của dường thẳng d.

⇒ Vecto \underset{u}{\rightarrow} và \underset{AM}{\rightarrow} cùng phương nên tồn tại đó sao cho \underset{u}{\rightarrow}= k\underset{AM}{\rightarrow}

\left\{\begin{matrix} -2 & = &k.(m+1) \\ 1 & = & k.1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} k & = & 1\\ m & =& -3 \end{matrix}\right. 

 m=-3 là giá trị cần tìm.

Vậy nên đáp án là C

Công ty Luật Minh Khuê gửi quý khách hàng thông tin về "Cách tìm vecto chỉ phương của đường thẳng đơn giản, chi tiết nhất". Xem thêm: Định lý Talet trong tam giác và trong hình thang.