Mục lục bài viết

 

1. Khái niệm ước là gì và bội là gì trong toán học

Trong toán học, khi một số tự nhiên a chia hết cho một số tự nhiên b khác 0, ta nói:

  • a là bội của b
  • b là ước của a

Hiểu đơn giản, nếu lấy a chia cho b mà được kết quả là một số tự nhiên, không dư, thì giữa hai số này có quan hệ ước và bội.

Ví dụ:

  • 12 chia hết cho 3 nên 12 là bội của 3, còn 3 là ước của 12
  • 20 chia hết cho 5 nên 20 là bội của 5, còn 5 là ước của 20

Trong chương trình Toán lớp 6, người ta thường ký hiệu:

  • Tập hợp các ước của a là Ư(a)
  • Tập hợp các bội của b là B(b)

Ví dụ:

  • Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
  • B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; ...}

Cần lưu ý hai điểm quan trọng:

Thứ nhất, mọi số tự nhiên khác 0 đều có ít nhất hai ước là 1 và chính nó. Chẳng hạn, 9 có các ước là 1; 3; 9.

Thứ hai, một số tự nhiên khác 0 có vô số bội. Ví dụ, bội của 5 là 0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; ... vì ta có thể tiếp tục nhân 5 với 6; 7; 8; 9; ... mãi mãi.

Như vậy, ước cho biết “những số nào chia hết số đã cho”, còn bội cho biết “những số nào được tạo ra khi nhân số đã cho với các số tự nhiên”.

 

2. Cách phân biệt ước số và bội số qua ví dụ cụ thể

Nhiều học sinh thường nhầm lẫn giữa ước và bội vì hai khái niệm này gắn chặt với nhau. Cách phân biệt dễ nhất là nhìn vào phép chia.

Nếu số đã cho được đem chia cho một số khác và chia hết, thì số chia chính là ước.

Nếu một số được tạo thành từ việc lấy số đã cho nhân với số tự nhiên, thì số đó là bội.

Ví dụ với số 6:

  • 1; 2; 3; 6 là các ước của 6 vì 6 chia hết cho các số này
  • 0; 6; 12; 18; 24; ... là các bội của 6 vì đó là kết quả của 6 nhân với 0; 1; 2; 3; 4; ...

Ví dụ với số 10:

  • 1; 2; 5; 10 là ước của 10
  • 0; 10; 20; 30; 40; ... là bội của 10

Có thể ghi nhớ nhanh như sau:

  • Ước thường nhỏ hơn hoặc bằng số đã cho
  • Bội thường lớn hơn hoặc bằng số đã cho, và có thể kéo dài vô hạn

Tuy nhiên, cần hiểu đây chỉ là cách nhận biết nhanh trong nhiều trường hợp thông thường. Ví dụ, 0 là bội của mọi số tự nhiên khác 0, nhưng 0 không phải là ước của một số tự nhiên theo cách học ở lớp 6.

Xét ví dụ cụ thể:

Cho các số 0; 1; 3; 14; 7; 10; 12; 5; 20

Hỏi số nào là ước của 10?

Ta kiểm tra:

  • 10 chia hết cho 1
  • 10 chia hết cho 5
  • 10 chia hết cho 10

Vậy các ước của 10 trong dãy đã cho là 1; 5; 10.

Hỏi số nào là bội của 5?

Ta kiểm tra:

  • 0 chia hết cho 5
  • 10 chia hết cho 5
  • 20 chia hết cho 5
  • 5 chia hết cho 5

Vậy các bội của 5 trong dãy đã cho là 0; 5; 10; 20.

Qua các ví dụ này, ta thấy ước gắn với phép chia từ số đã cho xuống, còn bội gắn với phép nhân từ số đã cho đi lên.

 

3. Hướng dẫn cách tìm ước và bội của một số tự nhiên

Muốn tìm bội của một số tự nhiên khác 0, ta lấy số đó nhân lần lượt với 0; 1; 2; 3; 4; ...

Ví dụ, tìm các bội nhỏ hơn 50 của 9:

Ta có:

  • 9 x 0 = 0
  • 9 x 1 = 9
  • 9 x 2 = 18
  • 9 x 3 = 27
  • 9 x 4 = 36
  • 9 x 5 = 45
  • 9 x 6 = 54, lớn hơn 50 nên dừng lại

Vậy các bội nhỏ hơn 50 của 9 là: 0; 9; 18; 27; 36; 45.

Muốn tìm ước của một số tự nhiên a lớn hơn 1, ta chia a lần lượt cho các số tự nhiên từ 1 đến a. Nếu a chia hết cho số nào, thì số đó là ước của a.

Ví dụ, tìm các ước của 9:

Ta kiểm tra:

  • 9 chia hết cho 1
  • 9 không chia hết cho 2
  • 9 chia hết cho 3
  • 9 không chia hết cho 4; 5; 6; 7; 8
  • 9 chia hết cho 9

Vậy Ư(9) = {1; 3; 9}.

Khi làm bài, có thể thực hiện theo hai bước rõ ràng:

Đối với tìm ước:

  • Bước 1: Chia số đã cho lần lượt cho các số tự nhiên từ 1 đến chính nó
  • Bước 2: Ghi lại những số chia hết

Đối với tìm bội:

  • Bước 1: Nhân số đã cho với 0; 1; 2; 3; ...
  • Bước 2: Ghi lại những kết quả nhận được

Nếu đề bài có điều kiện kèm theo, như “lớn hơn”, “nhỏ hơn”, “nằm giữa hai số”, thì sau khi liệt kê xong, ta chỉ chọn những số thỏa mãn điều kiện.

Ví dụ:

Tìm các số tự nhiên x sao cho x thuộc Ư(12) và 2 ≤ x ≤ 8.

Ta có:

Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Chọn các số từ 2 đến 8, ta được:

x thuộc {2; 3; 4; 6}

Tương tự, tìm các số tự nhiên x sao cho x thuộc B(5) và 20 ≤ x ≤ 36.

Ta có:

B(5) = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; ...}

Chọn các số từ 20 đến 36, ta được:

x thuộc {20; 25; 30; 35}

Cách làm này rất quan trọng vì không chỉ dùng cho bài cơ bản mà còn dùng để giải các bài toán có lời văn.

 

4. Mối quan hệ giữa ước chung, bội chung và ứng dụng thực tế

Khi một số là ước của hai hay nhiều số, ta gọi số đó là ước chung.

Ví dụ:

  • Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
  • Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

Các số vừa là ước của 12, vừa là ước của 18 là 1; 2; 3; 6. Đó là các ước chung của 12 và 18.

Khi một số là bội của hai hay nhiều số, ta gọi số đó là bội chung.

Ví dụ:

  • B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; ...}
  • B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; ...}

Các số vừa là bội của 4, vừa là bội của 6 là 0; 12; 24; ... Đó là các bội chung của 4 và 6.

Ước chung thường dùng trong các bài toán chia đều. Bội chung thường dùng trong các bài toán xếp hàng, lặp chu kỳ, tìm thời điểm trùng nhau.

Ví dụ 1: Chia phần thưởng

Có 48 chiếc bút và 64 quyển vở. Muốn chia thành các phần thưởng như nhau, thì số phần thưởng phải là ước chung của 48 và 64.

Ta có:

  • Ư(48) gồm nhiều số, trong đó có 8; 16
  • Ư(64) cũng có 8; 16

Vậy nếu chia thành 8 phần hoặc 16 phần thì đều được.

  • Nếu chia 8 phần: mỗi phần có 48 : 8 = 6 bút và 64 : 8 = 8 vở
  • Nếu chia 16 phần: mỗi phần có 48 : 16 = 3 bút và 64 : 16 = 4 vở

Ví dụ 2: Xếp hàng học sinh

Một trường có số học sinh từ 415 đến 421. Nếu xếp hàng 4, hàng 5, hàng 6, hàng 7 đều vừa đủ thì số học sinh phải là bội chung của 4; 5; 6; 7.

Ta thử các số trong khoảng này và nhận thấy:

420 chia hết cho 4; 5; 6; 7

Vậy số học sinh là 420.

Ví dụ 3: Chia học sinh nhận thưởng

Một lớp chia đều 129 quyển vở và 215 bút chì màu cho mỗi học sinh, không còn thừa. Khi đó số học sinh phải là ước chung của 129 và 215.

Ta thấy 43 là ước chung của cả hai số:

  • 129 : 43 = 3
  • 215 : 43 = 5

Vậy lớp có 43 học sinh.

Từ những ví dụ này, có thể rút ra:

  • Gặp bài toán “chia đều”, “chia thành các phần bằng nhau”, ta nghĩ đến ước chung
  • Gặp bài toán “xếp vừa đủ hàng”, “lặp lại cùng lúc”, ta nghĩ đến bội chung

Đó chính là ứng dụng thực tế rất gần gũi của kiến thức ước và bội trong đời sống và học tập.

 

5. Các câu hỏi thường gặp về ước và bội

Một câu hỏi thường gặp là: 0 có phải là bội của một số tự nhiên không?

Câu trả lời là có. Vì với mọi số tự nhiên b khác 0, ta đều có 0 = b x 0, nên 0 là bội của b.

Câu hỏi thứ hai là: 1 có phải là ước của mọi số tự nhiên không?

Câu trả lời là có. Vì số tự nhiên nào cũng chia hết cho 1, nên 1 là ước của mọi số tự nhiên.

Câu hỏi thứ ba là: một số có bao nhiêu ước?

Một số tự nhiên khác 0 luôn có hữu hạn ước. Ví dụ:

  • 6 có các ước là 1; 2; 3; 6
  • 13 có các ước là 1; 13

Số 13 chỉ có 2 ước nên là số nguyên tố.

Câu hỏi thứ tư là: một số có bao nhiêu bội?

Một số tự nhiên khác 0 có vô số bội, vì ta có thể nhân nó với 0; 1; 2; 3; 4; ... không giới hạn.

Câu hỏi thứ năm là: làm sao nhận biết nhanh một số là ước hay là bội của số khác?

  • Muốn biết a có là ước của b hay không, ta lấy b chia cho a. Nếu chia hết thì a là ước của b
  • Muốn biết a có là bội của b hay không, ta lấy a chia cho b. Nếu chia hết thì a là bội của b

Câu hỏi thứ sáu là: ước chung và bội chung dùng để làm gì?

  • Ước chung dùng khi cần chia đều
  • Bội chung dùng khi cần tìm số phù hợp để xếp đủ hàng, ghép chu kỳ hoặc tìm thời điểm trùng nhau

Câu hỏi cuối cùng là: học ước và bội có quan trọng không?

Câu trả lời là rất quan trọng. Đây là kiến thức nền tảng để học tiếp ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, phân số, tỉ số, chia hết và nhiều dạng toán thực tế ở các lớp trên. Nếu hiểu chắc ước và bội từ đầu, học sinh sẽ làm toán số học dễ dàng và chính xác hơn rất nhiều.

Quý bạn đọc có thể tham khảo thêm: