Lập trình tuyến tính trong lý thuyết kinh tế thế kỷ 19

1. Sự hữu dụng của toán học đối với các nhà kinh tế học

Phép tính tích vi phân và đại số là hai công cụ toán học phổ biến chứng tỏ sự hữu dụng của toán học đối với nhà kinh tế học. Có nhiều loại “phần mềm” toán học với tính đa dạng, phức tạp mà nhà kinh tế học phải thích nghi sử dụng với lý thuyết kinh tế. Thế nhưng, phép tính tích phân, vi phân là công cụ chọn lựa ngay từ đầu, vì khái niệm “thay đổi nhỏ” nằm trong trung tâm của nhiều vấn đề kinh tế. Môn đồ ban đầu của Cournot áp dụng phép tính tích, vi phân trong các bài toán kinh tế thật tài tình. Francis Y. Edgeworth, một người cùng thời với Jevons Marshall, theo trường phái Tân cổ Điển, có lẽ là nhà kinh tế học Anglo-Saxon hàng đầu trong việc áp dụng toán học vào các môn khoa học xã hội trong thời đại của mình. Mặc dù sự trình bày tư tưởng của ông có phần khó hiểu (thực tế phải tính đến là do những người cùng thời của ông có phần xem nhẹ), Edgeworth áp dụng phép tính tích phân, vi phân cùng các công cụ toán học khác vào chủ đề kinh tế chẳng hạn như độc quyền, phân biệt giá, chỉ số và đánh thuế. Edgeworth cũng sử dụng ảnh hưởng quan trọng thời gian dài ông làm chủ biên tờ Economic Journal, một tạp chí kinh tế xuất bản định kỳ hàng đầu ở Anh, để hướng dẫn phương pháp kinh tế. Ngoài ra, sáng kiến của ông về lý thuyết “trọng tâm” kinh tế trao đổi, như phần thảo luận dưới đây đã có tác động rất lớn đôì với giới kinh toán học đương thời.

2. Việc áp dụng phương pháp toán học của Alfred Marshall

Mặc dù là một nhà toán học tâm huyết và có năng lực, Alfred Marshall phần lớn tránh áp dụng hình thức toán học trong tác phẩm học thuật của mình. Mục đích của Marshall là mô tả kinh tế học như một công cụ thay đổi xã hội đối với doanh nhân và tri thức ngoài ngành. Ông muốn tư tưởng của mình phải có khả năng tiếp cận đến càng nhiều bạn đọc càng tốt, ông xem toán học như một công cụ cản trở mục tiêu này. Thế nhưng trong khi Marshall miễn cưỡng sử dụng toán học thì học trò cùng những người thừa kế ông lại đưa tư tưởng của ông (và của Léon Walras) lên những tầm cao mới tinh vi toán học. Tiến bộ quan trọng trong dạng này do hai người cùng thời đoạt giải Nobel thực hiện, Sir John R. Hicks (sinh năm 1904) và Paul A. Samuelson (sinh năm 1915). Năm 1934, Hicks và R. G. D. Allen (1906-1983) tiến hành việc duyệt lại toàn bộ lý thuyết giá trị của Marshall dưới dạng phép tính tích, vi phân. Sau này Hicks mở rộng Kinh tế Vĩ mô Tân cổ Điển “mới” năm 1939 (Value and Capital) kể cả nghiên cứu động học và tiền tệ. Miêu tả bằng toán học chính xác của ông về các thành phần chính trong lý thuyết kinh tế sau cùng trở thành một tiêu chuẩn trong thực tế hiện tại.

Paul Samuelson, một nhà kinh tế học người Mỹ đoạt giải Nobel về khoa học kinh tế năm 1970, cũng góp phần tác động quan trọng đối với tính chính xác của toán học trong lý thuyết kinh tế. Trong quyển Foundations of Eco­nomic Analysis xuất bản năm 1947 (tác phẩm bắt nguồn từ luận văn tiến sĩ của ông ở trường Havard trước đó sáu năm), Samuelson chuyển cách phân tích kinh tế từ giải thích bằng lời kết hợp với đồ thị đang thịnh hành sang xử lý toán học có hệ thống và trọn vẹn. Trong Foundations và nhiều tác phẩm khác, Samuelson áp dụng toán học vào lý thuyết kinh tế chung và các yếu tố cụ thể của lý thuyết ấy, kể cả lý thuyết hành vi tiêu dùng, lý thuyết tăng trưởng và về vốn, kinh tế học phúc lợi, và lý thuyết ngoại thương.

3. Mối quan hệ tuyến tính

Đại số tuyến tính và sự tinh vi của nó cung cấp một công cụ toán học quan trọng được áp dụng trong lý thuyết kinh tế. Rất nhiều cố gắng ban đầu áp dụng đại số, cùng với phép tính vi phân, tích phân, nêu bật sự phát triển lý thuyết kinh tế trong thế kỷ 19. Friedrich von Wieser trong tác phẩm Natural Value (1884) đã giới thiệu một “hệ thống” các phương trình đầu vào dẫn đến giá trị nhằm xác định sự đóng góp hiệu quả của mỗi đầu vào. Những phương trình đơn giản, tuyến tính này (dành cho các đầu vào và giá trị công nghiệp khác nhau) mang lại cách giải đại số cùng lúc. Trong kinh tế học thế kỷ 20 có rất nhiều sự hoàn thiện công phu về chủ đề này.

4. Lập trình tuyến tính

Một trong những áp dụng quan trọng nhất của kỹ thuật tuyến tính là lập trình tuyến tính được nhà toán học John von Neumann và George Dantzig hoàn thiện vào cuối những năm 1940 và các nhà kinh tế học Robert Dorfman, Paul Samuelson, và Robert Solow phát triển năm 1958. Trong khi lập trình tuyến tính (và một số biến thể phi tuyến tính) mang lại nhiều giai đoạn phát triển ngày càng hữu dụng và tinh vi, quan niệm nền tảng về cơ bản không phức tạp. Lập trình tuyến tính lập mô hình hành vi tối ưu hóa như sự chọn lựa các quá trình hay hoạt động trong một số tập hợp kiềm chế tuyến tính. Áp dụng đầu tiên của Dantzig là quy hoạch logic và triển khai tối ưu các lực lượng quân sự, nhưng công cụ chứng minh có một dải ứng dụng rất rộng trong kinh tế học và kinh doanh, nhất là trong việc chọn kỹ thuật hay đầu vào sản xuất phí tổn thấp nhất để sản xuất một số mức độ đầu ra mong muốn.

Quan điểm cũng áp dụng cho nhiều lĩnh vực khác. Xét bài toán quan trọng trong lý thuyết doanh nghiệp: tối đa hóa lợi nhuận. Cứ cho rằng một doanh nghiệp sở hữu một nhà máy sản xuất nhỏ chế tạo dụng cụ thể thao bán thành phẩm thuộc hai loại, như vợt tennis và thanh tạ nhiều loại. Gọi X1 = vợt tennis và X2 = thanh tạ nhiều loại. Cứ cho rằng việc sản xuất vợt tennis và thanh tạ nhiều loại bán thành phẩm cần phải sử dụng đến ba máy A, B và c, tất cả máy này đều sử dụng 8 tiếng một ngày - nghĩa là 8 tiếng là “kỳ sản xuất”. Cứ cho rằng doanh nghiệp có đến 6 máy loại A, 4 máy loại B và 10 máy loại C. Người ta nghĩ máy A là máy “cắt”, B là máy tiện, và c là máy “tiện tinh”. Mục đích của doanh nghiệp có thể là tối đa hóa lợi nhuận, ở đây chúng ta mô tả như lợi nhuận “gộp” - lợi nhuận tịnh của tất cả các phí tổn đầu vào khác chẳng hạn như lao động và nguyên liệu thô. Mục tiêu của doanh nghiệp là phải thu được lợi nhuận cao nhất bằng cách chọn số lượng vợt tennis và các bộ thanh tạ để sản xuất tối đa hóa lợi nhuận. Trong ngôn ngữ lập trình tuyến tính, có nhiều biến số lựa chọn. Nhưng việc chọn lựa XI và X2 chỉ có thể thực hiện trong một số kiềm chế. Vì máy chỉ hoạt động 8 tiếng một ngày, nên tổng giờ máy hoạt động sau đây áp dụng cho số máy doanh nghiệp sở hữu:

Loại A - máy cắt 48 tiếng

Loại B - máy tiện 32 tiếng

Loại C - máy tiện tinh 80 tiếng

Làm cho vấn đề có phần nào phức tạp hơn đối với người ra quyết định của doanh nghiệp, mỗi đầu ra - vợt tennis và các bộ thanh tạ - cần phải có nhiều giờ máy hoạt động khác nhau. Cứ cho rằng đối với vợt tennis (XI) và các bộ thanh tạ (X2) với yêu cầu như sau:

Người ra quyết định của doanh nghiệp lúc này có những kiềm chế khác nhau đối với từng loại máy. Trên cơ sở thông tin trên, những kiềm chế này được viết bằng ký hiệu như sau:

Cắt 12X1 + 6X2 < 48

Tiện 4Xt +8X2<32

Tiện tỉnh 16Xj +16X2 < 80

Những kiềm chế khác nhau ở đây các bộ thanh tạ nằm trên trục tung, còn vợt tennis trên trục hoành. Chẳng hạn, kiềm chế máy cắt là đường thẳng thể hiện tất cả những thay thế có thể giữa việc sản xuất các bộ thanh tạ và vợt tennis, nhưng chỉ trên máy cắt. Nếu tất cả thời gian máy cắt đều dành cho vợt tennis, thì có thể sản xuất tối đa là bôn vợt. Nếu chỉ sản xuất các bộ thanh tạ, đầu ra tối đa sẽ là 8 (48 chia cho 6 như được cho trong kiềm chế khác nhau nói trên). Rõ ràng doanh nghiệp bị hạn chế bằng những gì mà nhà kinh tế học gọi là vùng khả thi trong sản xuất. Mặc dù khả năng doanh nghiệp là phải sản xuất ra hơn bốn vợt tennis mỗi kỳ không bị máy tiện hay máy tiện tinh kiềm chế, hạn chế bằng số lượng giờ máy cắt mà doanh nghiệp kiểm soát. Vì thế vùng sản xuất khả thi được biểu thị bằng vùng gạch chéo song song. Mỗi điểm trong vùng này là một giải pháp khả thi đối với bài toán mà doanh nghiệp đang đối mặt khi lựa chọn số lượng X1 và X2 tối đa hóa lợi nhuận.

5. Doanh nghiệp sẽ chọn giải pháp chính xác nào?

Doanh nghiệp sẽ chọn giải pháp chính xác nào? Việc chọn lựa sẽ phụ thuộc vào giá cả dành cho vợt tennis và các bộ thanh tạ cùng với khả năng sinh lợi tương đối của hai mặt hàng này. Nói chung, doanh nghiệp được cho là tối đa hóa lợi nhuận đối tượng của kiềm chế cụ thể và tính ích lợi của máy. Chẳng hạn, nếu giá thị trường cố định đối với doanh nghiệp sao cho doanh nghiệp thừa nhận lợi nhuận 24 đô-la cho mỗi vợt tennis và 16 đô-la cho mỗi bộ thanh tạ bán thành phẩm, thì lợi nhuận sẽ là đối tượng tối đa hóa đối với những kiềm chế trên khi:

71 = 24X, + 76X2

Từ biểu thức lợi nhuận này, toàn bộ tập hợp các đường cong đẳng lợi nhuận (đường thẳng thực sự) có thể thêm vào để tạo ra giải pháp cân bằng cho bài toán của doanh nghiệp. Những đường cong đẳng lợi nhuận này có dạng:

Mô tả đồ thị của những đường đẳng lợi nhuận này thể hiện như một loạt gồm nhiều đường song song với độ dốc -3/2. Lợi nhuận tối đa doanh nghiệp có thể đạt được thể hiện trong giải pháp tối ưu nơi đường cong đẳng lợi nhuận II tiếp xúc với điểm “cao nhất” trong vùng sản xuất khả thi. Lưu ý đường cong đẳng lợi nhuận I đang nằm trong vùng sản xuất khả thi, nhưng có khả năng thu nhiều lợi nhuận hơn bằng việc tạo ra các số lượng Xr và X2. Chẳng hạn, có thể kiếm được lợi nhuận cao hơn từ đường cong đẳng lợi nhuận III, nhưng doanh nghiệp không thể đạt được dựa vào sự kiềm chế máy móc-sản xuất doanh nghiệp đang đối mặt. Như trong tất cả bài toán lập trình tuyến tính, giải pháp tối ưu sẽ nằm ở điểm gọi là điểm cực độ: điểm giao nhau của hai kiềm chế, hay điểm giao nhau của các trục. Trong ví dụ đơn giản này, sản xuất tối ưu sẽ là sự kết hợp đầu ra của ba vợt tennis (Xj) và hai bộ thanh tạ (XJ, Lợi nhuận sẽ được tối đa hóa ở mức 104 đô-la trong mỗi kỳ sản xuất (3 X 24 đô-la + 2 X 16 đô-la).

Trong khi ví dụ đơn giản này minh họa một số nguyên tắc lập trình tuyến tính cơ bản, nhưng không cho biết vô số vấn đề mà phương pháp lập trình tuyến tính có thể hiểu và giải quyết. Lập trình tuyến tính tỏ ra hữu dụng trong mọi trường hợp có liên quan đến sự lựa chọn kiềm chế, được sử dụng lặp đi lặp lại trong các bài toán tối thiểu hóa phí tổn đối với mức đầu ra nhất định và trong sự tối thiểu hóa phí tổn vận chuyển, nhưng có thể áp dụng trong các bài toán liên quan đến hành vi tiêu dùng.

LUẬT MINH KHUÊ (Sưu tầm)