1. Lý thuyết về các trường hợp đồng dạng của tam giác

- Các trường hợp đồng dạng của tam giác

+ Trường hợp thứ nhất cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c): Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

+ Trường hợp thứ hai cạnh – góc – cạnh (c.g.c): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng với nhau.

+ Trường hợp thứ ba góc – góc - góc (g.g.g): Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

- Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông: Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:

+ Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.

+ Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.

+ Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

2. Bài tập ôn tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác

Bài 1: Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của Ac và BF. Chứng minh rằng:

a) AH = AK

b) AH2 = BH. CK

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng:

a) AE2 = EK. EG

b) 1/AE = 1/AK + 1/AG

c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không đổi

Bài 3: Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng:

a) EG = FH

b) EG vuông góc với FH

Bài 4: Cho ABC ( AB < AC) các phân giác BD, CE

a) Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AB ở K, chứng minh E nằm giữa B và K

b) Chứng minh: CD > DE > BE

Bài 5: Cho \bigtriangleupABC có, AB = 8 cm, BC = 10 cm.

a) Tính AC

b) Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi cạnh là bao nhiêu?

Bài 6: Cho \bigtriangleupABC cân tại A và O là trung điểm của BC. Một điểm O di động trên AB, lấy điểm E trên AC sao cho . Chứng minh rằng

a) \bigtriangleupDBO đồng dạng \bigtriangleupOCE

b)\bigtriangleupDOE đồng dạng \bigtriangleupDBO đồng dạng \bigtriangleupOCE

c) DO, EO lần lượt là phân giác của các góc BDE, CED

d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB 

Bài 7: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F

a) Chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC

b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K. Chứng minh rằng K là trung điểm của FE 

3. Đáp án bài tập ôn tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác

Bài 1:

Bài tập ôn tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác

a) Đặt AB = c, AC = b. BD // AC (cùng vuông góc với AB) nên AH/AB = AC/BD = b/c => AH/HB = b/c => AH/(HB+AH) = b/(b+c)

Hay AH/AB = b/(b+c) => AH/c = b/(b+c) => AH = b.c/(b+c) (1)

AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên AK/KC = AB/CF = c/b => AK/KC = c/b => AK/(KC+AK) = c/(b+c)

Hay AK/AC = b/(b+c) => AK/b = c/(b+c) => AK = bc/(b+c) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK

b) Từ AH/HB = AC/BD = b/c và AK/KC = AB/CF = c/b suy ra AH/HB = KC/AK => AH/HB = KC/AH (Vì AH = AK) => AH2 = BH . KC

Bài 2:

Bài tập ôn tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác

a) Vì ABCD là hình bình hành và K thuộc BC nên AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:

EK/AE = EB/ED = AE/EG => EK/AE = AE/EG => AE2 = EK.EG

b) Ta có: AE/AK = DE/DB ; AE/AG = BE/BD nên AE/AK + AE/AG = BE/BD + DE/DB = BD/BD = 1 => AE.(1/AK + 1/AG) = 1 => 1/AE = 1/AK + 1/AG (đpcm)

c) Ta có: BK/KC = AB/CG => BK/KC = a/CG (1);

KC/AD = CG/DG => KC/b = CG/DG (2)

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: BK/b = a/DG => BK.DG = ab không đổi

(Vì a = AB; b = AD là độ dài hai cạnh của hình bình hành ABCD không đổi)

Bài 3:

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG

Ta có CM = 1/2 CF = 1/3 => BM/BC = 1/3 => BE/BA = BM/BC = 1/3 => EM // AC => EM/AC = BM/BE = 2/3 => EM = 2/3 AC (1)

Tương tự, ta có: NF // BD => NF/BD = CF/CB = 2/3 => NF = 2/3 BD (2)

mà AC = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a)

Tương tự như trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH = 1/3 AC (b)

Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC vuông góc BD => EM vuông góc MG => EMG = 90º (4)

Tương tự, ta có: FNH = 90º (5)

Từ (4) và (5) suy ra EMG = FNH = 90º (c)

Từ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) => EG = FH

b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì PQF = 90º => QPF + QFP = 90º mà QPF = OPE (đối đỉnh), QEP = QFP (\bigtriangleupEMG = \bigtriangleupFNH)

Suy ra EOP = PQF = 90º => EO vuông góc OP => EG vuông góc FH

Bài 4:

Bài tập ôn tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác

a) BD là phân giác nên AD/DC = AB/BC < AC/BC = AE/EB => AD/DC < AE/EB (1)

Mặt khác KD // BC nên AD/DC = AK/KB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AK/KB < AE/EB => AB/KB < AB/EB => KB > EB => E nằm giữa K và B

b) Gọi M là giao điểm của DE và CB.

Ta có CBD = KDB (Góc so le trong) => KBD = KDB

mà E nằm giữa K và B nên KDB > EDB => KBD > EDB => EBD > EDB => EB < DE

Ta lại có CBD + ECB = EDB + DEC => DEC > ECB => DEC > DCE (Vì DCE = ECB)

Suy ra CD > ED => CD > ED > BE

Bài 5:

Bài tập ôn tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác

Cách 1: Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho:BD = BC

\bigtriangleupACD \bigtriangleupABC (g.g) => AC/AB = AD/AC

= > AC2 = AB.AD = AB(AB + BC) = 8(10 + 8) = 144 => AC = 12 cm

Cách 2: Vẽ tia phân giác BE của  \bigtriangleupABE \bigtriangleupACB

AB/AC = AE/AB = BE/CB = AC/(AB+CB) => AC2 = AB(AB + CB)= 8(8 + 10) = 144 => AC = 12 cm

b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c thì từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1)

Vì b > a nên có thể b = a + 1 hoặc b = a + 2

+ Nếu b = a + 1 thì (a + 1)2 = a2 + ac => 2a + 1 = ac => a(c – 2) = 1

=> a = 1; b = 2; c = 3 (loại)

+ Nếu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4

- Với a = 1 thì c = 8 (loại)

- Với a = 2 thì c = 6 (loại)

- với a = 4 thì c = 6 ; b = 5

Vậy a = 4; b = 5; c = 6

Bài 6:

Bài tập ôn tập về các trường hợp đồng dạng của tam giác

a) Từ CE = OB2/BD => CE/OB = OB/BD và B = C (gt) =>\bigtriangleup DBO đồng dạng \bigtriangleup OCE

b) Từ câu a suy ra O3 = E2 (1)

Vì B, O ,C thẳng hàng nên O3 + DOE + EOC = 180º (2)

trong tam giác EOC thì E2 + C + EOC = 180º (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra DOE = B = C

\bigtriangleupDOE và \bigtriangleupDBO có DO/DB = OE/OC (Do \bigtriangleupDBO đồng dạng \bigtriangleupOCE) và DO/DB = OE/OB (Do OC = OB) và DOE = B = C nên \bigtriangleupDOE đồng dạng \bigtriangleupDBO đồng dạng \bigtriangleupOCE

c) Từ câu b suy ra D1 = D2 => DO là phân giác của các góc BDE

Cũng từ câu b suy ra E1 = E2 => EO là phân giác của các góc CED

d) Gọi OH, OI là khoảng cách từ O đến DE, CE thì OH = OI, mà O cố định nên OH không đổi => OI không đổi khi D di động trên AB

=> Bạn đọc có thể tham khảo thêm bài viết 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn chi tiết nhất