Mục lục bài viết

1. Vi phân là gì?

1.1. Khái niệm

- Vi phân của hàm số y = f(x) tại x

dy = df(x) = f'(x).dx

- Tích f'(x)dx được gọi là vi phân của hàm số tại điểm x0

Ví dụ: Tìm vi phân của các hàm số sau:

a. y = 3x^2 - 5x +2

y' = (3x^2 - 5x +2)' = 3 . 2x - 5 . 1 = 6x - 5

b. y = cos^2 x = u^2 với u = cos x => u' = - sin x

y' = 2u . u' = (2cos x).(-sin x)

= - 2 sin x. cos x = -sin2x

=> dy = -sin2x dx

 

1.2. Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng

Vi phân là gì? Nguyên hàm là gì? Bảng công thức nguyên hàm

Ví dụ: Tính giá trị gần đúng của \sqrt{3,99} 

Chọn y = \sqrt{x} = f(x)

f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Ta có: 3,99 = 4 - 0,01

f(3,99) = f(4 + (-0,01)) = f(4) + f'(4) . \Delta x

 \sqrt{3,99} \approx 2 + \frac{1}{4} . (-0,01) \approx 2 - \frac{1}{400} \approx \frac{799}{400}

 

1.3. Một số công thức vi phân quan trọng

Vi phân là gì? Nguyên hàm là gì? Bảng công thức nguyên hàm

 

2. Nguyên hàm là gì?

2.1. Khái niệm

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K

Ví dụ: Hàm số F(x) = x^2 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên khoảng (-\propto ; + \propto )

Vì F'(x) = (x^2)' = 2x . \forall x\epsilon (-\propto ; +\propto )

 

2.2. Định lí

* Định lí 1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hàng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K

Ví dụ: F(x) = x^2 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên khoảng (-\propto ; +\propto )

=> G(x) = x^2 + 2

H(x) = x^2 - 1

* Định lí 2. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số

- Ký hiệu: \int f(x)dx = F(x) + C, C \epsilon R

Ví dụ: Với x thuộc (-\propto ; +\propto ), \int cosxdx = sinx + C

Với x thuộc (0 ; +\propto ), \int \frac{1}{x} dx = lnx + C

 

2.3. Các tính chất của nguyên hàm

Vi phân là gì? Nguyên hàm là gì? Bảng công thức nguyên hàm

 

2.4. Bảng công thức nguyên hàm thường gặp

Vi phân là gì? Nguyên hàm là gì? Bảng công thức nguyên hàm

 

2.5. Các phương pháp tìm nguyên hàm

2.5.1. Phương pháp đổi biến

- Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K.

Khi đó, nếu F là một nguyên hàm của f, tức là: \int f(u)dx = F(u) + C thì:

* Phương pháp giải:

Bước 1. Chọn t = \varphi (x). Trong đó \varphi (x) là hàm số mà ta chọn thích hợp

Bước 2. Tính vi phân hai vế: dt = \varphi' (t)dt

Bước 3. Biểu thị: f(x)dx = f[\varphi (t)]\varphi '(t)dt=g(t)dt

Bước 4. Khi đó: I = \int f(x)dx = \int g(t)dt = G(t) + C

 

2.5.2. Phương pháp đổi biến loại 2

Cho hàm số f(x) liên tục trên K,  x = \varphi (t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là \varphi' (t). Khi đó, ta có:

* Phương pháp giải

Bước 1. Chọn x = \varphi (t), trong đó \varphi (t) là hàm số mà ta chọn thích hợp

Bước 2. Lấy vi phân hai vế: dx = dx = \varphi' (t)dt

Bước 3. Biến đổi: f(x)dx =  f[\varphi (t)]\varphi '(t)dt=g(t)dt

Bước 4. Khi đó tính: \int f(x)dx = \int g(t)dt = G(t) +C

* Các dấu hiệu biến đổi thường gặp:

Vi phân là gì? Nguyên hàm là gì? Bảng công thức nguyên hàm

 

2.5.3. Nguyên hàm từng phần

Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:

\int u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) - \int (x).u'(x)dx

hay \int udv = uv - \int vdu

với du = u'(x)dx, dv = v'(x)dx

* Phương pháp giải

Bước 1. Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng:

I = \int f(x)dx = \int f1(x)f2(x)dx

Bước 2. Đặt :

\left\{\begin{matrix} u = f1(x) & \\ & dv = f2(x) \end{matrix}\right.  \rightarrow \left\{\begin{matrix} du = f'1(x)dx & \\ & v = \int f2(x)dx \end{matrix}\right.

Bước 3. Khi đó: \int u dv = uv - \int v du

* Các dạng thường gặp

Vi phân là gì? Nguyên hàm là gì? Bảng công thức nguyên hàm

 

3. Câu hỏi ôn tập

Câu 1. Hàm số f(x) = xe^{x^2} có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F(0) = 1/2. Tìm nghiệm của phương  trình 2F (x) = e^{x+2}

A. x= -1 hoặc x = 2

B. x = 0 hoặc x = -2

C. x = -1 hoặc x = 0

D. x = 0 hoặc x = 2

Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos^{5}x.sinx

A. -\frac{1}{6}cos^{6}x + C

B. -\frac{1}{6}sin^{6}x + C

C. \frac{1}{6}cos^{6}x + C

D, -\frac{1}{4}cos^{4}x + C

Câu 3. Cho hàm số f(x) luôn dương và thỏa mãn f'(x) = 3x^2 .f(x) với x thuộc R. Biết rằng f(0) = 1. Giá trị của f(1) bằng?

A. 1

B. e

C. e^2

D. e^3

Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^2 + \frac{1}{3} x

Hướng dẫn giải

Ta có: F(x) = \int (3x^2 + \frac{1}{3}x)dx = x^3 + \frac{x^2}{6} + C

Câu 5. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện xác định), biết

a. f(x) = 2x^3 - 5x^2 -4x +7

b. f(x) = 6x^5 - 12x^3 + x^2 - 8

c. f(x) = (x^2 -3x) (x+1)

d. f(x) = (x-1)(x^2 +2)

e. f(x) = (3 - 4x)^2019

Câu 6. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \sqrt{x} thỏa mãn F(4) = 19/3

Câu 7. Tìm một hàm F(x) của hàm số f(x) = sin x - cos x thỏa mãn điều kiện F(\frac{\pi }{4}) = 0

Câu 8. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2 sin 5x + \sqrt{x} + 3/5 thỏa mãn điệu kiện đồ thị của hai hàm số F(x) và f(x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung. Tìm hàm số F(x)

Câu 9. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^2 + 8sin x và thỏa mãn F(0) = 2010. Tìm F(x).

A. F(x) = 6x - 8cos x + 2018

B. F(x) = 6x + 8 cos x

C. F(x) = x^3 - 8cos x + 2018

D. F(x) = x^3 - 8cos x + 2019

Câu 10. Cho hàm số y = sin^2 x. Vi phân của hàm số là?

A. dy = -sin2xdx

B. dy = sin 2x dx

C. dy = sin x dx

D. dy = 2 cos dx

Đáp án đúng là B

Câu 11. Cho hàm số y = f(x) = (x-1)^2. Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?

A. dy = 2(x-1) dx

B. dy = 2(x-1)

C. dy = (x-1)dx

D. dy = (x-1)^2 dx

Đáp án đúng là  A

Câu 12. Cho hàm số y = f(x) = -1/x. Xét hai mệnh đề sau:

(I): y'' = f''(x) = \frac{2}{x^3}

(II): y''' = f'''(x) = \frac{-6}{x^4}

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ I đúng

B. Chỉ II đúng

C. Cả hai đều sai

D.Cả hai đều đúng

Câu 13. Cho hàm số y = f(x) = \frac{-x^2 + x + 2}{x-1}. Xét hai mệnh đề:

Vi phân là gì? Nguyên hàm là gì? Bảng công thức nguyên hàm

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. Chỉ I đúng

B. Chỉ II đúng

C. Cả hai đều đúng

D. Cả hai đều sai

Đáp án đúng là A

Câu 14. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t^3 -3t^2 +5t +2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển định khi t = 3 là?

A. 24 m/s2

B. 17 m/s2

C. 14 m/s2

D. 12 m/s2

Đáp án đúng là D

Câu 15. Cho đường cong có phương trình y = x^2 -2x + 1. Hệ số góc của tiếp tuyến đường cong đó tại điểm có hoành độ bằng 1 là?

A. 1

B. -1

C. 0

D. 2

Đáp án đúng là C

Câu 16. Cho đường cong có phương trình y = x^4 -x^2 +1. Tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm có hoành độ bằng -1 đi qua điểm?

A. M(0;4)

B. M(1,-3)

C. M(-2;-1)

D.N(2;-3)

Đáp án đúng là B

Câu 17. cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t) = 2t^2 + t, trong đó, t được tính bằng giây (s) và Q được tính theo culong (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t = 2s

A. 9

B. 10

C. 9

D. 6

Đáp án đúng là A

Câu 18. Một vật rơi tự do theo phương trình s = \frac{1}{2}gt^2, trong đó g = 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 2s là?

A. 19,05 m/s

B. 19 m/s

C. 19,6 m/s

D. 10 m/s

Đáp án đúng là C

Câu 19. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = \frac{3}{4} x^4 - 2x^3 -5x + sinx bằng biểu thức nào sau đây?

A. 9x^2 - 12x + sinx

B. 9x^2 -12x -sinx

C. 9x^2 - 6x - sinx

D. 9x^2 - 12x + cosx

Đáp án đúng là B

Câu 20. Cho hàm số y = sin(sinx). Vi phân của hàm số là?

A. dy = cos(sinx).sinxdx

B. dy = sin(cosx)dx

C. dy = cos(sinx).cosxdx

D. dy = cos(sinx)dx

Đáp án đúng là C

Câu 21. Cho hàm số y = f(x) = (x-1)^2. Biểu thức  nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f(x)?

A. dy = 2(x-1)dx

B. dy =(x-1)^2 dx

C. dy = 2(x-1)

D. dy = 2(x-1)dx

Đáp án đúng là A

Câu 22. Cho hàm số y = sin^2 x. Vi phân của hàm số là?

A. dy = -sin 2x dx

B. dy = sin 2x dx

C. dy = sin x dx

D. dy = 2cos x dx

Đáp án đúng là B

Câu 23. Hàm số y = x sin x + cos x có vi phân là?

A. dy = (x cos x - sinx)dx

B. dy = (x cos x) dx

C. dy = (cos x - sin x)dx

D. dy = (x sin x)dx

Đáp án đúng là B

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê gửi đến bạn đọc mang tính chất tham khảo. Trong trường hợp có bất kì thắc mắc nào liên quan đến pháp luật, kính mời quý bạn đọc liên hệ tới Tổng đài tư vấn miễn phí 24/7 theo số hotline 1900.6162 để được hỗ trợ giải đáp. Luật Minh Khuê xin trân trọng cảm ơn!.