1 . Lý thuyết liên quan đến dạng toán xác suất thông kê
Hệ thống lý thuyết liên quan đến dạng toán xác suất thống kê như sau :
1 Mở đầu
- Các khái niệm nền tảng của xác suất .
- Các định nghĩa xác suất .
- hai nguyên lý cơ bản của xác suất .
- Các định lý xác suất dùng để tìm xác xuất của biến cố phức tạp .
2. Phép thử và các loại biến cố
2.1. Phép thử và biến cố
- Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát hiện tượng nào đó có xảy ra hay không được gọi là thực hiện phép thử .
- Hiện tượng có thể xảy ra ( Hoặc không xảy ra ) trong kết quả của phép thử gọi là biến cố .
- Ví dụ : Tung 1 con xúc xắc cân đối , đồng chất trên mặt đất phẳng cứng :
+ Phép thử : tung 1 c on xúc xắc
+ Điều kiện cơ bản : .....
+ Biến cố A6 = " xuất hiện 6 chấm " ; B = " xuất hiện lẻ chấm "
2. Phép thử và các loại biến cố
2.2. Các loại biến cố
- Biến cố chắc chắn ( U )
- Biến cố không có thể ( V )
- Biến cố ngẫu nhiên ( A , B , A1 , A2 ,... )
- Ví dụ : Tung 1 con xúc xắc
+ U = " xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7 "
+ V = " Xuất hiện 7 chấm "
+ A6 = " xuất hiện 6 chấm " ( biến cố ngẫu nhiên )
+ B = " Xuất hiện lẻ chấm " ( Biến cố ngẫu nhiên )
3. Xác suất của biến cố
- Xác xuất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả nang khách quan xuất hiện biến cố khi thực hiện phép thử .
- Kí hiệu xác suất biến cố của A là ( PA )
- Ví dụ : Tung một con xúc xắc :
+ A6 = " Xuất hiện 6 chấm " -> P ( A6 ) = 1/ 6
+ B = " Xuất hiện lẻ chấm " -> P ( B ) = 3 / 6 = 1 / 2 = 0,5
- Theo khả năng tìm xác suất có thể chia biến cố thành 2 loại : đó là biến cố đơn giản và biến cố phức hợp
4. Định nghĩa cổ điển về xác suất
4.1. Định nghĩa cổ điển về xác suất
- Xác suất xuất hiện biến cố A trong 1 phép thử là tỷ số giữa số kết cục thuận lợi cho A ( kí hiệu : m ) và tổng số các kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó ( khí hiệu : n )
- Công thức : P ( A ) = m / n
4.2. Cách tính chất của xác suất
; ;
5. Định nghĩa thống kê về xác suất
5.1. Định nghĩa tần số
- Tần xuất hiện biến cố A trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến có xuất hiện ( k ) và tổng số phép thử được thực hiện
- Công thức : f ( A ) = k / n
5.2. Định nghĩa thống kê về xác suất
- Xác xuất xuất hiện biến cố A trong 1 phép thử là một số p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ dao động rất ít xung quanh nó khi số phép thử tăng lên vô hạn
6. Một số định nghĩa khác về xác suất
- Định nghĩa hình học về xác suất
- Định nghĩa chủ quan về xác suất
- Định nghĩa tiên đề về xác suất
7 . Nguyên lý xác suất
- Nguyên lý xác suất nhỏ :
+ Nếu một biến cố xác suất nhỏ thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra .
+ Mức xác suất được coi là nhỏ tuỳ thuộc vào từng bài toán và gọi là mức ý nghĩa
+ Nguyên lý xác suất nhỏ là cơ sở của phương pháo kiểm định .
- Nguyên lý xác suất lớn :
+ Nếu một biến cố có xác suất rất lớn thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ xảy ra .
+ Mức xác suất đủ lớn gọi là độ tin cậy .
+ Nguyên lý xác suất lớn là cơ sở của phương pháp ước lượng bằng khoản tin cậy .
8. Mối liên hệ giữa các biến cố
- Định nghĩa 1 : Biến cố A gọi là thuận lợi cho biến cố B , kí hiêu A B , nếu A xẩy ra thì B cũng xảy ra .
- Định nghĩa 2 : Biến cố A gọi bằng biến cố B , kí hiệu A = B , nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra và ngược lại
- Ví dụ : tung một con xúc xắc :
+ Ai = " Xuất hiện i chấm " ( i = 1 , 2 , ... , 6 )
+ A = " xuất hiện 1, 3 hoặc 5 chấm "
+ B = " xuất hiện lẻ chấm "
--> A1 B
A = B
8.1. Tổng các biến số
- Định nghĩa 3 : Biến số C được gọi là tổng của 2 biến cố A và B , kí hiệu C = A + B nếu C chỉ xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra .
- Định nghĩa 4 : Biến cố A được gọi là tổng của các biến cố A1 , A 2 , A 3 ,. ...., A n nếu A xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong n biến có thành phần xảy ra ,
8. 2 Tích các biến cố
- Định nghĩa 5 : biến côc C được gọi là tích của 2 biến cố A và B , kí hiệu C = A . B nếu C xảy ra khi và chỉ khi cả 2 biến cố A và B cùng xảy ra .
- Định nghĩa 6 : Biến cố A được gọi là tích của các biến cố A1 , A2 , A3 ,....., A n nếu A xảy ra khi và chỉ khi tất cả n biến cố thành phần đều xảy ra
8.3. Tính xung khắc của các biến cố
- Định nghĩa 7 : Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong kết quả của một phép thử . Trường hợp ngược lại gọi là không xung khắc .
- Định nghĩa 8 : nhóm n biến cố A1 , A 2 , A 3 , ... , A n được gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ 2 biến cố nào trong nhóm này cũng xung khắc với nhau.
2. Bộ đề thi và lời giải toán xác suất thống kê chi tiết
Bài 1 : Cho 9 quả cân trọng lượng lần lượt là 1 kg , 2 kg , ... , 8 kg ; 9 kg . Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân . Tính xác suất để tổng trọng lượng 3 quả cân được chọn không vượt quá 8 kg
Lời giải
Gọi e là tập hợp tất cả các cách chọn 3 quả cân trong 9 quả cân , ta có I E I = C93 = 84
Gọi A là biến cố " lấy 3 quả cân có tổng trọng lượng không vượt quá 8 kg "
Xét các khả năng xảy ra : 1 + 2 + 3 = 6 ; 1 + 2 + 4 = 7 ; 1 + 3 + 4 = 8
Như vậy , chỉ có 4 cách chọn ra 3 quả cân có tổng trọng lượng không vượt quá 8 kg
Tức là I A I = 4 . Vậy xác suất cần tìm là P ( A ) = 4 / 84 = 1 /21
Bài 2 : Giao lần lượt ba đồng xu . Gọi A là biến cố có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp ; B là biến có có ba mặt giống nhau.
a . Tính xác suất của A và B
b . Tính xác suất của A U B và của A B
Lời giải chi tiết
a .
Không gian mẫu có 23 = 8 phần tử
E = { NNN ; NNS ; NSS ; SNN ; SNS ; SSN ; SSS }
Biến cố A = { SSS ; SSN ; NSS ; SNS } ; biến cố B = { NNN ; SSS }
Xác xuất của A U B = { SSS ; SSN ; NSS ; SNS ; NNN } ;
xác suất của B : P ( B ) = 2 / 8 = 1 / 4
b . Ta có A U B = { SSS ; SSN ; NSS ; SNS ; NNN } và A giao B = { SSS }
Xác suất của A U B là P ( A U B ) = 5 / 8
Bài 3 : Gieo lần lượt hai quân xúc sắc . Tính xác suất của biến cố sau đây "
a . A " Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện của hai quân xúc sắc = < 6 "
b . B " Có đúng một quân xúc sắc xuất hiện số chấm là số lẻ "
c . C " Số chấm xuất hiện trên hai quân xúc sắc hơn kém nhau 2 "
Lời giải chi tiết
Không gian mẫu E = { (1,1) ; ( 1, 2) ; ( 1, 3 ) ; .... ; ( 6 , 6 ) } : có 6.6 = 36 phần tử
a . Biến cố A = { ( 1; 1) ; ( 1, 2 ) ; ( 1,3 ) ; (1; 4 ) ; ( 1, 5 ); ( 2, 1 ) ; ( 2 , 2) ; ( 2, 3) ; ( 2, 4 ) ; ( 3, 1 ) ; ( 3, 2) ; ( 3, 3) ; (4, 1) ; ( 4, 2) ; ( 5,1 ) } có 15 phần tử . Xác suất của P (A ) = 15 / 36 = 5 / 12
b . Biến cố B = { (1,2); (1,4); ( 1, 6) ; (2,1); ( 2,3 ); ( 2,5); (3,2); ( 3,4) ; ( 3,6) ; ( 4,1) ; (4,3); (4,5); (5,2); (5,4); (5;6); (6,1); ( 6,3); (6,5) } có 15 phần tử . Xác xuất của A là P (A )= 15/36 =5/12
Tải ngay bộ đề thi xác suất thống kê tại đây >>>> Tải ngay
Trên đây là bài viết của công ty Luật Minh Khuê về bộ đề thi toán xác suất thông kê chi tiết nhất, xin mời các quý bạn đọc tham khảo viết có liên quan : Phép thử là gì ? Biến cố là gì ? Xác suất của biến cố là gì
Hiện nay nếu bạn đang có những thắc mắc nào về vấn đề pháp luật cần được giải đáp, xin vui lòng liên hệ đến tổng đài tư vấn 1900.6162 hoặc có thể gửi yêu cầu trực tiếp đến địa chỉ email lienhe@luatminhkhue.vn để được chúng tôi hỗ trợ bạn .
Xin cảm ơn sự quan tâm và theo dõi của bạn. Trân trọng ./.
