Mục lục bài viết
1. Lý thuyết về các trường hợp đồng dạng của tam giác
- Các trường hợp đồng dạng của tam giác
+ Trường hợp thứ nhất cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c): Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
+ Trường hợp thứ hai cạnh – góc – cạnh (c.g.c): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng với nhau.
+ Trường hợp thứ ba góc – góc - góc (g.g.g): Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
- Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông: Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:
+ Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.
+ Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.
+ Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
2. Bài tập ôn tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác
Bài 1: Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của Ac và BF. Chứng minh rằng:
a) AH = AK
b) AH2 = BH. CK
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng:
a) AE2 = EK. EG
b) 1/AE = 1/AK + 1/AG
c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không đổi
Bài 3: Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng:
a) EG = FH
b) EG vuông góc với FH
Bài 4: Cho ABC ( AB < AC) các phân giác BD, CE
a) Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AB ở K, chứng minh E nằm giữa B và K
b) Chứng minh: CD > DE > BE
Bài 5: Cho ABC có, AB = 8 cm, BC = 10 cm.
a) Tính AC
b) Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi cạnh là bao nhiêu?
Bài 6: Cho ABC cân tại A và O là trung điểm của BC. Một điểm O di động trên AB, lấy điểm E trên AC sao cho . Chứng minh rằng
a) DBO đồng dạng
OCE
b)DOE đồng dạng
DBO đồng dạng
OCE
c) DO, EO lần lượt là phân giác của các góc BDE, CED
d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB
Bài 7: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F
a) Chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC
b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K. Chứng minh rằng K là trung điểm của FE
3. Đáp án bài tập ôn tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác
Bài 1:
a) Đặt AB = c, AC = b. BD // AC (cùng vuông góc với AB) nên AH/AB = AC/BD = b/c => AH/HB = b/c => AH/(HB+AH) = b/(b+c)
Hay AH/AB = b/(b+c) => AH/c = b/(b+c) => AH = b.c/(b+c) (1)
AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên AK/KC = AB/CF = c/b => AK/KC = c/b => AK/(KC+AK) = c/(b+c)
Hay AK/AC = b/(b+c) => AK/b = c/(b+c) => AK = bc/(b+c) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK
b) Từ AH/HB = AC/BD = b/c và AK/KC = AB/CF = c/b suy ra AH/HB = KC/AK => AH/HB = KC/AH (Vì AH = AK) => AH2 = BH . KC
Bài 2:
a) Vì ABCD là hình bình hành và K thuộc BC nên AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:
EK/AE = EB/ED = AE/EG => EK/AE = AE/EG => AE2 = EK.EG
b) Ta có: AE/AK = DE/DB ; AE/AG = BE/BD nên AE/AK + AE/AG = BE/BD + DE/DB = BD/BD = 1 => AE.(1/AK + 1/AG) = 1 => 1/AE = 1/AK + 1/AG (đpcm)
c) Ta có: BK/KC = AB/CG => BK/KC = a/CG (1);
KC/AD = CG/DG => KC/b = CG/DG (2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: BK/b = a/DG => BK.DG = ab không đổi
(Vì a = AB; b = AD là độ dài hai cạnh của hình bình hành ABCD không đổi)
Bài 3:
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG
Ta có CM = 1/2 CF = 1/3 => BM/BC = 1/3 => BE/BA = BM/BC = 1/3 => EM // AC => EM/AC = BM/BE = 2/3 => EM = 2/3 AC (1)
Tương tự, ta có: NF // BD => NF/BD = CF/CB = 2/3 => NF = 2/3 BD (2)
mà AC = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a)
Tương tự như trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH = 1/3 AC (b)
Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC vuông góc BD => EM vuông góc MG => EMG = 90º (4)
Tương tự, ta có: FNH = 90º (5)
Từ (4) và (5) suy ra EMG = FNH = 90º (c)
Từ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) => EG = FH
b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì PQF = 90º => QPF + QFP = 90º mà QPF = OPE (đối đỉnh), QEP = QFP (EMG =
FNH)
Suy ra EOP = PQF = 90º => EO vuông góc OP => EG vuông góc FH
Bài 4:
a) BD là phân giác nên AD/DC = AB/BC < AC/BC = AE/EB => AD/DC < AE/EB (1)
Mặt khác KD // BC nên AD/DC = AK/KB (2)
Từ (1) và (2) suy ra AK/KB < AE/EB => AB/KB < AB/EB => KB > EB => E nằm giữa K và B
b) Gọi M là giao điểm của DE và CB.
Ta có CBD = KDB (Góc so le trong) => KBD = KDB
mà E nằm giữa K và B nên KDB > EDB => KBD > EDB => EBD > EDB => EB < DE
Ta lại có CBD + ECB = EDB + DEC => DEC > ECB => DEC > DCE (Vì DCE = ECB)
Suy ra CD > ED => CD > ED > BE
Bài 5:
Cách 1: Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho:BD = BC
ACD
ABC (g.g) => AC/AB = AD/AC
= > AC2 = AB.AD = AB(AB + BC) = 8(10 + 8) = 144 => AC = 12 cm
Cách 2: Vẽ tia phân giác BE của ABE
ACB
AB/AC = AE/AB = BE/CB = AC/(AB+CB) => AC2 = AB(AB + CB)= 8(8 + 10) = 144 => AC = 12 cm
b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c thì từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1)
Vì b > a nên có thể b = a + 1 hoặc b = a + 2
+ Nếu b = a + 1 thì (a + 1)2 = a2 + ac => 2a + 1 = ac => a(c – 2) = 1
=> a = 1; b = 2; c = 3 (loại)
+ Nếu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4
- Với a = 1 thì c = 8 (loại)
- Với a = 2 thì c = 6 (loại)
- với a = 4 thì c = 6 ; b = 5
Vậy a = 4; b = 5; c = 6
Bài 6:
a) Từ CE = OB2/BD => CE/OB = OB/BD và B = C (gt) => DBO đồng dạng
OCE
b) Từ câu a suy ra O3 = E2 (1)
Vì B, O ,C thẳng hàng nên O3 + DOE + EOC = 180º (2)
trong tam giác EOC thì E2 + C + EOC = 180º (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra DOE = B = C
DOE và
DBO có DO/DB = OE/OC (Do
DBO đồng dạng
OCE) và DO/DB = OE/OB (Do OC = OB) và DOE = B = C nên
DOE đồng dạng
DBO đồng dạng
OCE
c) Từ câu b suy ra D1 = D2 => DO là phân giác của các góc BDE
Cũng từ câu b suy ra E1 = E2 => EO là phân giác của các góc CED
d) Gọi OH, OI là khoảng cách từ O đến DE, CE thì OH = OI, mà O cố định nên OH không đổi => OI không đổi khi D di động trên AB
=> Bạn đọc có thể tham khảo thêm bài viết 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn chi tiết nhất