Mục lục bài viết

1. Kiến thức trọng tâm về phân số

- Tính chất cơ bản của phân số:

+ Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

\frac{a}{b} = \frac{a.m}{b.m} với m thuộc Z và m khác 0

+ Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng ra thì ta được một phân số bằng phân số đã cho

\frac{a}{b} = \frac{a:m}{b:m} với m thuộc ƯC(a,b)

- Rút gọn phân số: Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một ước chung khác 1 và -1 của chúng

- Phân số tối  giản: phân số tối giản (hay phân số không rút gọn được nữa) là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1)

Ví dụ: \frac{1}{5}; \frac{7}{9}; \frac{5}{11};.....

 

2. Các dạng bài tập về phân số 

- Dạng 1: Tìm số chưa biết trong đẳng thức của phân số 

Phương pháp giải:

Nhân hoặc chia cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ra được một phân số bằng phân số đã cho

- Dạng 2: Rút gọn phân số - rút gọn biểu thức dạng phân số

Phương pháp giải:

+ Để rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của nó cho một ước chung (khác 1 và -1) của chúng

+ Khi nói rút gọn một phân số, ta thường hiểu là đưa phân số đó về dạng tối giản

+ Để rút gọn phân số\frac{a}{b} (b khác 0) thành phân số tối giản ta làm như sau: 

Bước 1: Tìm ƯCLN (a,b) = n

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho n

- Dạng 3: Phân số bằng nhau

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất: \frac{a}{b} =\frac{a.m}{b.m} (m thuộc z, m khác 0)

\frac{a}{b} = \frac{a:n}{b:n} (n thuộc ƯC(a,b))

- Dạng 4: Biểu diễn các số đo dưới dạng phân số với đơn vị cho trước

Phương pháp giải: Dựa vào tỉ lệ của các đại lượng của ta chuyển về dạng phân số.

- Dạng 5: Phân số tổi giản

Phương pháp giải: 

+ Phân số \frac{a}{b} tối giản nếu |a| và |b| là hai số nguyên tố cùng nhau, hay ƯC (a,b) thuộc {-1;1}

+ Chứng minh phân số \frac{a}{b} tối giản: 

Ta chứng minh ƯCLN (a,b) = 1.

 

3. Bài tập áp dụng về phân số

Câu 1: Điền số thích hợp vào chỗ chấm

a)\frac{7}{15}  =  \frac{-21}{......}

b) \frac{......}{11} = \frac{-22}{121}

c)\frac{6}{.......} = \frac{18}{54}

Lời giải:

a) \frac{7}{15} = \frac{-21}{-45}

b) \frac{-2}{11} = \frac{-22}{121}

c)\frac{6}{18} = \frac{18}{54}

Câu 2: Điền số thích hợp vào ô trống:

a) \frac{5}{-7} = .... / ...... = ...... / ......

b) \frac{-2}{3} = ....... / 18

c) - 1 = .... / - 3 = 4 / ....... = ..... / -6 = 8 / .....

Lời giải:

a) Có vô số phân số bằng \frac{5}{-7}. Chẳng hạn \frac{5}{-7}  = \frac{10}{-14} = \frac{15}{-21}

b)\frac{-2}{3} = \frac{-12}{18}

c) -1 =\frac{3}{-3} = \frac{4}{-4}= \frac{6}{-6}= \frac{8}{-8}

Câu 3: Điền số thích hợp vào ô trống:

Chuyên đề rút gọn phân số -Toán lớp 6

Lời giải:

Chuyên đề rút gọn phân số -Toán lớp 6

Câu 4: Rút gọn các phân số sau:

a) \frac{24}{36}

b) \frac{-72}{81}

c) \frac{3.7}{6.14}

d) \frac{7}{9.10^{2}} - 2.102

Lời giải:

a) ƯCLN (24,36) = 12

Ta có:  \frac{24}{36} = \frac{24:12}{36:12}= \frac{2}{3}

b) ƯCLN(-72,81) = 9

Ta có: \frac{-72}{81} = \frac{-72:9}{81:9} = \frac{-8}{9}

c) Ta có: \frac{3.7}{6.14} = \frac{3.7}{(2.3).(2.7)} = \frac{3.7}{(3.7).2.2} = \frac{1}{4}

d) Ta có: \frac{7}{9.10^{2}} - 2.102 = \frac{7}{10^{2}.(9-2)} = \frac{7}{10^{2}.7} = \frac{1}{10^{2}} = \frac{1}{100}

Câu 5: Rút gọn các phân số sau:

a) \frac{4}{18}

b) \frac{-30}{75}

c) \frac{18}{-90}

d) \frac{300}{360}

e)\frac{-50}{150}

f) \frac{1515}{1717}

g) \frac{-2727}{4242}

h) \frac{120120}{240240}

Lời giải:

a) \frac{2}{9}

b)\frac{-2}{5}

c) \frac{-1}{5}

d)  \frac{5}{6}

e) \frac{-1}{3}

f) \frac{15}{17}

g)  \frac{-9}{14}

h) \frac{1}{2}

Câu 6: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \frac{3.(-5)}{15.(-6)}

b) \frac{(-6).11}{(-11).(-8)}

c) \frac{21.(-5)}{25.(-7)}

d) \frac{32.9.11}{12.24.22}

Lời giải:

a) \frac{3.(-5)}{15.(-6)} = \frac{3.(-1).5}{3.5.(-1).6} = \frac{1}{6}

b) \frac{(-6).11}{(-11).(-8)} = \frac{(-6).11}{11.(-1).(-1).8} = \frac{-6}{8} = \frac{-6:2}{8:2} = \frac{-3}{4}

c) \frac{21.(-5)}{25.(-7)} = \frac{3.7.(-1).5}{5.5.(-1).7} = \frac{3}{5}

d) \frac{32.9.11}{12.24.22} = \frac{2^{5}.3^{2}.11}{(2^{2}.3)(2^{3}.3)(2.11)} = \frac{1}{2}

Câu 7: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \frac{2^{5}.3^{2}}{2^{2}.3}

b) \frac{5^{2}.6}{5.2^{2}}

c) \frac{8.5^{2}-8.4^{2}}{2^{2}.3^{2}}

d) \frac{7^{4}.2^{2}+7^{4}.3^{2}}{49.26}

Lời giải:

a) 24

b) \frac{75}{2}

c) 2

d) \frac{49}{2}

Câu 8: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \frac{4116-14}{10290-35}

b) \frac{2929 -101}{2.1919+404}

Lời giải:

a) \frac{2}{5}

b) \frac{2}{3}

Câu 9: Nêu thêm vào cả tử và mẫu của phân số 13 / 21 với cùng một số tự nhiên n rồi rút gọn ta được phân số\frac{5}{7}. Tìm số tự nhiên n

Lời giải:

Theo đề bài ta có: \frac{13+n}{21+n} = \frac{5}{7}

Suy ra: 7.(13+n) = 5. (21+n)

7.13 + 7.n = 5.21 + 5.n

91 + 7.n = 105 + 5.n 

7.n - 5.n = 105 - 91

n(7-5) = 14 

n = 7

Câu 10: Nếu thêm vào tử đồng thời bớt đi ở mẫu cùng một số tự nhiên a của phân số \frac{11}{23} rồi rút gọn thì được phân số \frac{8}{9}. Tìm số tự nhiên a

Tương tự. Kết quả a = 5

Câu 11: Cộng cả tử và mẫu của phân số 19 / 35 với cùng một số nguyên a rồi rút gọn, ta được phân số \frac{3}{5}. Tìm số  nguyên a

Tương tự.  Kết quả a = 5

Câu 12. Viết các phân số bằng các phân số sau và có mẫu dương: \frac{-2}{-3}; \frac{7}{-5}; \frac{4}{-9}

Lời giải:\frac{2}{3}; \frac{-7}{5}; \frac{-4}{9}

Câu 13. Viết dạng tổng quát của các phân số bằng:

a) \frac{-15}{20}

b) \frac{35}{56}

Lời giải:

a) Ta có: \frac{-15}{20} = \frac{-15:5}{20:5} = \frac{-3}{4}

Vậy tổng quát của các phân số  bằng \frac{-15}{20}  là \frac{-3k}{4k} (k thuộc Z, k khác 0)

b) Ta có: \frac{35}{56} = \frac{35:7}{56:7} = \frac{5}{8}

Vậy dạng tổng quát của phân số bằng \frac{35}{56} là \frac{5k}{8k} (k thuộc Z, k khác 0)

Câu 14: 

a) Viết năm phân số bằng phân số \frac{-2}{3}

b) Viết tất cả các phân số bằng phân số \frac{15}{39} có tử và mẫu là các số tự nhiên có hai chữ số

c) Tìm tất cả các phân số bằng phân số \frac{21}{28} và có mẫu là số tự nhiên nhỏ hơn 19

Lời giải:

a) \frac{2}{-3}; \frac{-4}{6}; \frac{4}{-6} ; \frac{-6}{9}; \frac{6}{-9}

b) Ta có: \frac{15}{39} = \frac{15:3}{39:3} = \frac{5}{13}. Nhân cả tử và mẫu của phân số \frac{5}{13} lần lượt với 2; 3; ....; 7 ta được phân số thoả mãn là: \frac{10}{26}; \frac{20}{52}; \frac{25}{65}; \frac{30}{78}; \frac{35}{91}. Ta có \frac{21}{28} = \frac{21:7}{28:7} = \frac{3}{4}. Nhân cả tử và mẫu của phân số \frac{3}{4} lần lượt với 1; 2; 3; 4 ta được  các phân số thoả mãn là : \frac{3}{4}; \frac{6}{8}; \frac{8}{12} ; \frac{12}{16}

Câu 15: Giải thích vì sao các cặp phân số sau đây bằng nhau:

a) \frac{21}{-28} = \frac{-29}{52}

b) \frac{13}{17} = \frac{91}{119}

c) \frac{1313}{2121} = \frac{131313}{212121}

d) \frac{234}{234234} = \frac{567}{567567}

Lời giải:

a) Ta có: \frac{21}{-28} = \frac{21:(-7)}{-28:(-7)} = \frac{-3}{4}

\frac{-39}{52} = \frac{-39:13}{52:13} = \frac{-3}{4}

Vậy: \frac{21}{-28} = \frac{-39}{52}

b) Ta có: \frac{91}{119} = \frac{91:7}{119:7} = \frac{13}{17}. Vậy \frac{13}{17}= \frac{91}{119}

c) Ta có: \frac{1313}{2121} = \frac{13.101}{21.101}= \frac{13}{21}

\frac{131313}{212121} = \frac{13. 10101}{21.101101} = \frac{13}{21}

Vậy \frac{1313}{2121} = \frac{131313}{212121}

d) Ta có: \frac{234}{234234} = \frac{234}{234.1001} = \frac{1}{1001}

\frac{567}{567567} = \frac{567}{567.1001} =\frac{1}{1001}

Vậy \frac{234}{234234} = \frac{567}{567567}

Câu 16: 

a) Tìm các cặp phân số bằng nhau trong các phân số sau:

\frac{8}{18}; \frac{-35}{14} ; \frac{88}{56} ; \frac{-12}{-27} ; \frac{11}{7} ; \frac{-5}{2}

b) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn:\frac{-3}{4} = \frac{x}{12} = \frac{-15}{y-1}

Lời giải:

a) Rút gọn tối  giản và ta được các cặp bằng nhau là \frac{8}{18} và \frac{-12}{-27};\frac{-35}{14} và \frac{-5}{2}; \frac{88}{56}  và \frac{11}{7}

b) Từ đẳng thức \frac{-3}{4} = \frac{x}{12} ta có 4.x = (-3).12 => x = -9

Từ đẳng thức \frac{-3}{4} = \frac{-15}{y-1} ta có -3.(y-1) = 4.(-15) => y -1 = 20 hay y = 21

Vậy x = -9; y = 21

Câu 17: Tìm các số nguyên x thoả mãn

a)\frac{x}{5} = \frac{-12}{10}

b) \frac{x+1}{2} =\frac{x}{3}

c) \frac{7}{x} =\frac{y}{27} = \frac{-42}{54}

Lời giải:

a) x = -6

b) x = -3

c) x = -9

Xét đẳng thức \frac{y}{27} = \frac{-42}{54} ta có y.54 = (-42).27 suy ra y = \frac{-42.27}{54} = -21

Câu 18: Các phút sau đây chiếm bao nhiêu phần của giờ?

a) 6 phút

b) 24 phút

c) 30 phút

d) 48 phút

Lời giải:

a) \frac{1}{10} giờ

b) \frac{2}{5} giờ

c) \frac{1}{2} giờ

d) \frac{4}{5} giờ

Câu 19: Biểu thị các số sau dưới dạng phân số (chú ý rút gọn nếu có thể) với đơn vị:

a) mét: 24 cm; 8 dm

b) mét vuông: 320 cm2; 63 dm2

c) dm3 : 50 cm3; 450 cm3

d) ki-lo-gam: 72g; 420g

Lời giải:

a) 24 cm =\frac{24}{100} m = \frac{24:4}{100:4} m = \frac{6}{25} m

8dm = \frac{8}{10} m = \frac{8:2}{10:2} m = \frac{4}{5} m

b) 320 cm2 = \frac{320}{10 000} m2 = \frac{320:80}{10 000:80} m2 = \frac{4}{125} m2

63 dm2 = 63 / 100  m2

c) 50 cm3 = \frac{50}{1000} dm3 = \frac{50:50}{1000:50} dm3 = \frac{1}{20} dm3

d) 72g = \frac{72}{1000} kg = \frac{72:8}{1000:8} = \frac{9}{125} kg

420g = \frac{420}{1000} kg =\frac{420:20}{1000:20} = \frac{21}{50} kg

Câi 20: Một bể nước có dung tích 5000 lít. Người ta đã bơm 3500 lít nước vào bể. Hỏi lượng nước cần bơm tiếp cho đây bể bằng bao nhiêu phần dung tích bể?

Lời giải:

Lượng nước cần bơm tiếp cho đầy bể là; 

5000 - 3500 = 1500 (litw)

Lượng nước cần bơm tiếp cho đầy bể chiếm số phân của dung tích bể là:

\frac{1500}{5000} = \frac{1500: 500}{5000:500} = \frac{3}{10}

Câu 21: Một vòi nước chảy trong 3 giờ thì đầy bể. Hỏi khi chảy trong 1 giờ; 48 phút; 120 phút thì lượng nước đã chảy chiếm bao nhiêu phần bể?

Lời giải

Trong 1 giờ vòi chảy được số phần bể là \frac{1}{3} bể

Đổi 3 giờ = 3.60 = 180 phút

Trong 48 phút vòi chảy được số phần bể là : \frac{48}{180} = \frac{48:12}{180:12} = \frac{4}{15}bể

Trong 120 phút vòi chảy được số phần bể là: \frac{120}{180} =\frac{120:60}{180:60}= \frac{2}{3} bể

Câu 22. Trong các phân số sau đây, phân số nào là phân số tối giản?

\frac{-9}{25}; \frac{26}{84}; \frac{17}{-32}; \frac{8}{81}

Lời giải:

ƯCLN (-9,15) = 1

ƯCLN(26,84) = 2

ƯCLN(17,-32) = 1

ƯCLN(8,81) = 1

Vậy các phân số tối giản là: \frac{-9}{25}; \frac{17}{-32} và \frac{8}{81}

Câu 23: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho \frac{x}{225} là phân số tối giản

Lời giải:

Ta có \frac{x}{225} = \frac{x}{3^{2}.5^{2}}

Để \frac{x}{225} là phân số tối giản thì ƯCLN (x,225) = 1

Mà Ư(225) = {+-1; +-3; +-5; +-9; +-15; +-25; +-45; +-75; +-225} suy ra x không chia hết cho các số 3; 5; 9; 15; 25; 45; 75 và 225 thì \frac{x}{225} là phân số tối giản.

Câu 24: Chứng minh rằng phân số \frac{2n+1}{2n+3} (n thuộc Z) là phân số tối giản

Lời giải:

Gọi d (d thuộc Z) là ước chung của 2n+1 và 2n+3 (d thuộc N)

Ta có: (2n+1) chia hết cho d và (2n+3) chia hết cho d

Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta có: (2n+3) - (2n+1) chia hết cho d hay 2 chia hết cho d

Suy ra d = 2 hoặc d = 1

Nhận thấy 2n +1 và 2n+3 là hai số lẻ nên ước chung của chúng không thể bằng 2

Do đó d = 1. Suy ra ƯCLN (2n+1,2n+3) = 1 

Vậy phân số: \frac{2n+1}{2n+3} (n thuộc Z) là phân số tối giản

Câu 25: Chứng minh rằng với n thuộc N*, các phân số sau là phân số tối giản:

a) \frac{3n}{3n+1}

b)\frac{n+1}{2n+3}

c) \frac{3n-2}{4n-3}

d) \frac{4n+1}{6n+1}

Lời giải:

a) Gọi d (d thuộc Z) là ước chung của 3n và 3n+1 ( n thuộc N*)

Khi đó 3n chia hết cho d và (3n+1) chia hết cho d

Áp dụng tính chất chia hết của một hiệu, ta được: (3n+1) - 3n chia hết cho d = 1 chia hết cho d

Suy ra d = +-1. Do đó ƯCLN (3n,3n+1) = 1

Vậy \frac{3n}{3n+1} là phân số tối giản

b) Gọi d (d thuộc Z) là ước chung của n +1 và 2n + 3 ( n thuộc N*)

Khi đó (n+1)  chia hết cho d suy ra 2(n+1) chia hết cho d hay (2n+2) chia hết cho d; và (2n+3) chia hết cho d

Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta được: (2n+3) - (2n +2) chia hết cho d => 1 chia hết cho d

Suy ra d = +-1. Do đó ƯCLN (n+1, 2n+3) = 1

Vậy \frac{n+1}{2n+3} là phân số tối giản

c) Gọi d (d thuộc Z) là ước chung của 3n-2  và 4n-3 (n thuộc N*)

Khi đó (3n-2) chia hết cho d suy ra 4(3n-2) chia hết cho d hay (12n-8) chia hết cho d và (4n-3) chia hết cho d suy ra 3.(4n-3) chia hết cho d hay (12n-9) chia hết cho d.

Theo tính chất cho hết của một hiệu, ta được: (12n-9) -(12n-8) chia hết cho d => -1 chia hết cho d

Suy ra d = +-1. Do đó ƯCLN (3n-2; 4n-3) = 1

Vậy \frac{3n-2}{4n-3} là phân số tối giản

d) Gọi d (d thuộc Z) là ước chung của 4n+1 và 6n+1 (n thuộc N*)

Khi đó (4n+1) chia hết cho d, suy ra 3(4n+1) chia hết cho d hay (12n+3) chia hết cho d; và (6n+1) chia hết cho d suy ra 2.(6n+1) chia hết cho d hay (12n +2) chia hết cho d.

Theo tính chất chia hết của một hiệu, ta được: (12n+3) - (12n + 2) chia hết cho d => 1 chia hết cho d

Suy ra d = +-1. Do đó ƯCLN (4n+1; 6n+1) = 1

Vậy \frac{4n+1}{6n+1}là phân số tối giản.

Bạn đọc có thể tham khảo bài viết: Tổng hợp bài tập ôn hè môn Toán lớp 6 cập nhật mới nhất