1. Bài tập hình học nâng cao lớp 4 có đáp án chi tiết nhất
Bài 1: Cho một hình vuông và một hình chữ nhật, biết cạnh hình vuông hơn chiều rộng hình chữ nhật 7cm và kém chiều dài 4cm, diện tích hình vuông hơn diện tích hình chữ nhật là 100cm2. Hãy tính cạnh hình vuông.
Bài 2: Có 2 tờ giấy hình vuông mà số đo các cạnh là số tự nhiên. Đem đặt tờ giấy nhỏ nằm trọn trong tờ giấy lớn thì diện tích phần còn lại không bị che của tờ giấy lớn là 63cm2. Tính cạnh mỗi tờ giấy.
Bài 3: ở trong một mảnh đất hình vuông, người ta xây một cái bể cũng hình vuông. Diện tích phần đất còn lại là 216m2. Tính cạnh của mảnh đất, biết chu vi mảnh đất gấp 5 lần chu vi bể.
Bài 4: Một mảnh vườn hình vuông, ở giữa người ta đào một cái ao cũng hình vuông. Cạnh ao cách cạnh vườn 10m. Tính cạnh ao và cạnh vườn. Biết phần diện tích thừa là 600m2.
Bài 5: Cạnh của hình vuông ABCD bằng đường chéo của hình vuông MNPQ. Hãy chứng tỏ rằng diện tích MNPQ bằng 
diện tích ABCD.
Bài 6: Ba lần chu vi của hình chữ nhật bằng 8 lần chiều dài của nó. Nếu tăng chiều rộng 8m, giảm chiều dài 8m thì hình chữ nhật trở thành hình vuông. Tìm độ dài mỗi cạnh của hình chữ nhật đó.
Bài 7: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu bớt chiều dài 3m, bớt chiều rộng 2m thì được một hình chữ nhật mới có chu vi gấp 10 lần chiều rộng. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
Bài 8: Một miếng bìa hình chữ nhật có chu vi 72cm. Người ta cắt bỏ đi 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc.
a) Tìm chu vi miếng bìa còn lại.
b) Nếu phần chiều dài còn lại của miếng bìa hơn phần còn lại của chiều rộng miếng bìa là 12 cm thì độ dài các cạnh của miếng bìa hình chữ nhật ban đầu là bao nhiêu xăng - ti - mét?
Bài 9: Nếu ghép một hình chữ nhật và một hình vuông có cạnh bằng chiều dài hình chữ nhật ta được một hình chữ nhật mới có chu vi 26cm. Nếu ghép hình chữ nhật đó với một hình vuông có cạnh bằng chiều rộng hình chữ nhật thì ta được một hình chữ nhật mới có chu vi bằng 22cm. Tìm chu vi hình chữ nhật ban đầu.
Bài 10 : Có một miếng bìa hình vuông, cạnh 24cm. Bạn Hoà cắt miếng bìa đó dọc theo một cạnh được 2 hình chữ nhật mà chu vi hình này bằng hình kia. Tìm độ dài các cạnh của hai hình chữ nhật cắt được.
Bài 11: Một HV được chia thành 2 HCN có tổng chu vi là 108 m và hiệu 2 chu vi bằng 8m. Tìm diện tích mỗi HCN ?
Bài 12: Cho HV có chu bằng 20m. Người ta chia HV đó thành 2 HCN tìm tổng chu vi 2 HCN đó?
Bài 13: Một HCN có chu vi bằng 146m; nếu giảm chiều dài đi của nó thì được HCN mới có chu vi là 116m. Tìm diện tích HCN ban đầu?
Bài 14 : Nếu giảm một cạnh hình vuông 42m, giảm cạnh khác đi 6m thì được một HCN có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Tính diện tích hình vuông ?
Bài 15 : Một HCN có chiều rộng bằng chiều dài. Nếu giảm chiều dài 32m thì được một HV. Trên miếng đất đó người ta trồng rau, mỗi m2 thu hoạch được 3kg. Tìm số rau thu hoạch được trên miếng đất đó ?
Bài 16 : Một miếng đất HCN có chu vi là 84m, chiều rộng bằng chiều dài. Nếu mở rộng chiều dài thêm 8m thì phải mở chiều rộng thêm bao nhiêu mét để được một hình vuông ?
Bài 17 : Một sân phơi hình chữ nhật có chu vi là 82m, nếu giảm chiều dài 8m và giảm chiều rộng 5m thì được một hình vuông. Tìm diện tích sân phơi ?
Bài 18 : Một miếng đất hình vuông khi mở rộng thêm chiều dài 6m thì được mảnh đất HCN có chu vi 112m. Tìm diện tích mảnh đất sau khi mở rộng ?
Bài 19 : Một HCN có chu vi gấp 10 lần chiều rộng, biết chiều dài bằng 48 cm. Tìm diện tích mảnh đất đó ?
Bài 20: Một HCN có chiều dài gấp đôi chiều rộng và diện tích là 98 m². Người ta chia thành 2 hình vuông bằng nhau. Tìm chu vi mỗi hình vuông và chu vi mảnh đất HCN ?
2. Hướng dẫn giải
Bài 1: Cần tìm chiều dài cạnh hình vuông KI và ID của hình vuông AKID.
Diện tích của MOKA bằng diện tích của hình vuông ONQK trừ đi diện tích của QBCP.
Cạnh của hình vuông ONQK là KI + ID = 9cm. Diện tích của QBCP là 7 × 7 = 49 cm2 .
Diện tích của MOKA là 100 − 49 = 51 cm2 .
Cạnh của hình vuông AKID là 51 ≈ 7,14 cm
Bài 2: Tạo một hình thang vuông bằng cách đặt tấm giấy nhỏ sao cho 2 góc vuông trùng nhau.
Diện tích mảnh thừa tạo thành hai hình thang vuông có diện tích bằng nhau.
Chiều cao của mảnh thừa là 7cm.
Chiều dài của tấm giấy lớn là 9 + 7 = 16 cm , chiều rộng là 9 − 7 = 2cm.
Bài 3: Mảnh đất gấp 5 lần bể, cạnh mảnh đất cũng gấp 5 lần cạnh bể.
Diện tích mảnh đất so với diện tích bể là 25 lần.
Diện tích phần đất còn lại so với diện tích bể là 25 − 1 = 24 lần.
Diện tích bể là 216 : 24 = 9m2 .
Cạnh của bể là 3m, cạnh mảnh đất là 3 × 5 = 15 m.
Bài 4: Diện tích mảnh vườn bằng diện tích ao cộng với diện tích phần thừa.
Diện tích ao là 5 × 5 = 25 m2 .
Diện tích mảnh vườn là 600 + 25 = 625 m2 .
Bài 5: Gọi đường chéo của hình MNPQ là a.
Diện tích của ABCD là a × a, diện tích của MNPQ là a × a : 2.
Ta có SMNPQ = SABCD .
Bài 6: Chu vi của một hình chữ nhật bằng 8 lần chiều dài của nó.
Nếu chiều dài là 3 phần bằng nhau thì chu vi là 8 phần.
Chiều dài hơn chiều rộng là 2 + 3 = 5 m
Chiều rộng chiếm 1 phần. Chiều dài ban đầu là 5 × 3 = 15 m.
Chiều rộng ban đầu là 15 − 5 = 10 m.
Bài 7: Nếu bớt chiều dài đi 3m và bớt chiều rộng đi 2m, ta được một hình vuông.
Hiệu số phần bằng nhau là 3 − 1 = 2 .
Chiều rộng hình chữ nhật là 16 m.
Chiều dài hình chữ nhật là 16 × 3 = 48 m.
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là 16 × 48 = 768 m2 .
Bài 8: Phần còn lại sau khi cắt góc là 72m, do cắt 4 góc của hình chữ nhật.
Tổng chiều dài và chiều rộng của mảnh đất là 72 : 2 = 36 cm.
Chiều dài hơn phần còn lại của chiều rộng là 12cm
Chiều dài ban đầu là ( 36 + 12 ) : 2 = 24 m.
Chiều rộng ban đầu là 36 − 24 = 12 m.
Bài 9: Gọi chiều dài hình chữ nhật là d, chiều rộng hình chữ nhật là r.
Tổng chiều dài và chiều rộng của mảnh đất là 82 : 2 = 41 m
Chiều dài hơn chiều rộng là 8 − 5 = 3m.
Chiều dài mảnh đất là ( 41 + 3 ) : 2 = 22m.
Chiều rộng mảnh đất là ( 41 − 3 ) : 2 = 19m.
Diện tích mảnh đất là 22 × 19 = 418m2 .
Bài 10: Chu vi miếng bìa hình vuông là 24 × 4 = 96cm.
Tổng chu vi 2 miếng hình chữ nhật sau khi được cắt là 96 + 24 × 2 = 144cm.
Tổng số phần bằng nhau là 4 + 5 = 9 .
Chu vi hình chữ nhật thứ 1 là 144 : 9 × 4 = 64cm.
Nửa chu vi hình chữ nhật thứ 1 là 64 : 2 = 32cm.
Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật thứ 1 là 24cm.
Chiều rộng của hình chữ nhật thứ 2 là 32 − 24 = 8cm.
Chu vi hình chữ nhật thứ 2 là 144 − 64 = 80 cm.
Nửa chu vi hình chữ nhật thứ 2 là 40cm.
Bài 11: Tổng hai chiều rộng hai hình chữ nhật bằng cạnh của hình vuông ban đầu, tổng chu vi bằng 6 lần cạnh hình vuông và bằng 108m.
Cạnh hình vuông bằng 108 6 = 18m.
Chu vi hình chữ nhật lớn là 108 + 8 2 = 58m.
Chiều rộng hình chữ nhật lớn là 58 2 − 18 = 11m.
Diện tích hình chữ nhật lớn là 18 × 11 = 198m2 .
Diện tích hình vuông là 18 × 18 = 324m2 .
Diện tích hình chữ nhật nhỏ là 324 − 198 = 126m2 .
Bài 12: Cạnh hình vuông là 20 : 4 = 5cm
Chiều rộng của hai hình chữ nhật sau khi chia là cm
Chu vi của một hình chữ nhật là ( 5 + 2.5 ) × 2 = 15cm.
Chu vi của hai hình chữ nhật là 15 × 2 = 30cm.
Bài 13: Nửa chu vi của HCN ban đầu là 146 : 2 = 73m.
Nửa chu vi của HCN sau là 116 : 2 = 58m.
1/3 chiều dài là 73 − 58 = 15m.
Chiều dài HCN ban đầu là 15 : 1/3 = 45m.
Chiều rộng HCN ban đầu là 73 − 45 = 28m.
Diện tích HCN ban đầu là 45 × 28 = 1260m2 .
Bài 14: Chiều dài hơn chiều rộng là 42 − 6 = 36m.
Chiều rộng là 36 : (3 − 1) = 18m
Cạnh hình vuông là 18 + 42 = 60m.
Diện tích hình vuông là 60 × 60 = 3600m2 .
Bài 15: Giảm chiều dài 32m thì được một hình vuông, vậy chiều dài hơn chiều rộng là 32m.
Hiệu số phần bằng nhau là 3 − 1 = 2
Chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là (32 : 2)× 1 = 16m.
Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là (32 : 2) × 3 = 48m.
Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là 16 × 48 = 768m2 .
Số rau thu hoạch được là 768 : 3 = 256kg.
Bài 16: Nửa chu vi mảnh đất là 84 : 2 = 42m.
Tổng số phần bằng nhau là 3 + 4 = 7
Chiều dài mảnh đất là (42 : 7) × 4 = 24m.
Chiều rộng mảnh đất là (42 : 7) × 3 = 18m.
Chiều dài mảnh đất sau khi mở rộng là 24 + 8 = 32m.
Chiều rộng mảnh đất cần phải mở rộng là 32 − 18 = 14m.
Bài 17: Tổng chiều dài và chiều rộng của mảnh đất là 82 2 = 41m.
Chiều dài hơn chiều rộng là 8 − 5 = 3m.
Chiều dài mảnh đất là (41 + 3) : 2 = 22m.
Chiều rộng mảnh đất là (41 − 3) : 2 = 19m.
Diện tích mảnh đất là 22 × 19 = 418m2 .
Bài 18: Sau khi mở rộng thêm chiều dài 6m thì được mảnh đất hình chữ nhật.
Nửa chu vi của mảnh đất khi mở rộng là 112 : 2 = 56m.
Chiều dài sau khi mở rộng là (56 + 6) : 2 = 31m.
Chiều rộng của mảnh đất là 56 − 31 = 25m.
Diện tích của mảnh đất hình chữ nhật sau khi mở rộng là 31 × 25 = 775m2 .
Bài 19: Gọi chiều rộng hình chữ nhật là a.
Chu vi của hình chữ nhật là 48 × 2 = a × 10.
48 × 2 = a × 8.
Chiều rộng hình chữ nhật là 12m.
Diện tích mảnh đất là 12 × 48 = 576m2 .
Bài 20: Diện tích hình vuông là 98 : 2 = 49m2 .
Cạnh của hình vuông là 49 = 7m.
Chu vi của mỗi hình vuông là 7 × 4 = 28m.
Chiều dài của hình chữ nhật là 7 × 2 = 14m.
Chu vi hình chữ nhật là ( 14 + 7 ) × 2 = 42m.
