Mục lục bài viết

Tuyển tập các bài toán nâng cao lớp 6 học kì 2 có đáp án mới nhất

Tuyển tập các bài toán nâng cao lớp 6 học kì 2 có đáp án mới nhất

Câu 1: Một người đi quãng đường AB vận tốc 15/km trên nửa quãng đường đầu và vận tốc 10/km trên nửa quãng đường sau. Vận tốc trung bình của người đó trên cả quãng đường AB là …..km/h.

Lời giải chi tiết:

- Vì nửa đoạn đường đầu bằng nửa đoạn đường sau, ta có tỷ lệ giữa vận tốc trên nửa đoạn đầu và vận tốc trên nửa đoạn sau là: 10 : 15 = $\frac{2}{3}$

- Gọi thời gian đi trên nửa đoạn đầu là 2t, thì thời gian đi trên nửa đoạn sau là 3t

- Tổng thời gian di chuyển (T) là tổng của quãng đường đi trên cả hai nửa đoạn, với vận tốc tương ứng:

S = 15 x 2t + 10 x 3t = 60t

- Vận tốc trung bình (v) là tổng quãng đường chia cho tổng thời gian:

$v = \frac{S}{T} = \frac{60t}{5t}= 12km/h$

Vậy kết quả là 12km/h.

Câu 2: Tỉ số của 2 số là $\frac{7}{12}$ , thêm 10 vào số thứ nhất thì tỉ số của chúng là $\frac{3}{4}$ . Tổng của 2 số là?

Lời giải chi tiết:

- Tỷ số của 2 số là $\frac{7}{12}$

$\frac{x}{y}=\frac{7}{12}$

- Thêm 10 vào số thư nhất thì tỷ số của chúng ta là $\frac{3}{4}$

$\frac{x+y}{y}= \frac{3}{4}$

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này để tìm giá trị của x, y. Dưới đây là lời giải chi tiết:

Bước 1: Sử dụng phương trình thứ nhất để biểu diễn y theo x:

$y=\frac{12x}{7}$

Bước 2: Thay y vào phương trình thư hai:

$\frac{x+10}{\frac{12x}{7}}= \frac{3}{4}$

Bước 3: Giải phương trình trên để tìm giá trị của x

$4(x+10)= \frac{3-12}{7}$

giải và tính toán như sau:

$4x + 40 = \frac{36x}{7}$

7(4x+40)= 36x

8x = 280

x = 35

Bước 4: Thay giá trị của x vào phương trình để tìm y:

$y =\frac{12.35}{7}= 60$

Bước 5: Tổng của 2 số (x+y):

x + y = 35 + 60 = 95

Vật tổng của 2 số là 95

Câu 3: Tính diện tích một hình tròn, biết nếu giảm đường kính hình tròn đó đi 20% thì diện tích giảm đi 113,04 cm2

Lời giải chi tiết:

- Phương trình ban đầu:

$\pi r^{2} -\pi (0.8r)^{2}=113.04$

- Đặt $x = r^{2}$ , phương trình trở thành

$\pi x=\pi \left (0.8^{2}x\right )= 113.04$

- Giải phương trình:

$\pi x - \pi .0,64x = 113,04$

$\pi \left ( 1-0,64 \right )x = 113,04$

$0,36\pi x = 113,04$

$x = \frac{113,04}{0,36\pi }\approx 100$

- Tính được x rồi sau đó tính r:

$r = \sqrt{x}$ $r = \sqrt{x} = \sqrt{100}= 10$

- Tính diện tích ban đầu:

$S = \pi r^{2}= \pi .10^{2} = 100\pi$

Vậy diện tích ban đầu là khoảng $100\pi$ cm².

Câu 4: Tính giá trị của biểu thức $A= \left ( \frac{1}{4.9}+\frac{1}{9.14}+...+\frac{1}{44.49} \right ).\frac{1-3-5-7-...-49}{89}$

Lời giải chi tiết:

$A = \left ( \frac{1}{4.9}+\frac{1}{9.14}+...+\frac{1}{44.49} \right ). \frac{1-3-5-7-...-49}{89}$

Có $\frac{1}{4.9}+ \frac{1}{9.14}+...+\frac{1}{44.49}= 5.\frac{1}{5}.\left ( \frac{1}{4.9}+\frac{1}{9.14}+...+\frac{1}{44.49} \right )$

$= \frac{1}{5}.\left ( \frac{5}{4.9}+\frac{5}{9.14}+ ...+ \frac{5}{44.49}\right )= \frac{1}{5}.\left ( \frac{1}{4}-\frac{1}{49} \right )= \frac{9}{196}$

Tổng 3 + 5 + ... + 49 là tổng của dãy số lẻ liên tiếi từ 3 đến 49. Vậy 3 + 5 + ... + 49 = 624

$A = \frac{9}{196}.\frac{1-624}{89}=\frac{9}{196}.\frac{\left ( -623 \right )}{89}= \frac{-9}{28}$

Câu 5: Ba số nguyên tố có tổng là 106. Trong các số hạng đó, số nguyên tố lớn nhất thoả mãn có thể là

Lời giải chi tiết:

Ba số nguyên tố có tổng là 106 nên trong ba số này phải có 1 số chẵn ⇒ Trong ba số nguyên tố cần tìm có 1 số hạng là số 2.

Tổng hai số còn lại là 106 - 2 = 104.

Gọi 2 số nguyên tố còn lại là a và b (a > b).

Ta có a + b = 104 ⇒ Để số a là số nguyên tố lớn nhất nhỏ nhất thì b phải là số nguyên tố nhỏ nhất.

Số nguyên tố b nhỏ nhất là 3 ⇒ a = 104 - 3 = 101 cũng là 1 số nguyên tố (thỏa mãn yêu cầu đề bài).

Vậy số nguyên tố lớn nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài là 101.

Câu 6: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức dưới đây đạt giá trị nhỏ nhất A = |x-9| + 10

Lời giải chi tiết:

Có $A = |x-9| \geq 0 \forall x \Rightarrow |x -9| + 10 \geq 10\forall x$

Dấu "=" xảy ra khi x = 9

Vậy minA = 10 khi x = 9

Câu 7: Cho $A = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}+ \frac{1}{4^{2}}+ ... + \frac{1}{2020^{2}}$ . Chứng tỏ A < 1

Lời giải chi tiết:

$\frac{1}{2^{2}}< \frac{1}{1.2}; \frac{1}{3^{2}}< \frac{1}{2.3}; ...; \frac{1}{2020^{2}}< \frac{1}{2019.2020}$

Vậy $A < \frac{1}{1.2}+ \frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2019.2020}= \frac{1}{1}- \frac{1}{2020}= \frac{2019}{2020}< \frac{2020}{2020}= 1$

Câu 8: Một hộp chứa 4 quả bóng đỏ và 6 quả bóng xanh. Nếu lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng, tính xác suất để có ít nhất một quả bóng đỏ.

Lời giải chi tiết:

- Tính xác suất không có quả bóng đỏ:

+ Có tổng cộng 4 + 6 = 10 quả bóng trong hộp

+ Xác suất không có quả bóng đỏ khi lấy 3 quả bóng là: $\frac{6}{10} \times \frac{5}{9}\times \frac{4}{8}$

- Tính xác suất có ít nhất một quả bóng đỏ:

Sử dụng xác suất đối nghịch: 1 - Xác suất không có quả bóng đỏ

$1-\frac{6}{10}\times \frac{5}{9}\times \frac{4}{8}$

Kết luận:

$\frac{6}{10}\times \frac{5}{9}\times \frac{4}{8}= \frac{120}{720}= \frac{1}{6}$

$1- \frac{1}{6}= \frac{5}{6}$

Xác suất để có ít nhất một quả bóng đỏ khi lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng từ hộp là $\frac{5}{6}$ hoặc khoảng 83,33%

Câu 9: Chứng tỏ $B = \frac{14n+3}{21n+5}\left ( n\epsilon N \right )$ là phân số tối giản

Lời giải chi tiết:

Đề B là phân số tối giản thì ước chung của tử và mẫu bằng 1 hoặc

Gọi d là ước chung của 14n + 3 và 21n + 5 (d tự nhiên)

Khi đó ta có $\left ( 14n+3 \right )\vdots d \Rightarrow 3.(14n + 3)\vdots d\Rightarrow 42n+9\vdots d$

Và $(21n + 5)\vdots d \Rightarrow 2.\left ( 21n+5 \right )\vdots d \Rightarrow 42n + 10\vdots d$

Ta có nếu a > b và a và b đều chia hết cho cùng một số thì hiệu a - b cũng chia hết cho số đó

Vậy ta có $(42n+10)-(42+9)\vdots d \Rightarrow 1\vdots d$

Vậy B là phân số tối giản

Câu 10: Tổng của hai số tự nhiên là 102. Nếu thêm chữ số 0 vào bên phải số bé rồi cộng với số lớn ta được tổng mới là 417. vậy số lớn là

Lời giải chi tiết:

Gọi só bé là a và số lớn là b. Từ đề bào, ta có hai phương trình:

a + b = 102 (vì tổng của hai số là 102)

10a + b = 417 ( vì thêm chữ số 0 vào bên phải số bé và cộng với số lớn, ta được tổng mới là 417

Giải hệ phương trình này để tìm giá trị của a và b

Bước 1: Sử dụng phương trình 1 để biểu diễn b theo a:

b = 102 - a

Bước 2: Thay b vào phương trình 2:

10a + (102 - a) = 417

Bước 3: Giải phương trình để tìm giá trị của a

9a = 315 ⇒ a = 35

Bước 4: Thay giá trị của a vào phương trình 1 để tìm b

b = 102 - 35 = 67

Kết luận: Số bé là 35 và số lớn là 67

Câu 11:

1) Cho điểm O nằm trên đường thẳng xy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = 8cm, OB = 6cm.

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB.

b) Trên tia đối của tia OB lấy điểm C sao cho OB = 6.OC. Chứng tỏ rằng điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AB.

2) Người ta mở rộng một chiếc ao hình vuông về bốn phía sao cho ao mới cũng là một hình vuông. Sau khi mở rộng, ao mới có diện tích tăng thêm 300m2 và gấp 4 lần ao cũ. Hỏi người ta cần bao nhiêu chiếc cọc để rào đủ xung quanh ao mới, biết hai cọc liên tiếp cách nhau 2 mét và mỗi đỉnh hình vuông của chiếc ao mới mỗi có một chiếc cọc.

Lời giải chi tiết:

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB

Ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OAB:

$AB = \sqrt{OA^{2}+OB^{2}}$

$AB = \sqrt{8^{2}+6^{2}}$

$AB = \sqrt{64 + 36}$

$AB = \sqrt{100}$

AB = 100 cm

b) Chứng tỏ điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AB

Ta có OB = 6cm và OC = $\frac{1}{2}OB$ ( theo đề bài)

Từ hai điểm O và C, ta có tam giác vuông OCB

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác OCB:

$OC^{2}+BC^{2} = OB^{2}$

$\left ( \frac{1}{2}OB \right )^{2} + BC^{2} = OB^{2}$

$\frac{1}{4}OB^{2} + BC^{2} = OB^{2}$

$BC^{2} = OB^{2} - \frac{1}{4}OB^{2}$

$BC^{2}= \frac{3}{4}OB^{2}$

$BC= \frac{\sqrt{3}}{2}OB$

$BC= \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6$

$BC= 3\sqrt{3}$

Vậy điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AB

- Gọi x là chiều dài cạnh hình vuông cũ. Diện tích ao cũ là x²

- Diện tích ao mới là (x + 4)² = x² + 8x + 16 ( vì mở rộng hình vuông về 4 phía)

- Theo đề bài, diện tích mới tăng thêm 300m² và gấp 4 lần diện tích cũ

$x^{2} + 8x + 16 = x^{2} + 300$

8x + 16 = 300

8x= 284

x = 35.5 m

- Chiều dài mới của mỗi cạnh hình vuông là x + 4 = 39.5 m

- Số cọc cần là $\frac{4\times 39.5}{2}= 79$

Vậy người ta cần 79 chiếc cọc để rào đủ xung quanh ao mới.

Câu 12: Lúc 8 giờ, một người đi xe đạp từ A đến B cách A một khoảng 10km. Biết rằng người đó đến B lúc 10 giờ 30 phút. Vận tốc của người đi xe đạp là……….km/h.

Lời giải chi tiết:

Lúc 8 giờ, người đi xư đạp từ A đến B cách A 10 km. Người đến B lúc 10 giờ 30 phút, tức là đã mất 2 giờ 30 phút

Vận tốc = Quãng đường : thời gian

Vận tốc = 10 km : 2.5 giờ = 4 km/h

Vậy vận tốc của người đi xe đạp là 4 km/giờ

Câu 13: Một người đi quãng đường AB vận tốc 15km/giờ trên nửa quãng đường đầu và vận tốc 10km/giờ trên nửa quãng đường sau. Vận tốc trung bình của người đó trên cả quãng đường AB là.

Lời giải chi tiết:

Người đi quãng đường AB với vận tốc 15 km/h trên nửa quãng đường đầu và vận tốc 10 km/h trên nửa quãng đường sau

Vậnt ốc trung bình V_TB được tính baefng tổng quãng đường chia cho tổng thời gian:

V_TB = quãng đường toàn bộ : thời gian toàn bộ

Tính quãng đường từ vậnt ốc và thời gian trên mỗi nửa quãng đường, sau đó cộng lại và chia cho tổng thời gian.

$V_{TB}= \frac{15km/h \times \frac{1}{2}+10km/h \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$

$V_{TB}= \frac{7.5 + 5}{1} = \frac{12.5}{1}= 12.5 km/h$

Vậy vận tốc trug bình của người đi đạp là 12.5 km/h

Trên đây là các bài tập toán nâng cao lớp 6 giữa học kỳ 2 có thể giúp các em học sinnh có thêm các bài tập để ôn luyện và làm bài thật tốt. Xin chân thành cảm ơn các bạn đã đọc bài viết này.