Mục lục bài viết

1. Các hệ thức lượng trong tam giác

1.1 Định lí côsin

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c

Ta có công thức sau :

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;

b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB;

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.

Hệ quả :

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn chi tiết nhất

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn chi tiết nhất

 

1.2 Định lí sin

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có công thức:

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2R

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn chi tiết nhất

 

1.3 Độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có ma, mb, mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta có công thức:

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn chi tiết nhất

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn chi tiết nhất

 

1.4 Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có

+) ha, hb, hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB;

+) R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

+) r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

+) p = \frac{a+b+c}{2} là nửa chu vi tam giác

+) S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có công thức: S = \frac{1}{2}. a. ha = \frac{1}{2}. b. hb = \frac{1}{2}. c. hc = \frac{1}{2}bc. sinA = \frac{1}{2}ca. sinB = \frac{1}{2}ab. sinC = \frac{abc}{4R} = p.r

 

2. Bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 1cm , AC = 2cm. Tính BC.

Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = 23, AC = 24, B = 60º. Tính góc C

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD, chứng minh rằng BD2 + AC2 = 2.(AB2 + AD2)

Bài 4. Cho tam giác ABC. Chứng minh A nhọn khi và chỉ khi BC2 < AB2 + AC2

Bài 5. Một ô tô đi từ A đến C nhưng giữa A và C là một ngọn núi cao nên ô tô phải chạy thành hai đoạn đường từ A đến B và từ B đến C, các đoạn đường này tạo thành tam giác ABC có AB =15km, BC = 10km và góc B = 105º. Giả sử người ta khoan hầm qua một núi và tạo ra một con đường thẳng từ A đến C, tính độ dài đoạn đường này.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AC = 20 cm, BH = 9cm. Tính độ dài BC và AH.

Bài 7. Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các góc nhọn α, β

a) cos2 α.cos2 β + cos2 α.sin2 β + sin2 α

b) 2(sin⁡α – cos⁡α )2 – (sin⁡α + cos⁡α )2 + 6sin⁡α.cos⁡α

c) (tan⁡α – cot⁡α )2 – (tan⁡α + cot⁡α )2

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB : AC = 7 : 24, BC = 625 cm. Tính độ dài hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Bài 9. Tìm x, y trên hình vẽ

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn chi tiết nhất

Bài 10. Tìm x, y trên hình vẽ

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn chi tiết nhất

Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AH và BC.

Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc BC (H thuộc BC). Cho biết AB : AC = 3 : 4 và BC = 15 cm.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH và HC.

b) Kẻ phân giác AD (D thuộc BC). Tính độ dài đoạn thẳng HD.

 

3. Đáp án bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Bài 1.

Áp dụng định lí cosin ta có:

BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AC.cosA

BC2 = 12 + 22 - 2.1.2.cos120°

BC2 = 1+ 4 - 4.(\frac{-1}{2}) = 7

BC =\sqrt{7} (cm)

Bài 2.

Áp dụng định lí sin ta có:

\frac{AB}{sin C} = \frac{AC}{sin B}

sin C = \frac{AB. sinB}{AC} = \frac{23. sin60}{24} = \frac{23\sqrt{3}}{48}

C = 56º6'

Bài 3.

Ta có O là tâm hình bình hàng ABCD, O là trung điểm của AC

BO là trung tuyến của tam giác ABC ứng với cạnh AC

BO2 = \frac{BC^{2} + BA^{2}}{2} - \frac{AC^{2} }{4}

4BO2 = 2(BC2 + BA2) - AC2 (1)

Mà O là trung điểm của BD nên BD = 2BO => BD2 = 4BO2

(1) => BD2 = 2(CB2 + AB2) - AC2 

=> BD2 + AC2 = 2(CB2 + AB2) 

=> BD2 + AC2 = 2(AB2 + AD2) ( do AD = CB ) (điều cần phải chứng minh)

Bài 4.

Áp dụng định lí cosin ta có:

cos A = \frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2AB.AC}

Mà AB.AC luôn lớn hơn 0 nên cos A cùng dấu với biểu thức (AB2 + AC2- BC2)

A nhọn => 0º < A < 90º => cos A > 0

=> AB2 + AC2- BC2 > 0

=> BC2 < AB2 + AC2

Bài 5.

Áp dụng định lí cosin ta có:

AC2 = AB2 + BC2 = 2AB.BC.cos B

=> AC2 = 152 + 102 - 2.15.10.cos 105º = 402,65

=> AC = \sqrt{402,65} = 20,07 (km)

Bài 6.

Ta đặt HC = x (x>0).

Áp dụng hệ thức

AC2 = BC.HC, ta được:

⇒ 202 = (9 + x)x

⇔ x2 + 9x – 400 = 0

⇔ (x + 25)(x – 16) = 0

⇔ x = -25 (loại) hoặc x = 16

Vậy độ dài của cạnh huyền BC là:

BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 cm

Ta có: AH2 = HB.HC = 9.25 = 32.52 = 152 Nên chiều dài đường cao AH là: AH = 15 (cm)

Đáp số: 15 cm

Bài 7.

a) cos2 α.cos2 β + cos2 α.sin2 β + sin2 α

= cos2 α(cos2 β + sin2 β) + sin2 α

= cos2 α.1 + sin2 α

= 1

b) 2(sin⁡α – cos⁡α )2 – (sin⁡α + cos⁡α )2 + 6 sin⁡α.cos⁡α

= 2(1 – 2sinα.cos⁡α ) – (1 + 2sinα.cos⁡α ) + 6sinα.cos⁡α

= 1 – 6sinα.cos⁡α + 6sinα.cos⁡α

= 1

c) (tan⁡α – cot⁡α )2 – (tan⁡α + cot⁡α )2 

= (tan2 α – 2 tan⁡α.cotα + cot2 α) – (tan2 α + 2 tan⁡α.cotα + cot2 α )

= -4 tan⁡α.cotα

= -4.1

= -4

Bài 8.

Vẽ AH ⊥ BC, thì ta có:   AB2 = BH.BC ; AC2 = CH.BC ;

=> \frac{AB^{2}}{AC^{2}} = \frac{BH}{CH}

=> \frac{BH}{CH} = \frac{7^{2}}{24^{2}} = (\frac{7}{24})^{2} = \frac{49}{576}

Nên ta có: 

\frac{BH}{49} = \frac{CH}{576} = \frac{BH + CH}{49 + 576} = \frac{BC}{625} = \frac{625}{625} = 1

(sử dụng tính chất tỉ lệ thức: \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} )

Suy ra: BH = 49.1 = 49; CH = 576.1 = 576

Bài 9.

x, y trên hình vẽ là hai cạnh góc vuông.

Như vậy ta tìm cạnh huyền của tam giác vuông đang xét. Cạnh huyền = 1 + 4 = 5

Ta tiếp tục dùng công thức liên quan đến hình chiếu và cạnh góc vuông, cạnh huyền:

b² = ab’ tức là x² = 1.5 suy ra x = √5 c² = ac’ tức là y² = 4.5 suy ra y = √20 = 2√5

Bài 10.

Đầu tiên ta kiểm tra thấy có thể tính ngay cạnh góc vuông AB dựa vào Định lí Py-ta-go:

AB² = BH² + AH² = 1² + 2² = 5 suy ra AB = √5

Tính được AB rồi, ta có AB² = AH.AC nên suy ra AC = AB²/ AH = 5/1 = 5

Mà AH + x = AC nên x = AC – AH = 5 – 1 = 4

Tính được x thì ta có hai cách để tính y.

Cách 1: Ta dùng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông BHC. y² = BH² + x² = 2² + 4² =20 suy ra y = √20 = 2√5

Cách 2: Ta có thể áp dụng hệ thức lượng y² = x.AC = 5.4 = 20 suy ra y =√20 = 2√5.

Bài 11.

Ta thấy ngay có thể tính cạnh huyền của tam giác ABC:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 suy ra BC = 5 cm.

Vậy ta có độ dài hai cạnh góc vuông và cạnh huyền, giờ có thể tính BH và CH dựa vào công thức liên quan đến hình chiếu, cạnh huyền và cạnh góc vuông.

Ta có: AB² = BH.BC suy ra BH = AB²/BC = 3²/5 = 9/5 cm

Tương tự, AC² = HC.BC suy ra HC = AC²/BC = 16/5 cm

Tính AH dựa vào hệ thức h² = b’.c’ tức là AH² = BH.CH = 144/25 suy ra AH = 12/5 cm

Bài 12.

a) AB/AC = 3/4

Ta gọi AB = 3k, AC = 4k. Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABC:

AB² + AC² = BC² suy ra 9k² + 16k² = 15² suy ra k² = 15²/25= 9 vậy k = 3.

Từ đó suy ra AB = 9 cm, AC = 12 cm.

Ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC để tính BH, CH.

Ta có AB² = BH.BC suy ra BH = AB²/BC = 27/5 cm

AC² = HC.BC suy ra HC = AC²/BC = 48/5 cm

b)

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: 

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn chi tiết nhất

(áp dụng dãy tỉ lệ thức bằng nhau) suy ra BD = AB.5/7 = 45/7 cm.

HD = BD – BH = 45/7 – 27/5 = 36/35 cm

=>> Tải ngay: 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn chi tiết

Quý bạn đọc có thể tham khảo thêm bài viết: Định lý Pytago là gì? Công thức và bài tập áp dụng Toán lớp 7. Chúc các bạn học tốt!