Mục lục bài viết

1. Đạo hàm là gì?
2. Ý nghĩa của đạo hàm
3. Bảng công thức đạo hàm
4. Một số dạng bài liên quan tới đạo hàm

1. Đạo hàm là gì?

Đạo hàm là một tỷ số giữa số gia của đối số và số gia của hàm số tại một điểm bất kỳ gọi là điểm x0, còn chiều biến thiên lên hay xuống của hàm số thì chính là giá trị của đọa hàm.

Cho hàm số có dạng y = f(x) được xác định trong khoảng (a;b) và có điểm $x_{0} \epsilon (a;b)$ . Giới hạn hữu hạn của tỷ số khi x tới điểm x0 được gọi là đạo hàm đã cho tại điểm x0.

Ký hiệu đạo hàm: f'(x) hay y'(x)

Công thức tính đạo hàm được viết như sau: $f'(x_{0}) = \lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}$

Chú ý rằng:

+ Đại lượng $\Delta x = x - x_{0}$ được gọi là số gia của đối số x tại x0.

+ Đại lượng $\Delta y = f(x) - f(x_{0}) = f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})$ được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Do đó: $y' (x_{0}) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Như vậy, ta sẽ có các bước để tính đạo hàm bằng định nghĩa như sau:

Bước 1: Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số x tại x0. Tiếp đó, ta sẽ tính: $\Delta y=f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})$

Bước 2: Ta sẽ lập tỷ số giữa $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Bước 3: Tính giới hạn của $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ khi $\Delta x$ tiến tới 0, cụ thể: $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\$

Lưu ý: Trong định nghĩa trên đây, nếu thay x0 bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm $x\epsilon (a;b)$

Ví dụ: Cho hàm số f(x) = 2x + 1. Tính đạo hàm của hàm số đã cho bằng định nghĩa.

Tập xác định của hàm số đã cho là D = R

Ta có: $\Delta y=2(x + \Delta x) + 1 - 2x -1 = 2\Delta x$

Do đó: $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{2\Delta x}{\Delta x} = 2 = f'(x)$

2. Ý nghĩa của đạo hàm

Về mặt hình học, đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x0;f(x0)) đó. Ta có, phương trình của tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M như sau: y - f(x0) = f'(x0)(x-x0). Nhờ có đạo hàm ta còn xác định được điểm cực đại và cực tiểu của hàm số.

Về mặt vật lý, cụ thể như sau:

Ta có chuyển động thẳng s = f(t). Khi đó vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là v(t0) = s'(t0) = f'(t0).

Hay giả sử điện lượng Q truyền trong dây dẫn được xác định bởi phương trình: Q = f(t). Vậy cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0: I(t0) = Q'(t0) = f'(t0).

Qua đó, ta thấy rằng đạo hàm có ý nghĩa vô cùng quan trọng đối với cuộc sống của chúng ta. Bởi chúng ta có thể áp dụng những kiến thức này không chỉ có ý nghĩa về mặt hình học hay vật lý nêu trên mà còn giúp ta biết tốc độ tăng trưởng của kinh tế, tính tốc độ phản ứng hóa học, tốc độ và gia tốc của chuyển động,.....

3. Bảng công thức đạo hàm

Các quy tắc tính đạo hàm: u = u(x), v = v(x)

+ Phép cộng, phép trừ: $(u\pm v)'= u'\pm v'$

+ Phép nhân: (u.v)'= u'.v + u.v' và (ku)'= k.u'

+ Phép chia: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'.v - v'.u}{v^{2}}$ và $(\frac{k}{v})' = -\frac{k.v'}{v^{2}}$ ; (v khác 0)

BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
Hàm số cơ bản	Hàm số hợp
(C là hằng số)

$(x^{a})' = a.x^{a-1}\mathrm{}$	$(u^{a})' = a.u^{a -1}.u'$
$\left (\frac{1}{x} \right )' = - \frac{1}{x^{2}}$ với $x\neq 0$	$\left ( \frac{1}{u} \right )'=- \frac{u'}{u^{2}}$ với $u\neq 0$
$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ với	$(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ với
$(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ với $n\epsilon N^{*}, n> 1$	$(\sqrt[n]{u})'=\frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$ với $n\epsilon N^{*}, n> 1$


$(tan x)' = \frac{1}{cos^{2}x}$ với $x\neq \frac{\pi }{2} + k\pi$	$(tanu)'=\frac{u'}{cos^{2}u}$ với $u\neq \frac{\pi }{2}+k\pi$
$(cotx)' = -\frac{1}{sin^{2}x}$ với $x\neq k\pi$	$(cotu)'=-\frac{u'}{sin^{2}u}$ với $u\neq k\pi$
$(lnx)'=\frac{1}{x}$ với	$(lnu)'=\frac{u'}{u}$ với
$(log_{a}x)'=\frac{1}{xlna}$ với	$(log{_{a}}^{u})'=\frac{u'}{ulna}$ với
$(e^{x})'=e^{x}$	$(e^{u})'=u'.e^{u}$
$(a^{x})'=a^{x}.lna$	$(a^{u})'=u'.a^{u}.lna$
$\left (\frac{ax+b}{cx+d} \right )'=\frac{ad-bc}{(cx+d)^{2}}$
$\left (\frac{ax^{2}+bx+c}{ex+f} \right )'=\frac{ae.x^{2}+2af.x+ (bf-ce)}{(ex+f)^{2}}$

4. Một số dạng bài liên quan tới đạo hàm

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Dạng bài toán này được giải quyết, tính toán dựa trên định nghĩa đạo hàm và công thức khái quát.

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) = 3x + 3. Tính đạo hàm của hàm số đã cho bằng định nghĩa.

Giải:

Tập xác định của hàm số đã cho là: D = R

Ta có: $\Delta y = 3(x+\Delta x) + 3 - 3x - 3 = 3\Delta x$

Do đó: $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{3\Delta x}{\Delta x}= 3=f'(x)$

Ví dụ 2: Cho hàm số $y =f(x)=2x^{2}-x$ (C). Đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0 = 1?

Giải:

$\Delta x$ là số gia của đối số tại x0 = 2, cụ thể áp dụng định nghĩa đạo hàm ta được:

Ta có đại lượng: $\Delta y=f(\Delta x+1)-f(1) = 2(\Delta x+1)^{2}-\Delta x-1-1= 2\Delta x^{2}+3\Delta x$

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{2\Delta x^{2}+3\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(2\Delta +3)=3$

Như vậy: f'(1) = 3

Bài tập ôn luyện:

Bài 1: Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm

a) $y=2x^{2}-x+ 2$ tại $x_{0}=1$

b) $y=\sqrt{3-2x}$ tại $x_{0}= -3$

c) $y=\frac{x^{2}+x+1}{x-1}$ tại $x_{0}=0$

d) y=sinx tại $x_{0}=\frac{\pi }{6}$

Bài 2: Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số sau

a) $y = f(x)= \frac{1}{2x-3}$

b) $y = f(x)= \sqrt{x-1}$

c) y = f(x)= sinx

Dạng 2: Tính đạo hàm bằng các phép toán

Đối với dạng này, chúng ta sẽ áo dụng những công thức, quy tắc sau:

Phép cộng: (u+v)' = u'+v'

Phép trừ: (u-v)' = u'-v'

Phép nhân: (u.v)' = u'.v+u.v' ; (ku)'=k.u'

Phép chia: $\left ( \frac{u}{v}\right )'=\frac{u'.v-u.v'}{v^{2}}$ ; $\left ( \frac{k}{v} \right )'=-\frac{kv'}{v^{2}}$ (với $v\neq 0$ )

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số: y = 4x²+ 2x + 3

Đạo hàm của hàm số đã cho: y' = 8x + 2

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số: $y = \frac{3x-2}{x+1}$

Đạo hàm của hàm số đã cho: $y'=\frac{(3x-2)'.(x+1)-(3x-2).(x+1)'}{(x+1)^{2}}=\frac{3.(x+1)-(3x-2)}{(x+1)^{2}}=\frac{5}{(x+1)^{2}}$

Vậy đạo hàm của y: $y'=\frac{5}{(x+1)^{2}}$

Bài tập ôn luyện:

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số sau đây

a) $y = x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}-3x+9$

b) $y = \frac{2}{x^{2}}-3x+\frac{2}{3}x\sqrt{x}$

c) $y = (x^{3}-3)(1-x^{2})$

d) $y = (\sqrt{x}+2)\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}-1 \right )$

e) $y = \frac{3}{4x+3}$

f) $y = \frac{1+x+x^{2}}{1-x-x^{2}}$

Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số sau đây

a) y = x.cosx

b) $y = \frac{1+sinx}{1-sinx}$

c) $y = 2x\sqrt{x}$

d) $y = 2x^{2}.sinx$

Dạng 3: Tính đạo hàm hàm hợp

Các bạn sẽ áp dụng bảng công thức mà Luật Minh Khuê đề cập phía trên để tính hàm hàm hợp.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số: $y = \sqrt{2x+1}$

Đạo hàm của hàm số đã cho: $y' = \frac{(2x+1)'}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}$

Vậy đạo hàm của hàm số y là: $y' = \frac{2}{2\sqrt{2x+1}}$

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số: $y =(x^{2}+2)^{2}$

Đạo hàm của hàm số đã cho: $y'=2.(x^{2}+2).(x^{2}+2)'=2.(x^{2}+2).2x=4x^{3}+8x$

Vậy đạo hàm của hàm số y là: $y'=4x^{3}+8x$

Bài tập ôn luyện:

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số sau đây

a) $y=(x^{3}+x)^{3}$

b) $y=(3x^{2}+5)^{4}$

c) $y=\frac{(x^{2}+1)^{2}}{(x-1)^{3}}$

d) $y=\left ( \frac{x+1}{x+2} \right )^{2}$

Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số sau đây

a) $y=\sqrt{x+\sqrt{x}}$ e) $y=cos^{3}(2x)$

b) $y=\sqrt{3x^{2}+x+2}$ f) $y= \left ( \frac{sinx}{1+cosx} \right )^{2}$

c) $y=(x-2)\sqrt{2x^{2}+1}$ g) $y= sin^{3}(2x+1)$

d) $y=\sqrt[3]{x^{2}-x+4}$ h) $y= \sqrt{cot2x}$

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến

Phương pháp giải đối với dạng toán này như sau:

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(x_{0};y_{0})\epsilon C$ là: $y-y_{0}=f'(x_{0}).(x-x_{0})$

+ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) khi biết tiếp tuyến có hệ số góc k:

Bước 1: Gọi $x_{0}$ là hoành độ tiếp điểm. Biết $f'(x_{0})=k$

Bước 2: Giải phương trình tìm $x_{0}$ , sau đó tìm $y_{0}= f(x_{0})$

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm theo công thức trên và kết luận

+ Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua một điểm A(x1,y1) cho trước:

Bước 1: Gọi $(x_{0};y_{0})$ là tiếp điểm (trong đó $y_{0}=f(x_{0})$ )

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d): vì (d) qua A(x1,y1) ⇔ $y_{1}-y_{0}=f'(x_{0}).(x_{1}-x_{0})$ (1)

Bước 3: Giải phương trình (1) khi thay $x_{0}$ vào, rồi tìm $y_{0}=f(x_{0})$ và $f'(x_{0})$ .

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm theo công thức trên và đưa ra kết luận.

Lưu ý: Nếu cho $(\Delta ):y=ax+b$ , trường hợp: $(d)//(\Delta ):y=ax+b\Rightarrow k_{d}=a$ và $(d)\perp (\Delta ):y=ax+b\Rightarrow k_{d}=-\frac{1}{a}$

Ví dụ: Cho hàm số (C): $y= f(x)=x^{2}+3x-2$ . Viết phương trình tiếp tuyến với (C):

a) Tại điểm có hoành độ $x_{0}=1$

b) Tại điểm M(1,1)

c) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1

Giải:

a) Tại điểm có hoành độ $x_{0}=1$ , nên $y_{0}=1$

Đạo hàm của hàm số đã cho: y'(x) = 2x + 3 ⇒ y'(1) = 5

Phương trình tiếp tuyến tại có hoành độ $x_{0}=1$ là: y - 1 = y'(1)(x-1) ⇔ y - 1 = 5(x-1) ⇔ y = 5x - 4

Vậy phương trình tiếp tuyến với hàm (C) tại điểm có hoành độ $x_{0}=1$ là: y = 5x - 4

b) Đạo hàm của hàm số đã cho: y'(x) = 2x + 3 ⇒ y'(0) = 3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(0,0) là: y - 0 = y'(0)(x - 0) ⇔ y - 0 = 3(x - 0) ⇔ y = 3x.

Vậy phương trình tiếp tuyến với hàm (C) tại điểm M(0,0) là y = 3x

c) Gọi $x_{0}$ là hoành độ tiếp điểm. Ta có: $f'(x_{0}) = 1$ ⇔ $2x_{0} + 3= 1$ ⇔ $x_{0}=-1$ ⇒ $y_{0}=-4$

Đạo hàm của hàm số đã cho tại $x_{0}=-1$ là: y'(-1) = 1

Phương trình tiếp tuyến tại điểm B(-1,-4) là: y + 4 = y'(-1)(x + 1) ⇔ y + 4 = x +1 ⇔ y = x - 3.

Vậy phương trình tiếp tuyến khi có hệ số góc k =1 là y = x - 3.

Bài tập ôn luyện:

Bài 1: Cho hàm số (C): $y= f(x)=x^{3}-3x^{2}$ . Viết phương trình tiếp tuyến với (C):

a) Tại điểm có hoành độ $x_{0}=1$

b) Tại điểm có tung độ $y_{0}=-1$

c) Tại giao điểm của (C) với trục hoành

d) Tại điểm của (C) với trục tung

e) Tại điểm M(1,-2)

f) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3

g) Song song với đường thẳng (d1) 9x - y + 5 = 0

h) Vuông góc với đường thẳng (d2) x - 3y = 0

Bài 2: Cho hàm số $y = f(x)=\frac{3x+1}{1-x}$ (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C):

a) Tại điểm có hoành độ $x_{0}=2$

b) Tại điểm có tung độ $y_{0}=2$

c) Tại giao điểm của (C) với trục hoành

d) Tại giao điểm của (C) với trục tung

e) Biết tiếp tuyến có hệ số góc $k=\frac{1}{2}$

Dạng 5: Giải phương trình, bất phương trình

Khi làm dạng toán này thì ta cũng sử dụng công thức tính đạo hàm và sau đó tiến hành giải phương trình, bất phương trình đại số hay phương trình lượng giác.

Ví dụ: Giải phương trình f'(x) = 0 khi: $f(x)=x^{2} + 2x +1$

Đạo hàm của hàm f(x) là: f'(x) = 2x + 2

Giải phương trình khi f'(x) = 0: 2x + 2 = 0 ⇔ x = -1

Bài tập ôn luyện:

Bài 1: Giải phương trình f'(x) = 0

a) $f(x)=x^{3} + 3x +1$ d) $f(x)=4x+\sqrt{x}-10$

b) $f(x)=sin^{2}x + 2cosx$ e) $f(x)=sin3x-\sqrt{3}cos3x+ 3(cosx-\sqrt{3}sinx)$

c) $f(x)=cosx +\sqrt{3}sinx+2x-1$ f) $f(x)=sinx-\frac{cos4x}{4}-\frac{cos6x}{6}$

Bài 2: Giải bất phương trình f'(x) > g'(x)

a) $f(x)=x^{3}+x-8; g(x)= 3x^{2}+x+10$

b) $f(x)=2x^{3}-x^{2}+1; g(x)= x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-5$

Những dạng toán liên quan đến đạo hàm mà Luật Minh Khuê đề cập trên đây là những dạng bài cơ bản nhằm giúp các bạn học sinh ôn luyện lại kiến thức cũng như có cái nhìn tổng quan đối với đạo hàm. Nội dung bài viết sẽ là tiền đề để các bạn có thể làm thêm những dạng bài nâng cao hơn.

Trên đây là toàn bộ nội dung bài viết "Đạo hàm là gì? Ý nghĩa của đạo hàm và bảng công thức đạo hàm đầy đủ nhất". Luật Minh Khuê mong bài viết có thể giúp được các bạn học sinh rèn luyện, nắm chắc kiến thức về đạo hàm. Xin chân thành cảm ơn!