Mục lục bài viết

1. Hoán vị là gì?

1.1. Định nghĩa

Cho tập A gồm n phần từ (n\geq1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp có thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. (có thể hiểu là xếp n phần tử vào 1 hàng thẳng n chỗ)

Ví dụ: Hãy liệt kê tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3

Lời giải chi tiết

Số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau là: 123; 132; 213; 231; 312; 321

=> Nhận xét: Hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp

 

1.2. Số các hoán vị 

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn bạn A, B, C, D vào một bàn học gồm 4 chỗ ngồi

Lời giải chi tiết

- Hành động 1: Chọn bạn ngồi vào vị trí 1: 4 cách

- Hành động 2: Chỉ còn 3 bạn 

Chọn bạn ngồi vị trí thứ 2: 3 cách

- Hành động 3:Chỉ còn 2 bạn

Chọn bạn ngồi vị trí thứ 3: 2 cách

- Hành động 4: Chỉ còn 1 bạn, chọn bạn để ngồi ở vị trí thứ 4: 1 cách

=> Theo quy tắc nhân: 4 . 3 . 2 .1 = 24 cách

Do đó, có 24 cách để xếp 4 bạn vào 4 chỗ ngồi.

* Kí hiệu: Pn là số các hoán vị n phần tử

Tổng quát ta có định lí:

Pn = n! = n(n-1)(n-2)....2.1

Ta hoán vị n phần tử

+ Bước 1: Chọn phần tử cho vị trí đầu tiền. Có n cách

+ Bước 2. Chọn phần tử cho vị trí thứ hai. Có n -1 cách

.................

+ Bước n: Chọn phần tử cho vị trí cuối cùng. Có 1 cách

- Quy ước: 0! = 1

Ví dụ: Một đoàn du lịch dự định đến tham quan 7 địa điểm A, B, C, D, E,G và H ở thủ đô Hà Nội. Họ đi thăm quan theo một thứ tự nào đó, hỏi có bao nhiêu thứ tự tham quan tất cả.

Lời giải chi tiết

Hoán vị 7 địa điểm 

Số thự tự tham quan 7 địa điểm là:

P7 = 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1  = 5040 cách

Do đó, có 5040 thứ tự tham quan tất cả

 

2. Chỉnh hợp là gì?

2.1. Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n\geq 1). Kết quả cả việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo thứ tự nào đó gọi là một chỉnh hợp k của n phần tử đã cho. 

Vi dụ: Trong mặt phẳng cho bốn điểm A, B, C và D. Liệt kê các vecto khác vecto - không mà điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm đã cho.

Lời giải chi tiết

Cách 1: Các vecto:

\underset{AB}{\rightarrow}; \underset{BA}{\rightarrow}; \underset{AC}{\rightarrow}; \underset{CA}{\rightarrow}; \underset{AD}{\rightarrow}; \underset{DA}{\rightarrow}; \underset{BC}{\rightarrow}; \underset{CD}{\rightarrow}; \underset{BD}{\rightarrow}; \underset{DB}{\rightarrow}; \underset{CD}{\rightarrow}; \underset{DC}{\rightarrow}

Vậy 12 vecto khác vecto không với điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp đã cho

Cách 2: Chọn ra 2 điểm thuộc tập hợp đã cho

Sắp xếp 2 điểm đó để được 1 vecto

Chỉnh hơp chập 2 của 4

Chọn điểm cho vị trí điểm đầu: 4 cách

Chọn điểm cho vị trí điểm cuối: 3 cách

Theo quy tắc nhân: 4 . 3 = 12 cách

Do đó, có 12 vecto khác veto không được tạo ra từ các điểm A, B, C và D

 

2.2. Số các chỉnh hợp

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1\leqslant k\leq n) kí hiệu là:

A_{n}^{k} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!)}

Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ các số 1; 2; 3....9?

Lời giải chi tiết

B = {1; 2; 3 ; 4;...9}

Số tự nhiên bao gồm 5 chữ số khá nhau: _ _ _ _ _

- Lấy ra 5 phẩn tư từ tập hợp V và sắp xếp chúng vào các vị trí của sô tự nhiên gồm 5 chữ số

=> chỉnh hợp chập 5 của 9: A_{9}^{5} = 9! / 4! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5

 

3. Tổ hợp là gì?

3.1. Định nghĩa

Giả sử A có n phần tử (n\geq 1)

Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

 

3.2. Số các tổ hợp

Số các tổ hợp chập k của n phần từ kí hiệu là: 

C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Ví dụ: Một tổ 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gôm 5 người. Hỏi:

a. có tất cả bao nhiêu cách lập 

Lời giải chi tiết

 Đoàn đại biểu gồm 5 người, không sắp xếp theo thứ tự (C)

Lấy ra 5 người trong tổ 10 người: C_{10}^{5}=\frac{10!}{5!(10-5)!} = 252 cách

 

3.3. Tính chất của các số C_{n}^{k}

2. C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k} = C_{n}^{k}

4. Câu hỏi ôn tập

Bài 1. Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn A, B, C, D vào bốn chiếc ghế kê thành hàng ngang?

Lời giải chi tiết

Hoán vị 4 bạn ào 4 chỗ:

P4 = 4! = 24 cách

Bài 2. Có bao nhiêu số nguyên dương gồm năm chữ số khác không và đôi một khác nhau?

Lời giải chi tiết

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Để chọn được số nguyên gồm 5 chữu số khác 0 và đôi một khác nhau, lấy ra 5 chữ số từ tập hợp A và sắp xếp chúng:

A_{9}^{5} = \frac{9!}{(9-5)!} = 15120 cách 

Bài 3. Cần phân công 3 bạn từ một tổ có 10 bạn để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau?

Lời giải chi tiết

Lấy 3 bạn từ 10 bạn để làm trực nhật:

C_{10}^{3} = \frac{10!}{3!.7!} = 120 cách

Bài 4. Trong mặt phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác cũng song song với nhau đồng thời cắt 6 đường thẳng đã cho. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên bởi 14 đường thẳng đã cho?

Lời giải chi tiết

Lấy 2 trong số 6 đường thẳng song song: C_{6}^{2} = 15 cách

Lấy 2 đường thẳng song song khác từ 8 đường thẳng song song: C_{8}^{2} = 28 cách

Theo quy tắc nhân: 15 . 28 = 420 cách

Bài 5. Có bao nhiêu xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 10 ghế được kê thành hàng ngang, sao cho:

a. nam và nữ ngồi xen kẽ nhau

b. các bạn nam ngồi liền nhau

Lời giải chi tiết

1 2

3

 4 5 6 7 8 9 10

a. Đánh số các ghế từ 1 đến 10

Trường hợp 1: Nam ngồi vị trí lẻ, nữ ngồi ở vị trí chẵn:

- Hành động 1: sắp xếp 5 bạn nam vào 5 chỗ lẻ: 5! cách

- Hành động 2: sắp xếp 5 bạn nữu ào 5 chỗ chẵn: 5! cách

Theo quy tắc nhân: 5! . 5! cách

Trường hợp 2: Nữ ngồi chỗ chẵn, nam ngồi chỗ lẻ: 5! . 5! cách

Theo quy tắc cộng: 2 . 5! . 5! cách

b. Coi 5 bạn nam là 1 phần tử

Số hoán vị 5 nam: 5! cách

Còn lại 5 bạn nữ và 1 phần tử là 5 bạn nam

Số hoán vị 5 nữ và 1 phần tử nam là 5 nam là: 6! cách

Theo quy tắc nhân: 5! . 6! cách

Bài 6. Có 2 đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 10 và 11 học sinh khối 12. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phòng thi cí 5 dãy ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi nhau có cùng một đề?

Lời giải chi tiết

Có 5 dãy ghế mà có 20 học sinh tức là có 4 cột học sinh

Do các em nối đuôi nhau chung 1 đề nên mỗi cột học sinh này là học sinh một đề và các em ngồi cạnh nhau đề khác nhau nên các cột cạnh nhau (ta có thể coi cột cùng đề nhau so le)

Từ đó, có 10 học sinh đề 1 và được sắp xếp vào 2 cột và tương tự với 10 học sinh còn lại nên:

- Có 10! cách sắp xếp 10 học sinh vào 2 cột cùng đề

- Có 2 cách chọn đề cho 10 học sinh trên

- Còn 10 học sinh còn lại nên có 10! cách sắp xếp

Như vậy, có 10! .2 . 10! cách sắp xếp

Bài 7. Huấn luyện viên một đội bóng đá muốn chon 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao nhiêu cách chọn nếu:

a. cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn)

b. có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đã quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4?

Lời giải chi tiết 

Chọn 5 cầu thủ để đã quả luân lưu, phải bố trí người từ quả số 1 đến quả số 5

Chọn có thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ: A_{11}^{5} = 55440

b. Có 3 cầu thủ bị chấn thương => còn lại: 11 - 3 = 8 cầu thủ

Bố trí cầu thủ A đá quả số 1, cầu thủ B đá quả số 4 nên còn lại 6 cầu thủ cho 3 vị trí.

Chọn có thứ tự 3 cầu thủ trong 6 cầu thủ, ta có: A_{6}^{3} = 120 cách chọn

Bài 8. Một đoàn tàu có 3 toa chở khách. Toa I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị đi tàu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:

a. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa

b. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên

Lời giải chi tiết

a. Vị 1 có 3 cách chọn toa, tương tự như vậy, các vị 2, 3, 4 đều có 3 cách chọn toa.

Vậy, theo quy tắc nhân có 3^4 = 81 cách

b. Chọn 3 trong 4 vị có C_{4}^{3} = 4 cách chọn, chọn 1 toa cho 3 vị đó có 3 cách chọn

Sau đó, vị khách còn lại 1 trong 2 toa còn lại có 2 cách chọn

Vậy có 4 . 3 .2 = 24 cách chọn

>> Xem thêm: Liên kết gen là gì? Hoán vị gen là gì? Ý nghĩa và bài tập

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê gửi đến bạn đọc mang tính chất tham khảo. Trường hợp có bất kỳ thắc mắc nào liên quan đến pháp luật, bạn đọc vui lòng liên hệ tới Tổng đài tư vấn miễn phí theo số hotline 1900.6162 để được giải đáp. Luật Minh Khuê xin trân trọng cảm ơn!.