Đường cao là gì? Tính chất và một số công thức tính đường cao?

1. Đường cao là gì?

Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đưởng thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.

- Trong hình dưới, đoạn thẳng AI là một đường cao của tam giác ABC. Ta còn nói AI là đường cao xuất phát từ đỉnh A (của tam giác ABC).

Đôi khi ta cũng gọi đường thẳng AI là một đường cao của tam giác ABC. Mỗi tam giác có ba đường cao.

2. Tính chất ba đường cao của tam giác

- Định lí: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm.

Ba đường cao AI, BK, CL cùng đi qua (đồng quy tại) điểm H.

- Điểm H gọi là trực tâm của tam giác ABC.

3. Vẽ đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân, tam giác đều

3.1. Tính chất của tam giác cân

Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thười là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

Ngược lại với tính chất trên, ta có nhận xét sau:

Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân.

3.2. Tính chất của tam giác đều

Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

4. Công thức tính đường cao trong tam giác

4.1. Công thức tính đường cao trong tam giác thường

 Công thức tính chiều cao hình tam giác: 

Trong đó:

• a, b, c là độ dài các cạnh;
• h là đường cao được kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC
• p là nửa chu vi:

                              p = (a+b+c) / 2

4.2. Công thức tính đường cao trong tam giác đều

Giả sử tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a như hình:

Trong đó:

• h là đường cao của tam giác đều
• a là độ dài các cạnh của tam giác đều

4.3. Công thức tính đường cao trong Tam giác vuông

Giả sử có tam giác vuông ABC vuông tại A như hình trên:

- Công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

- Trong đó:

• a,b,c lần lượt là các cạnh của tam giác vuông
• b' là đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền
• c' là đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền
• h là chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC

4.4. Công thức tính đường cao trong tam giác cân

Giả sử tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc tại H như hình

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên: 

HB = HC = 1/2 BC

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H, ta có:

5. Câu hỏi ôn tập

5.1. Dạng 1. Xác định trực tâm của tam giác

Phương pháp giải: để xác định trực tâm của tam giác, ta đi tìm giao điểm của hai đường cao trong ta giác đó

Bài 1. Cho tam giác ABC có góc A = 70, AB <AC, đường phân giác của góc A cắt BC tại D, BF vuông góc AC tại F, E thuộc AC sao cho AE = AB. Xác định trực tâm của tam giác ABE và tính góc DHF.

Hướng dẫn giải

Gọi AD cắt BE = I.

Vì AB = AE nên tam giác ABE cân tại A. 

Mặt khác AD là phân giác góc A của tam giác ABC

=> AI là đường cao của tam giác ABE

BF vuông góc với AE => BF là đường cao của tam giác ABE

Mà BF giao AI = H nên H là trực tâm của tam giác ABE

Xét tam giác HEF có: góc FHE = 90 - góc FEH (1)

Xét tam giác HIE có góc EHI = 90 - IEH (2)

Từ (1) và (2) ta có: góc FHD = góc FHE + góc EHI = 180 - góc FEH - góc IEH = 180 - góc FEI

Vì tam giác ABE cân tại A nên góc AEB = góc ABE = (180 - góc BAE) / 2 = (180 - 70) / 2 = 55

=> góc EHD = 180 - góc FEI = 180 - 55 = 125

Bài 2. Cho tam giác ABC đều, G là trọng tâm của tam giác. Xác định trực tâm các tam giác GAB, GAC, GBC.

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC đều, G là trọng tâm nên G cũng là trực tâm của tam giác ABC

=> AG vuông góc BC, BG vuông góc AC, CG vuông góc AB

Xét tam giác GAB có BC vuông góc AG, AC vuông góc BG

Mà AC giao BC = C nên C là giao điểm của 2 đường cao trong tam giác ABG

=> C là trực tâm của tam giác GAB

Tương tự, B là trực tâm tam giác GAC, A là trực tâm tam giác GBC

5.2. Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp giải: 

- Sử dụng tính chất ba đường cao trong tam giác đồng quy tại một điểm

- Sử dụng định lú trong tam giác cân thì đường trung tuyến, đường phân giác ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao

- Hai đường thẳng song song với nhau thì cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba

Bài 1. Cho tam giác ABC có góc A > 90. AD vuông góc với BC tại D, BE vuông góc với AC tại E. Gọi F là giao điểm của đường thẳng AD và BE. Chứng minh AB vuông góc FC

Hướng dẫn giải

Xét tam giác FBC có:

AD vuông góc BC nên FD vuông góc BC (1)

BE vuông góc AC => CE vuông góc BF (2)

Từ (1) và (2) suy ra, CE và FD là các đường cao của tam giác FBC

mà FD giao CE = A nên A là trực tâm của tam giác FBC

=> A thuộc đường cao hạ từ B của tam giác FBC => AB vuông góc FC

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D bất lỳ (D # A, B), trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh ED vuông góc BC.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABE và tam giác ACD có:

AE = AD

góc BAE = góc CAD = 90

AB = AC

Do đó, tam giác ABE = tam giác ACD (cgc)

=> góc ACD = góc ABE (hai góc tương ứng) (1)

Gọi F là giao điểm của CD và BE

Ta có, góc FDB = góc ADC (hai góc đối đỉnh) (2)

góc ADC + góc DCA = 90 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: góc FDB + góc FBD = góc ADC + góc DCA = 90

Trong tam giác FDB có:

góc DFB = 180 -(góc FDB + góc FBD) = 180 -90 = 90

=> CD vuông góc BE

Xét tam giác BEC có:

 AB  vuông góc EC

CD vuông góc BE

ma CD giao AB = D

Nên D là trực tâm của tam giác BEC

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M bất kì (M # A,C). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại N. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại P. Chứng minh ba đường thẳng AB, CP, MN cùng đi qua một điểm

Hướng dẫn giải

Gọi D là giao điểm của đường thẳng AB và CP

Xét tam giác DBC có:

AB vuông góc AC => AC vuống góc BD (1)

CP vuông góc BP => BP vuông góc DC (2)

Từ (1) và (2) suy ra CA và BP là các đường cao của tam giác DBC

mà BP giao AC = m nên M là trực tâm tam giác DBC => DM vuông góc BC

Lại có MN vuông góc BC nên M, N, D thẳng hàng => AB, MN và CP cùng đi qua điểm D

Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A. M là trung điểm của BC, đường cao CN cắt AM tại H. Chứng minh rằng BH vuông góc AC.

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC nên Am vừa là đương trung tuyến, vừa là đường cao ứng với BC

=> AM vuông góc BC.

Mặt khác, CN vuông góc AB, AM giao CN = H

=> H là trực tâm của tam giác ABC

=> BH thuộc đường cao hạ từ B của tam giác ABC

=> BH vuông góc AC

Bài 5. Cho tam giác ANC, có góc A = 100, góc C = 30, đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho góc CBD = 10. Vẽ đường phân giác của góc BAD cắt BC ở E. Chứng minh rằng AE vuông góc BD.

Hướng dẫn giải

Vì góc ADB là góc ngoài tam giác DBC nên:

góc ADB = góc DBC + góc DCB = 10 + 30 = 40

Trong tam giác ABC có:

góc ABC = 180 - góc BAC - góc ACB = 180 - 100 - 30 = 50

góc ABD = góc ABC - góc DBC = 50 -10 = 40

Xét tam giác ABD có góc ABC = góc ABD = 40 => tam giác ABD cân tại A

Gọi I là giao của AE và BD thì AI là phân giác của góc BAD

Mà tam giác ABD cân nên AI cũng là đường cao của tam giác ABD => AI vuông góc BD hay AE vuông góc DB.  

Trên đây là bài viết về Đường cao là gì? Tính chất và một số công thức về đường cao? của Luật Minh Khuê gửi đến bạn đọc mang tính chất tham khảo. Trong trường hợp có bất kỳ thắc mắc nào liên quan đến pháp luật, kính mời bạn đọc liên hệ trực tiếp đến Tổng đài tư vấn miễn phí pháp luật 24/7 theo số hotline 1900.6162 để được đội ngũ Luật sư tư vấn pháp luật. Rất mong nhận được sự hợp tác và tin tưởng của quý khách. Luật Minh Khuê xin trân trọng cảm ơn!.